Fonctions sinus et cosinus
En Première, cosinus et sinus étaient des nombres lus sur le cercle. Ce sont maintenant des fonctions de la variable réelle, périodiques, qui modélisent tous les phénomènes oscillants (ondes, marées, courant alternatif…).
- Connaître parité et périodicité
- Tracer les courbes représentatives
- Dériver et étudier des fonctions trigonométriques
- Résoudre $\cos x = a$, $\cos x \leqslant a$
Cours
1. Définition et propriétés
Les fonctions $\cos : x \mapsto \cos x$ et $\sin : x \mapsto \sin x$ sont définies sur $\mathbb{R}$ à l'aide du cercle trigonométrique. Pour tout $x$ : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, $\cos^2x + \sin^2x = 1$.
- $\cos(-x) = \cos x$ : la fonction cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
- $\sin(-x) = -\sin x$ : la fonction sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
- $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ : elles sont $2\pi$-périodiques. Leurs courbes sont invariantes par translation de vecteur $2\pi\vec\imath$.
Il suffit donc de les étudier sur $[0\,;\,\pi]$, puis de compléter par symétrie et par périodicité.
2. Dérivées et variations
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et $\;\sin' = \cos$, $\;\cos' = -\sin$.
Plus généralement, pour $a, b$ réels : $\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b)$ et $\big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b)$ ; et pour $u$ dérivable : $(\sin u)' = u'\cos u$, $(\cos u)' = -u'\sin u$.
La dérivabilité de $\sin$ en 0 avec $\sin'(0) = \cos 0 = 1$ s'écrit : $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$. Pour $x$ petit (en radians !), $\sin x \approx x$.
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos' = -\sin$ | 0 | − | − | − | 0 |
| $\cos$ | $1$ | ↘ | $0$ | ↘ | $-1$ |
| $\sin' = \cos$ | + | + | 0 | − | − |
| $\sin$ | $0$ | ↗ | $1$ | ↘ | $0$ |
3. Équations et inéquations
Si $|a| > 1$ : aucune solution. Sinon, on trouve un réel $\alpha$ tel que $\cos\alpha = a$ ; les solutions sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Pour $\sin x = a$ : $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$.
Exemple : $\cos x = \frac{\sqrt2}{2}$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$ : $x = \frac{\pi}{4}$ ou $x = -\frac{\pi}{4}$.
On lit sur le cercle (ou la courbe) les points dont l'abscisse est supérieure ou égale à $a$. $\cos x \geqslant \frac12$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$ : $x \in \left[-\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{\pi}{3}\right]$.
4. Étudier une fonction trigonométrique
Un triangle isocèle a deux côtés de longueur 1 formant un angle $\theta \in [0\,;\,\pi]$. Son aire est $A(\theta) = \frac12\sin\theta$ ; $A'(\theta) = \frac12\cos\theta$ s'annule en $\frac{\pi}{2}$ : l'aire est maximale pour un angle droit, et vaut $\frac12$.
$f(t) = 3\sin(2t)$ est $\pi$-périodique ($f(t + \pi) = 3\sin(2t + 2\pi) = f(t)$), d'amplitude 3. En physique : $u(t) = U_m\sin(\omega t + \varphi)$, de période $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
La fonction tangente $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ est définie pour $x \neq \frac\pi2 + k\pi$, $\pi$-périodique, impaire, de dérivée $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$.
Mini-jeux
Exercices
Dériver : $f_1(x) = \sin(3x)$ ; $\;f_2(x) = \cos^2 x$ ; $\;f_3(x) = x\sin x$ ; $\;f_4(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.
$3\cos(3x)$ ; $\;-2\sin x\cos x$ ; $\;\sin x + x\cos x$ ; $\;2\sin\left(\frac\pi4 - 2x\right)$.
Étudier la parité de $f(x) = x\cos x$ et de $g(x) = \sin^2 x$. Montrer que $g$ est $\pi$-périodique.
$f(-x) = -x\cos x = -f(x)$ : impaire. $g(-x) = (-\sin x)^2 = g(x)$ : paire. $g(x + \pi) = (-\sin x)^2 = g(x)$.
Résoudre dans $]-\pi\,;\,\pi]$ : $2\cos x = -1$ ; $\;\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\;\cos x \leqslant 0$.
$x = \pm\frac{2\pi}{3}$ ; $\;x = -\frac\pi4$ ou $-\frac{3\pi}{4}$ ; $\;x \in \left]-\pi\,;\,-\frac\pi2\right] \cup \left[\frac\pi2\,;\,\pi\right]$.
Étudier sur $[0\,;\,2\pi]$ la fonction $f(x) = \cos x + \sin x$ : dérivée, variations, extremums.
Maximum de $f$ (valeur exacte, ex : √2) :
$f'(x) = \cos x - \sin x$ s'annule en $\frac\pi4$ et $\frac{5\pi}{4}$. $f$ croît sur $[0\,;\,\frac\pi4]$, décroît sur $[\frac\pi4\,;\,\frac{5\pi}4]$, croît ensuite. Maximum $f(\frac\pi4) = \sqrt2$, minimum $f(\frac{5\pi}4) = -\sqrt2$.
Démontrer que pour tout $x \geqslant 0$ : $\sin x \leqslant x$. (Étudier $h(x) = x - \sin x$.)
$h'(x) = 1 - \cos x \geqslant 0$ : $h$ croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et $h(0) = 0$, donc $h(x) \geqslant 0$.