Vecteurs, droites et plans de l'espace

Les vecteurs passent en dimension 3. Toutes les règles de calcul du plan restent valables ; la nouveauté est la coplanarité et la richesse des positions relatives de droites et de plans.

  • Calculer avec des vecteurs de l'espace
  • Caractériser droites et plans par des vecteurs
  • Reconnaître des vecteurs coplanaires
  • Étudier les positions relatives

Cours

1. Vecteurs de l'espace

Les notions du plan s'étendent à l'espace : vecteur $\overrightarrow{AB}$ associé à une translation, égalité ($ABDC$ parallélogramme), somme et relation de Chasles, produit par un réel, colinéarité ($\vec v = k\vec u$).

Un vecteur $\vec w$ est combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ s'il existe des réels $a$, $b$ tels que $\vec w = a\vec u + b\vec v$.

2. Droites et plans

La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ (non nul) est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ soient colinéaires : $\overrightarrow{AM} = t\vec u$, $t \in \mathbb{R}$.

Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, le plan passant par $A$ et dirigé par $(\vec u, \vec v)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = s\vec u + t\vec v$, avec $s, t \in \mathbb{R}$. Le couple $(\vec u, \vec v)$ est une base de la direction du plan.

Trois vecteurs sont coplanaires s'ils ont des représentants de même origine situés dans un même plan. Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires : $\vec u, \vec v, \vec w$ coplanaires $\iff \vec w$ est combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$.

Quatre points $A, B, C, D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ le sont.

3. Bases et repères de l'espace

Trois vecteurs $\vec\imath, \vec\jmath, \vec k$ non coplanaires forment une base de l'espace : tout vecteur $\vec u$ s'écrit de façon unique $\vec u = x\vec\imath + y\vec\jmath + z\vec k$. On note $\vec u(x\,;\,y\,;\,z)$.

Avec un point $O$, $(O\,;\,\vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ est un repère : $M(x\,;\,y\,;\,z)$ signifie $\overrightarrow{OM} = x\vec\imath + y\vec\jmath + z\vec k$.

$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)$ ; milieu $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\,;\,\frac{z_A + z_B}{2}\right)$ ; somme et produit par un réel coordonnée par coordonnée. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

$A(1;0;2)$, $B(2;1;3)$, $C(0;2;1)$, $D(3;3;5)$. $\;\overrightarrow{AB}(1;1;1)$, $\overrightarrow{AC}(-1;2;-1)$, $\overrightarrow{AD}(2;3;3)$. On cherche $a$, $b$ tels que $\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire $\begin{cases} a - b = 2 \\ a + 2b = 3 \\ a - b = 3 \end{cases}$. La première et la troisième équation sont incompatibles ($2 \neq 3$) : pas de solution, les points ne sont pas coplanaires.

4. Positions relatives

Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (alors sécantes ou parallèles), soit non coplanaires (aucun point commun, et pas parallèles).

  • Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est une combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan ; sinon, elle le coupe en un point.
  • Deux plans sont parallèles s'ils ont la même direction ; sinon, ils sont sécants selon une droite.

Si deux plans sécants contiennent deux droites parallèles, leur droite d'intersection est parallèle à ces deux droites.

Grassmann (1844) et Hamilton (quaternions, 1843) donnent un cadre algébrique aux vecteurs de l'espace ; Gibbs et Heaviside en tirent le calcul vectoriel utilisé en physique (électromagnétisme de Maxwell).

Méthodes à connaître

  1. Calcule les coordonnées des vecteurs utiles.
  2. Cherche un réel $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ (colinéarité, coordonnée par coordonnée).
  3. Colinéaires : points alignés (si un point est commun) ou droites parallèles.
  1. Compare les vecteurs directeurs : colinéaires → parallèles (confondues si un point est commun).
  2. Sinon, cherche un point commun avec les représentations paramétriques (système à deux paramètres).
  3. Solution : sécantes ; pas de solution : non coplanaires.

Mini-jeux

Exercices

$ABCDEFGH$ est un cube. Simplifier : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CG}$ ; $\;\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{HG}$ ; $\;\overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DB}$.

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF}$ ; $\;\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AG}$ ; $\;\overrightarrow{DF} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BF}$.

$A(2;-1;3)$, $B(4;3;-1)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, du milieu $I$ de $[AB]$ et du point $C$ tel que $\overrightarrow{AC} = \frac12\overrightarrow{AB} + \vec k$.

$\overrightarrow{AB}(2;4;-4)$ ; $I(3;1;1)$ ; $\overrightarrow{AC}(1;2;-1)$ donc $C(3;1;2)$.

$A(1;2;0)$, $B(3;1;4)$, $C(7;-1;12)$ sont-ils alignés ? Et $D(5;0;9)$ ?

$\overrightarrow{AB}(2;-1;4)$, $\overrightarrow{AC}(6;-3;12) = 3\overrightarrow{AB}$ : alignés. $\overrightarrow{AD}(4;-2;9)$ : $\frac42 = 2$ mais $\frac94 \neq 2$ : $D$ n'est pas sur la droite.

Montrer que $\vec u(1;2;-1)$, $\vec v(0;1;3)$ et $\vec w(2;7;7)$ sont coplanaires.

On cherche $\vec w = a\vec u + b\vec v$ : $a = 2$, puis $2a + b = 7$ donne $b = 3$, et $-a + 3b = -2 + 9 = 7$ ✓. Donc $\vec w = 2\vec u + 3\vec v$ : coplanaires.

Dans le cube $ABCDEFGH$ (repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$), $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ celui de $[FG]$. Montrer que $(IJ)$ est parallèle à la droite $(AC)$, puis au plan $(ACE)$.

$I(\frac12;0;1)$, $J(1;\frac12;1)$, $\overrightarrow{IJ}(\frac12;\frac12;0) = \frac12\overrightarrow{AC}$ car $\overrightarrow{AC}(1;1;0)$. Donc $(IJ) \parallel (AC)$, et comme $(AC)$ est dans le plan $(ACE)$, $(IJ)$ est parallèle à ce plan.