Calcul intégral

L'aire sous une courbe se calcule… avec une primitive ! Ce lien entre aire et dérivation (théorème fondamental) est l'un des plus beaux résultats de l'analyse.

  • Interpréter une intégrale comme une aire
  • Calculer une intégrale avec une primitive
  • Utiliser linéarité, positivité, Chasles
  • Intégrer par parties, calculer une valeur moyenne

Cours

1. Intégrale d'une fonction positive

Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.

La variable $x$ est « muette » : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$.

Soit $f$ continue, positive et croissante sur $[a\,;\,b]$. La fonction $F$ définie sur $[a\,;\,b]$ par $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable et $F' = f$ : c'est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

Soit $x \in [a\,;\,b[$ et $h > 0$ tel que $x + h \leqslant b$. $F(x + h) - F(x)$ est l'aire sous la courbe entre $x$ et $x + h$.

Comme $f$ est croissante, sur $[x\,;\,x + h]$ on a $f(x) \leqslant f(t) \leqslant f(x + h)$ : cette aire est comprise entre celle du rectangle de hauteur $f(x)$ et celle du rectangle de hauteur $f(x + h)$ : $$h\,f(x) \leqslant F(x + h) - F(x) \leqslant h\,f(x + h), \quad\text{soit}\quad f(x) \leqslant \frac{F(x + h) - F(x)}{h} \leqslant f(x + h).$$

$f$ étant continue, $f(x + h) \to f(x)$ quand $h \to 0$ : par le théorème des gendarmes, le taux de variation tend vers $f(x)$. On raisonne de même pour $h < 0$. Donc $F$ est dérivable en $x$ et $F'(x) = f(x)$. $\blacksquare$

Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;\,b]$, la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$. Plus généralement, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;\,b]$ et $F$ est une primitive quelconque de $f$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Soit $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ : c'est une primitive de $f$ avec $G(a) = 0$. Deux primitives diffèrent d'une constante : $F = G + C$.

Alors $F(b) - F(a) = G(b) + C - G(a) - C = G(b) - 0 = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. $\blacksquare$

On note $\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$. $\;\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac83$ ; $\;\displaystyle\int_1^e \frac1x\,dx = [\ln x]_1^e = 1$.

2. Intégrale d'une fonction de signe quelconque

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$, et $F$ une primitive de $f$ : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Si $f \leqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$, l'intégrale est l'opposé de l'aire. En général, c'est une « aire algébrique ».

  • Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$.
  • Relation de Chasles : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ ; et $\int_a^a f = 0$, $\int_b^a f = -\int_a^b f$.
  • Positivité : si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f \geqslant 0$.
  • Intégration des inégalités : si $a \leqslant b$ et $f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$.

Si $f \geqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\int_a^b (f - g)$. Exemple : entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;\,1]$ : $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac12 - \frac13 = \frac16$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$) est $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. C'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

3. Intégration par parties

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a\,;\,b]$ avec $u'$ et $v'$ continues : $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$.

La fonction $uv$ est dérivable et $(uv)' = u'v + uv'$. Les fonctions $u'v$ et $uv'$ sont continues, donc intégrables, et $uv$ est une primitive de $u'v + uv'$ : $$\int_a^b \big(u'v + uv'\big) = \big[uv\big]_a^b.$$

Par linéarité, $\int_a^b u'v + \int_a^b uv' = [uv]_a^b$, d'où la formule. $\blacksquare$

$\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$ : on pose $u = x$, $v' = e^x$, donc $u' = 1$, $v = e^x$. $\;= [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$.

Méthodes des milieux et des trapèzes, méthode de Monte-Carlo, algorithme de Brouncker pour $\ln 2$ ; encadrement de $\ln(1 + x)$ par des intégrales.

from math import exp, log

def f(x):
    return exp(-x**2)

def rectangles(a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return sum(f(a + k * h) for k in range(n)) * h

def trapezes(a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * (f(a) / 2 + sum(f(a + k * h) for k in range(1, n)) + f(b) / 2)

for n in [10, 100, 1000]:
    print(n, rectangles(0, 2, n), trapezes(0, 2, n))

Archimède calcule l'aire sous une parabole par exhaustion (IIIe siècle av. J.-C.). Newton et Leibniz (XVIIe siècle) découvrent que le calcul d'aires est l'inverse de la dérivation ; le symbole $\int$ est un S allongé (« summa ») introduit par Leibniz. Riemann (1854) donne une définition rigoureuse de l'intégrale.

Méthodes à connaître

  1. Cherche une primitive $F$ (formes usuelles).
  2. Calcule $\int_a^b f = F(b) - F(a)$, en écrivant les parenthèses.
  3. Si aucune primitive n'est évidente : intégration par parties, avec $u$ facile à dériver et $v'$ facile à primitiver.

Exemple. $\int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = [x\mathrm{e}^x]_0^1 - \int_0^1\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1$.

  1. Encadre la fonction sur l'intervalle : $m \leqslant f(x) \leqslant M$.
  2. Intègre l'encadrement (positivité de l'intégrale) : $m(b - a) \leqslant \int_a^b f \leqslant M(b - a)$.

Mini-jeux

Exercices

Calculer : $\int_1^3 (2x - 1)\,dx$ ; $\;\int_0^{\ln 2} e^x\,dx$ ; $\;\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ ; $\;\int_1^4 \frac{1}{\sqrt x}\,dx$.

Première intégrale :

$[x^2 - x]_1^3 = 6 - 0 = 6$ ; $\;2 - 1 = 1$ ; $\;[-\cos x]_0^\pi = 2$ ; $\;[2\sqrt x]_1^4 = 2$.

Calculer l'aire du domaine compris entre la parabole $y = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses.

La parabole est positive sur $[-2\,;\,2]$ : $\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 = \frac{32}{3}$ u.a.

La température (en °C) sur une journée est modélisée par $T(t) = 15 - 5\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$, $t \in [0\,;\,24]$. Calculer la température moyenne.

$\frac{1}{24}\int_0^{24} T = \frac{1}{24}\left[15t - \frac{60}{\pi}\sin\frac{\pi t}{12}\right]_0^{24} = 15$ °C.

Calculer $\int_1^e \ln x\,dx$ (poser $u = \ln x$, $v' = 1$) et $\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$.

$[x\ln x]_1^e - \int_1^e 1\,dx = e - (e - 1) = 1$. $\;[x\sin x]_0^\pi - \int_0^\pi \sin x\,dx = 0 - 2 = -2$.

Montrer que pour $x \in [0\,;\,1]$ : $\frac{x^2}{2} \leqslant \frac{x^2}{1 + x} \leqslant x^2$. En déduire un encadrement de $I = \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x}\,dx$.

$1 \leqslant 1 + x \leqslant 2$, donc $\frac12 \leqslant \frac{1}{1 + x} \leqslant 1$ ; on multiplie par $x^2 \geqslant 0$ puis on intègre : $\frac16 \leqslant I \leqslant \frac13$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, $I_n = \int_0^1 x^ne^x\,dx$. Calculer $I_0$, montrer par une intégration par parties que $I_{n+1} = e - (n + 1)I_n$, puis calculer $I_1$ et $I_2$.

$I_0 = e - 1$. Avec $u = x^{n+1}$, $v' = e^x$ : $I_{n+1} = [x^{n+1}e^x]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^ne^x = e - (n + 1)I_n$. $I_1 = e - (e - 1) = 1$ ; $I_2 = e - 2$.