Fonction logarithme népérien

Le logarithme « défait » l'exponentielle : il répond à la question « à quelle puissance de $e$ faut-il élever pour obtenir $x$ ? ». Il transforme les produits en sommes et permet de résoudre $q^n > A$.

  • Définir ln comme réciproque de exp
  • Utiliser les propriétés algébriques
  • Résoudre équations et inéquations
  • Étudier la fonction ln (dérivée, limites, courbe)

Cours

1. Définition

Pour tout réel $x > 0$, l'équation $e^y = x$ admet une unique solution $y$ (l'exponentielle est continue, strictement croissante, de limites $0$ et $+\infty$). On la note $\ln x$ : c'est le logarithme népérien de $x$.

$$\text{Pour } x > 0 \text{ et } y \in \mathbb{R} :\quad y = \ln x \iff x = e^y.$$

$\ln 1 = 0$ ; $\;\ln e = 1$ ; $\;e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ ; $\;\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$. Les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

2. Propriétés algébriques

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\;\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

$e^{\ln(ab)} = ab$ et $e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a}\,e^{\ln b} = ab$. Deux réels ayant la même exponentielle sont égaux (stricte croissance de exp) : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. $\blacksquare$

Pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ : $\;\ln\dfrac1a = -\ln a$ ; $\;\ln\dfrac ab = \ln a - \ln b$ ; $\;\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\;\ln\sqrt a = \dfrac12\ln a$.

$\ln 8 - 2\ln 2 = 3\ln 2 - 2\ln 2 = \ln 2$ ; $\;\ln\frac{e^3}{\sqrt e} = 3 - \frac12 = \frac52$ ; $\;\ln 0{,}01 = -2\ln 10$.

3. Équations et inéquations

Pour $a, b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$. En particulier $\ln x > 0 \iff x > 1$ et $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$.

  • $e^x = 5 \iff x = \ln 5$.
  • $\ln(2x - 1) = 3$ : on veut $2x - 1 > 0$, puis $2x - 1 = e^3$, $x = \frac{e^3 + 1}{2}$.
  • $0{,}8^n < 0{,}01 \iff n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}01 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6$ (on divise par $\ln 0{,}8 < 0$ : le sens change). Donc $n \geqslant 21$.

4. Étude de la fonction ln

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.

On admet que $\ln$ est dérivable. Pour tout $x > 0$, $e^{\ln x} = x$. Dérivons les deux membres, en utilisant la dérivée d'une composée $(e^u)' = u'e^u$ : $$\ln'(x) \times e^{\ln x} = 1, \quad\text{soit}\quad \ln'(x) \times x = 1.$$

Comme $x \neq 0$, $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$. $\blacksquare$

  • $\ln' = \frac1x > 0$ : $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
  • $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x = -\infty$ (asymptote verticale $x = 0$).
  • $\ln'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ : $\ln$ est concave ; tangente en 1 : $y = x - 1$, d'où $\ln x \leqslant x - 1$.
  • Si $u$ est dérivable et strictement positive, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ ; plus généralement $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\lim\limits_{x\to0^+} x^n\ln x = 0$ ($n \geqslant 1$).

$\lim\limits_{x\to0^+} x\ln x = 0$.

Posons $X = -\ln x$, c'est-à-dire $x = e^{-X}$. Quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$ donc $X \to +\infty$.

Alors $x\ln x = e^{-X} \times (-X) = -\dfrac{X}{e^X}$. Par croissance comparée, $\dfrac{e^X}{X} \to +\infty$ quand $X \to +\infty$, donc $\dfrac{X}{e^X} \to 0$.

Ainsi $\lim\limits_{x\to0^+} x\ln x = 0$. $\blacksquare$

5. Algorithme de Briggs

from math import log

def briggs(a, n):
    # on prend n fois la racine carrée : a**(1/2**n) est proche de 1
    x = a
    for i in range(n):
        x = x ** 0.5
    # ln(x) ≈ x - 1 pour x proche de 1, et ln(a) = 2**n * ln(x)
    return 2 ** n * (x - 1)

for n in [5, 10, 20, 30]:
    print(n, briggs(2, n))
print("valeur Python :", log(2))

John Napier (Neper) publie en 1614 les premières tables de logarithmes pour simplifier les calculs astronomiques : les multiplications deviennent des additions. Henry Briggs construit les logarithmes décimaux en extrayant des racines carrées successives. Les règles à calcul, utilisées jusque dans les années 1970, reposent sur ce principe.

Méthodes à connaître

  1. Décompose en produits et puissances.
  2. Utilise $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\frac ab = \ln a - \ln b$, $\ln(a^n) = n\ln a$.

Exemple. $\ln 50 - 2\ln 5 = \ln 2 + 2\ln 5 - 2\ln 5 = \ln 2$.

  1. Détermine l'ensemble de définition (ce qui est dans le $\ln$ doit être $> 0$).
  2. Dérive avec $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, réduis au même dénominateur, étudie le signe.
  3. Limites : croissances comparées ($\frac{\ln x}{x} \to 0$, $x\ln x \to 0$ en $0^+$).

Mini-jeux

Exercices

Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ : $\ln 12$ ; $\;\ln\frac{9}{8}$ ; $\;\ln\sqrt{6}$ ; $\;\ln 72 - \ln 4$.

$2\ln2 + \ln 3$ ; $\;2\ln3 - 3\ln2$ ; $\;\frac12(\ln2 + \ln3)$ ; $\;\ln 18 = \ln 2 + 2\ln 3$.

Résoudre : $e^{2x} = 7$ ; $\;\ln x = -2$ ; $\;\ln(x + 3) = \ln(2x - 1)$ ; $\;e^{x} - 4 > 0$.

$x = \frac{\ln 7}{2}$ ; $\;x = e^{-2}$ ; $\;x + 3 = 2x - 1$ avec les deux positifs : $x = 4$ ✓ ; $\;x > \ln 4$.

Un capital placé à 3 % par an double au bout de combien d'années ? Résoudre $1{,}03^n \geqslant 2$ avec le logarithme.

$n =$

$n \geqslant \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4$ : 24 ans.

Dériver : $f_1(x) = x\ln x - x$ ; $\;f_2(x) = \ln(x^2 + 1)$ ; $\;f_3(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ ; $\;f_4(x) = (\ln x)^2$.

$\ln x$ ; $\;\frac{2x}{x^2 + 1}$ ; $\;\frac{1 - \ln x}{x^2}$ ; $\;\frac{2\ln x}{x}$.

Étudier $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : limites, variations, maximum.

$\lim_{0^+} f = -\infty$ ; $\lim_{+\infty} f = 0$. $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : positif sur $]0\,;\,e]$, négatif après. Maximum $f(e) = \frac1e$.

À l'aide de l'étude précédente, comparer $e^\pi$ et $\pi^e$.

$f$ est maximale en $e$ : $f(\pi) < f(e)$, soit $\frac{\ln\pi}{\pi} < \frac1e$, donc $e\ln\pi < \pi$, c'est-à-dire $\ln(\pi^e) < \ln(e^\pi)$ : $\pi^e < e^\pi$.