✎ Les méthodes à connaître — Terminale

1. L'ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles possibles ?
2. Ordre et répétitions : $n^k$ ($k$-uplets). Ordre sans répétition : $\frac{n!}{(n - k)!}$ (arrangements), $n!$ pour ordonner tout l'ensemble.
3. Sans ordre ni répétition : $\binom nk$ (combinaisons).
4. Principe multiplicatif pour des choix successifs, additif pour des cas disjoints ; « au moins un » : passe par le complémentaire.

$A(1;0;2)$, $B(2;1;3)$, $C(0;2;1)$, $D(3;3;5)$. $\;\overrightarrow{AB}(1;1;1)$, $\overrightarrow{AC}(-1;2;-1)$, $\overrightarrow{AD}(2;3;3)$. On cherche $a$, $b$ tels que $\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire $\begin{cases} a - b = 2 \\ a + 2b = 3 \\ a - b = 3 \end{cases}$. La première et la troisième équation sont incompatibles ($2 \neq 3$) : pas de solution, les points ne sont pas coplanaires.

1. Calcule les coordonnées des vecteurs utiles.
2. Cherche un réel $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ (colinéarité, coordonnée par coordonnée).
3. Colinéaires : points alignés (si un point est commun) ou droites parallèles.

1. Compare les vecteurs directeurs : colinéaires → parallèles (confondues si un point est commun).
2. Sinon, cherche un point commun avec les représentations paramétriques (système à deux paramètres).
3. Solution : sécantes ; pas de solution : non coplanaires.

Plan dirigé par $\vec u(1;2;0)$ et $\vec v(0;1;-1)$. On cherche $\vec n(a;b;c)$ avec $a + 2b = 0$ et $b - c = 0$ : en prenant $b = 1$, $\vec n(-2;1;1)$. Vérification : $-2 + 2 + 0 = 0$ et $0 + 1 - 1 = 0$ ✓.

$\mathcal{D}$ passe par $A(1;0;0)$ de vecteur directeur $\vec u(1;1;0)$ ; $M(3;1;2)$. On cherche $H = A + t\vec u$ tel que $\overrightarrow{HM}\cdot\vec u = 0$ : $\overrightarrow{HM}(2 - t;1 - t;2)$, donc $(2 - t) + (1 - t) = 0$, $t = \frac32$. $H\left(\frac52;\frac32;0\right)$ et $MH = \sqrt{\frac14 + \frac14 + 4} = \frac{3\sqrt2}{2}$.

$\mathcal{D} : x = 1 + 2t,\ y = -t,\ z = 3 + t$. Le point $B(5;-2;5)$ ? La première équation donne $t = 2$ ; alors $y = -2$ ✓ et $z = 5$ ✓ : $B \in \mathcal{D}$.

On remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique dans l'équation du plan : on obtient une équation en $t$.

• Une solution unique : la droite coupe le plan en un point.
• Aucune solution : droite strictement parallèle au plan.
• Tout $t$ convient : droite incluse dans le plan.

Critère rapide : $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec u\cdot\vec n = 0$.

Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Sinon, ils sont sécants selon une droite : on résout le système des deux équations en prenant une variable comme paramètre.

Exemple : $x + y + z = 1$ et $x - y = 3$. On pose $y = t$ : $x = 3 + t$, $z = 1 - x - y = -2 - 2t$. Droite passant par $(3;0;-2)$ dirigée par $(1;1;-2)$.

On cherche $t$ et $s$ tels que les deux représentations donnent le même point (système de 3 équations à 2 inconnues). Pas de solution et vecteurs directeurs non colinéaires : les droites sont non coplanaires.

« Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $P(n)$ : … »

Initialisation. Pour $n = 0$ : … donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(n + 1)$ est vraie : … (on utilise l'hypothèse).

Conclusion. Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

1. Écris la propriété $P(n)$ précisément.
2. Initialisation : vérifie $P(n_0)$.
3. Hérédité : pars de l'hypothèse $P(n)$ et construis $P(n + 1)$ en appliquant la relation de récurrence (souvent : une fonction croissante conserve l'ordre).
4. Conclusion : « par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$ ».

Exemple. $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$, $u_0 = 0$ : si $0 \leqslant u_n \leqslant 3$, alors $6 \leqslant u_n + 6 \leqslant 9$ et $\sqrt6 \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$.

1. Pour l'hérédité, écris $S_{n+1} = S_n + (\text{terme de rang } n + 1)$.
2. Remplace $S_n$ par la formule (hypothèse de récurrence).
3. Factorise pour retrouver la formule au rang $n + 1$.

On factorise par le terme prépondérant. $\;u_n = \dfrac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5} = \dfrac{n^2(3 - \frac1n + \frac{1}{n^2})}{n^2(2 + \frac{5}{n^2})} \to \dfrac{3}{2}$. $\quad v_n = n^2 - 5n = n^2(1 - \frac5n) \to +\infty$.

Avec des racines, on utilise la quantité conjuguée : $\sqrt{n + 1} - \sqrt n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \to 0$.

Si $u_n \to +\infty$, pour tout $A$ il existe un premier rang $n$ tel que $u_n > A$ : une boucle while le trouve.

• Polynôme ou fraction rationnelle en ±∞ : on factorise par le terme de plus haut degré. $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2x^2 - 1}{x^2 + 3x} = 2$.
• Valeur interdite : on étudie le signe du dénominateur. $\lim\limits_{x\to2^+}\frac{3}{x - 2} = +\infty$ car $x - 2 \to 0^+$.
• Changement de variable : $\lim\limits_{x\to+\infty} e^{-x^2} = \lim\limits_{X\to-\infty} e^{X} = 0$.

1. Essaie les opérations sur les limites directement.
2. En cas de forme indéterminée : factorise par le terme dominant (polynômes, quotients), utilise la quantité conjuguée (racines) ou les croissances comparées ($\mathrm{e}^x$, $\ln x$).
3. Pour une composée, calcule la limite de l'intérieur, puis celle de l'extérieur.

Exemple. $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - \mathrm{e}^x) = \lim x\left(1 - \frac{\mathrm{e}^x}{x}\right) = -\infty$ car $\frac{\mathrm{e}^x}{x} \to +\infty$.

1. Encadre $f(x)$ entre deux fonctions de même limite (gendarmes), ou minore par une fonction qui tend vers $+\infty$.
2. Exemple type : $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ donne $\frac{\sin x}{x} \to 0$ en $+\infty$.

La fonction exponentielle est convexe ($\exp'' = \exp > 0$) : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'où $e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$.

La fonction $\ln$ est concave : sa courbe est sous sa tangente en 1, d'où $\ln x \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$.

1. Repère la fonction « extérieure » $v$ et la fonction « intérieure » $u$ : $f = v \circ u$.
2. Applique $(v \circ u)' = u'\times(v' \circ u)$.
3. Cas usuels : $(u^n)' = nu'u^{n-1}$, $(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$, $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$.

Exemple. $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

1. Calcule $f''$.
2. Étudie son signe : $f'' \geqslant 0$ convexe, $f'' \leqslant 0$ concave.
3. Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de $f''$.

Montrons que $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante ($f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$). $\lim\limits_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim\limits_{+\infty} f = +\infty$, et $0$ est compris entre ces limites : d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. De plus $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ donc $0 < \alpha < 1$ ; par dichotomie $\alpha \approx 0{,}682$.

1. Montrer (souvent par récurrence) que la suite est monotone et bornée.
2. En déduire qu'elle converge (théorème de convergence monotone).
3. Résoudre $f(\ell) = \ell$ pour trouver la limite, en gardant la solution compatible avec les bornes.

• $e^x = 5 \iff x = \ln 5$.
• $\ln(2x - 1) = 3$ : on veut $2x - 1 > 0$, puis $2x - 1 = e^3$, $x = \frac{e^3 + 1}{2}$.
• $0{,}8^n < 0{,}01 \iff n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}01 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6$ (on divise par $\ln 0{,}8 < 0$ : le sens change). Donc $n \geqslant 21$.

1. Décompose en produits et puissances.
2. Utilise $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\frac ab = \ln a - \ln b$, $\ln(a^n) = n\ln a$.

Exemple. $\ln 50 - 2\ln 5 = \ln 2 + 2\ln 5 - 2\ln 5 = \ln 2$.

1. Détermine l'ensemble de définition (ce qui est dans le $\ln$ doit être $> 0$).
2. Dérive avec $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, réduis au même dénominateur, étudie le signe.
3. Limites : croissances comparées ($\frac{\ln x}{x} \to 0$, $x\ln x \to 0$ en $0^+$).

Si $|a| > 1$ : aucune solution. Sinon, on trouve un réel $\alpha$ tel que $\cos\alpha = a$ ; les solutions sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Pour $\sin x = a$ : $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$.

Exemple : $\cos x = \frac{\sqrt2}{2}$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$ : $x = \frac{\pi}{4}$ ou $x = -\frac{\pi}{4}$.

On lit sur le cercle (ou la courbe) les points dont l'abscisse est supérieure ou égale à $a$. $\cos x \geqslant \frac12$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$ : $x \in \left[-\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{\pi}{3}\right]$.

1. Reconnais une forme du tableau : $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$, $\frac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$), $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$, $\frac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u$.
2. Ajuste les constantes : si l'expression vaut $k\times u'\times\dots$, multiplie la primitive par $k$.
3. Vérifie en dérivant.

Exemple. $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ : $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$, $f = \frac12\frac{u'}{u}$, donc $F(x) = \frac12\ln(x^2 + 1)$.

1. Solution particulière constante : $y_p = -\dfrac ba$.
2. Solution générale : $y(x) = C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac ba$.
3. Remplace $x$ par la valeur de la condition initiale pour trouver $C$.

Exemple. $y' = 3y - 6$, $y(0) = 5$ : $y = C\mathrm{e}^{3x} + 2$, $C + 2 = 5$, $y = 3\mathrm{e}^{3x} + 2$.

1. Calcule $f'$.
2. Calcule séparément chaque membre de l'équation différentielle.
3. Montre qu'ils sont égaux pour tout $x$ de l'intervalle.

Si $f \geqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\int_a^b (f - g)$. Exemple : entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;\,1]$ : $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac12 - \frac13 = \frac16$.

1. Cherche une primitive $F$ (formes usuelles).
2. Calcule $\int_a^b f = F(b) - F(a)$, en écrivant les parenthèses.
3. Si aucune primitive n'est évidente : intégration par parties, avec $u$ facile à dériver et $v'$ facile à primitiver.

Exemple. $\int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = [x\mathrm{e}^x]_0^1 - \int_0^1\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1$.

1. Encadre la fonction sur l'intervalle : $m \leqslant f(x) \leqslant M$.
2. Intègre l'encadrement (positivité de l'intégrale) : $m(b - a) \leqslant \int_a^b f \leqslant M(b - a)$.

$P(X = k)$ : binomFdp / BinomialPD ; $P(X \leqslant k)$ : binomFRép / BinomialCD. Pour $P(X \geqslant k)$, utiliser l'événement contraire : $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$.

On cherche souvent le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}95$ (ou le plus petit $k$ tel que $P(X > k) \leqslant \alpha$) : on calcule les probabilités cumulées jusqu'à franchir le seuil.

1. Écris la variable comme une somme : $S = X_1 + \dots + X_n$ (ou $aX + b$).
2. Espérance : toujours linéaire, $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX + b) = aE(X) + b$.
3. Variance : $V(aX + b) = a^2V(X)$ ; $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Exemple. Somme de deux dés indépendants : $E = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$, $V = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$.

1. Pour $X_1, \dots, X_n$ indépendantes de même loi que $X$ : $E(S_n) = nE(X)$ et $V(S_n) = nV(X)$.
2. Pour la moyenne $M_n = \frac{S_n}{n}$ : $E(M_n) = E(X)$ et $V(M_n) = \frac{V(X)}{n}$.
3. Conclus : la moyenne a la même espérance mais une dispersion $\sqrt n$ fois plus petite (écart type).

1. Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, écris $X = X_1 + \dots + X_n$ avec $X_i$ de Bernoulli indépendantes.
2. Déduis-en $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$.

On lance une pièce équilibrée $n$ fois ; $M_n$ est la fréquence de Pile ($\mu = 0{,}5$, $V = 0{,}25$). Pour garantir $P(|M_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}05$, il suffit que $\frac{0{,}25}{n \times 0{,}0025} \leqslant 0{,}05$, soit $n \geqslant 2\,000$.

1. Calcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. Identifie l'écart $\delta$ : l'événement doit s'écrire $|X - E(X)| \geqslant \delta$.
3. Majore : $P(|X - E(X)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ ; pour l'événement contraire, minore par $1 - \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

1. Écris l'inégalité de concentration pour la moyenne : $P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{n\delta^2}$.
2. Impose que ce majorant soit inférieur au risque $\alpha$ voulu.
3. Résous en $n$ : $n \geqslant \dfrac{V(X)}{\alpha\delta^2}$.