Limites de suites
L'intuition de Première devient une définition précise. On apprend à calculer des limites (opérations, comparaison, gendarmes) et à prouver qu'une suite converge sans connaître sa limite.
- Définir convergence et divergence
- Calculer des limites par opérations
- Utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes
- Étudier $(q^n)$ et les suites monotones
Cours
1. Définitions
La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $[A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$. (Définition analogue pour $-\infty$ avec $]-\infty\,;\,A]$.)
La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim u_n = \ell$. Si elle existe, cette limite est unique.
Une suite qui ne converge pas est dite divergente (elle tend vers $\pm\infty$, ou n'a pas de limite comme $(-1)^n$).
$\lim n = \lim n^2 = \lim \sqrt n = \lim n^k = +\infty$ ($k \geqslant 1$) ; $\quad\lim \dfrac1n = \lim \dfrac{1}{n^2} = \lim\dfrac{1}{\sqrt n} = 0$.
Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.
Soit $(u_n)$ croissante et non majorée, et $A$ un réel quelconque. Comme la suite n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant : il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$.
La suite étant croissante, pour tout $n \geqslant N$ : $u_n \geqslant u_N > A$. Ainsi l'intervalle $[A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes à partir du rang $N$.
Ceci valant pour tout réel $A$, $\lim u_n = +\infty$. $\blacksquare$
2. Opérations sur les limites
| $\lim u_n$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\lim v_n$ | $\ell'$ | $\pm\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim (u_n + v_n)$ | $\ell + \ell'$ | $\pm\infty$ | $+\infty$ | F.I. | $-\infty$ |
Produit : $\ell\ell'$ ; « $\infty \times \infty$ » et « $\ell \times \infty$ » ($\ell \neq 0$) donnent $\pm\infty$ selon la règle des signes ; « $0 \times \infty$ » est une forme indéterminée.
Quotient : $\frac{\ell}{\ell'}$ si $\ell' \neq 0$ ; $\frac{\ell}{\pm\infty} = 0$ ; $\frac{\ell}{0}$ (avec $\ell \neq 0$) donne $\pm\infty$ selon le signe ; « $\frac{\infty}{\infty}$ » et « $\frac00$ » sont des formes indéterminées.
On factorise par le terme prépondérant. $\;u_n = \dfrac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5} = \dfrac{n^2(3 - \frac1n + \frac{1}{n^2})}{n^2(2 + \frac{5}{n^2})} \to \dfrac{3}{2}$. $\quad v_n = n^2 - 5n = n^2(1 - \frac5n) \to +\infty$.
Avec des racines, on utilise la quantité conjuguée : $\sqrt{n + 1} - \sqrt n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \to 0$.
3. Comparaison et encadrement
Si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
Soit $A$ un réel. Comme $\lim u_n = +\infty$, il existe un rang $N_1$ à partir duquel $u_n \geqslant A$. Par hypothèse, il existe un rang $N_2$ à partir duquel $v_n \geqslant u_n$.
Pour $n \geqslant \max(N_1, N_2)$ : $v_n \geqslant u_n \geqslant A$. Donc $[A\,;\,+\infty[$ contient tous les $v_n$ à partir d'un certain rang, pour tout $A$ : $\lim v_n = +\infty$. $\blacksquare$
Si $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(v_n)$ converge vers $\ell$.
Exemple : $-1 \leqslant \sin n \leqslant 1$ donne $-\frac1n \leqslant \frac{\sin n}{n} \leqslant \frac1n$, donc $\frac{\sin n}{n} \to 0$.
4. Suites géométriques
Si $q > 1$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = +\infty$.
Posons $a = q - 1 > 0$, donc $q = 1 + a$. D'après l'inégalité de Bernoulli (démontrée par récurrence) : pour tout $n$, $q^n = (1 + a)^n \geqslant 1 + na$.
Or $a > 0$ donc $\lim (1 + na) = +\infty$. Par le théorème de comparaison, $\lim q^n = +\infty$. $\blacksquare$
- Si $q > 1$ : $\lim q^n = +\infty$.
- Si $q = 1$ : $q^n = 1$.
- Si $-1 < q < 1$ : $\lim q^n = 0$ (appliquer le cas précédent à $\frac{1}{|q|} > 1$).
- Si $q \leqslant -1$ : pas de limite.
Conséquence : si $-1 < q < 1$, $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \to \dfrac{1}{1 - q}$.
5. Suites monotones
$(u_n)$ est majorée s'il existe $M$ tel que $u_n \leqslant M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $u_n \geqslant m$ ; bornée si elle est les deux.
Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ (voir le chapitre « Continuité »).
Si $u_n \to +\infty$, pour tout $A$ il existe un premier rang $n$ tel que $u_n > A$ : une boucle while le trouve.
Mini-jeux
Exercices
Déterminer les limites : $\;u_n = 3n^2 - \frac1n$ ; $\;v_n = \frac{2}{n + 1} - 5$ ; $\;w_n = (2 - \frac1n)(n + 3)$ ; $\;t_n = \dfrac{4n + 1}{n + 2}$.
$+\infty$ ; $-5$ ; $2 \times (+\infty) = +\infty$ ; $4$ (factoriser par $n$).
Limites de $\;0{,}7^n$ ; $\;3 \times 1{,}2^n$ ; $\;5 - 2\left(\frac13\right)^n$ ; $\;\dfrac{2^n + 3^n}{3^n}$.
Limite de la dernière :
$0$ ; $+\infty$ ; $5$ ; $\left(\frac23\right)^n + 1 \to 1$.
Déterminer la limite de $u_n = n + \sin n$ et de $v_n = \dfrac{(-1)^n}{n^2 + 1}$.
$u_n \geqslant n - 1 \to +\infty$, donc $u_n \to +\infty$. $\;-\frac{1}{n^2+1} \leqslant v_n \leqslant \frac{1}{n^2+1}$, gendarmes : $v_n \to 0$.
$u_0 = 1$, $u_{n+1} = \frac12 u_n + 3$. Montrer par récurrence que $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$, en déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
$u_1 = 3{,}5$ : $1 \leqslant 3{,}5 \leqslant 6$ ✓ ; hérédité par croissance de $x \mapsto \frac12x + 3$. Croissante et majorée : converge vers $\ell$ avec $\ell = \frac12\ell + 3$, soit $\ell = 6$.
Déterminer $\lim\left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)$.
$= \dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac1n} + 1} \to \dfrac12$.
Un ballon lâché de 2 m rebondit à chaque fois aux $\frac34$ de sa hauteur précédente. Quelle distance totale verticale parcourt-il (en théorie) ?
$2 + 2\left(2 \times \frac34 + 2\left(\frac34\right)^2 + \dots\right) = 2 + 2 \times \frac{3/2}{1 - 3/4} = 2 + 12 = 14$ m.