Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Répéter $n$ fois, de façon indépendante, une même expérience à deux issues : c'est le schéma de Bernoulli. Le nombre de succès suit la loi binomiale, l'une des lois les plus utilisées (contrôle qualité, sondages, génétique…).

  • Modéliser par un schéma de Bernoulli
  • Calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale
  • Utiliser la calculatrice ou Python pour $P(X \leqslant k)$
  • Résoudre des problèmes de seuil

Cours

1. Succession d'épreuves indépendantes

Pour une succession de $n$ épreuves indépendantes, l'univers est le produit cartésien des univers de chaque épreuve, et la probabilité d'un n-uplet de résultats $(x_1, \dots, x_n)$ est le produit des probabilités de chaque composante. On la représente par un arbre.

Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès (probabilité $p$) et échec. La variable $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p)$.

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les issues sont les n-uplets de $\{S, E\}^n$ (ou $\{0, 1\}^n$).

2. Loi binomiale

La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$.

Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$, alors pour tout entier $k$ entre 0 et $n$ : $\quad P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$.

L'événement $\{X = k\}$ est formé des issues (n-uplets) comportant exactement $k$ succès et $n - k$ échecs.

Probabilité de chacune : les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'un tel n-uplet est le produit des probabilités de ses composantes, soit $p^k(1 - p)^{n-k}$ (quel que soit l'ordre des succès).

Nombre de ces issues : un n-uplet à $k$ succès est déterminé par l'ensemble des $k$ positions (parmi $n$) où se trouvent les succès : il y en a $\binom{n}{k}$.

En additionnant les probabilités de ces issues deux à deux incompatibles : $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$. $\blacksquare$

On lance 10 fois un dé ; $X$ = nombre de 6 : $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,\frac16)$. $\;P(X = 2) = \binom{10}{2}\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^8 \approx 0{,}291$. $\;P(X \geqslant 1) = 1 - \left(\frac56\right)^{10} \approx 0{,}838$.

$E(X) = np$ ; $\;V(X) = np(1 - p)$ ; $\;\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.

3. Calculs et seuils

$P(X = k)$ : binomFdp / BinomialPD ; $P(X \leqslant k)$ : binomFRép / BinomialCD. Pour $P(X \geqslant k)$, utiliser l'événement contraire : $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$.

On cherche souvent le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}95$ (ou le plus petit $k$ tel que $P(X > k) \leqslant \alpha$) : on calcule les probabilités cumulées jusqu'à franchir le seuil.

from math import comb

def P_egal(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def P_inf(n, p, k):
    return sum(P_egal(n, p, i) for i in range(k + 1))

# Un avion a 200 places. Chaque passager a une probabilité 0,92 de se présenter.
# Combien de billets peut-on vendre au maximum pour que le risque de surréservation
# (plus de 200 passagers présents) reste inférieur à 5 % ?
n = 200
while 1 - P_inf(n + 1, 0.92, 200) < 0.05:
    n = n + 1
print("On peut vendre", n, "billets ; risque :", 1 - P_inf(n, 0.92, 200))

Mini-jeux

Exercices

Dans chaque cas, $X$ suit-elle une loi binomiale ? Préciser les paramètres. (a) On lance 5 pièces, $X$ = nombre de Pile. (b) On tire successivement 3 boules sans remise dans une urne de 5 rouges et 5 noires, $X$ = nombre de rouges. (c) 20 % des clients achètent ; on observe 30 clients indépendants, $X$ = nombre d'acheteurs.

(a) $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)$. (b) Non : sans remise, les tirages ne sont pas indépendants. (c) $\mathcal{B}(30\,;\,0{,}2)$.

$X \sim \mathcal{B}(8\,;\,0{,}3)$. Calculer $P(X = 0)$, $P(X = 3)$, $P(X \geqslant 1)$, $E(X)$.

$E(X) =$

$0{,}7^8 \approx 0{,}0576$ ; $\binom83 0{,}3^3 0{,}7^5 \approx 0{,}254$ ; $1 - 0{,}0576 \approx 0{,}942$ ; $E = 2{,}4$.

3 % des pièces d'une production sont défectueuses. On prélève 50 pièces (tirage assimilé à un tirage avec remise). Probabilité d'avoir au plus 2 pièces défectueuses ?

$X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}03)$ : $P(X \leqslant 2) \approx 0{,}218 + 0{,}337 + 0{,}256 \approx 0{,}811$.

Un joueur réussit un lancer franc avec probabilité 0,6. Combien de lancers doit-il tenter pour que la probabilité d'en réussir au moins un dépasse 0,999 ?

$1 - 0{,}4^n > 0{,}999 \iff 0{,}4^n < 0{,}001 \iff n > \frac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}4} \approx 7{,}54$ : 8 lancers.

Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. Montrer que $\dfrac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \dfrac{(n - k)p}{(k + 1)(1 - p)}$. En déduire la valeur de $k$ la plus probable pour $n = 20$, $p = 0{,}3$.

$\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk} = \frac{n - k}{k + 1}$, d'où le résultat. Le rapport est $> 1 \iff (n - k)p > (k + 1)(1 - p) \iff k < np - (1 - p) = 5{,}3$. Les probabilités croissent jusqu'à $k = 6$ puis décroissent : le mode est 6.