Sommes de variables aléatoires

Beaucoup de grandeurs aléatoires sont des sommes : gain total sur plusieurs parties, nombre de succès, moyenne d'un échantillon… Espérance et variance d'une somme se calculent à partir de celles des termes.

  • Utiliser la linéarité de l'espérance
  • Calculer la variance d'une somme de variables indépendantes
  • Décomposer une variable en somme de variables simples
  • Étudier la somme et la moyenne d'un échantillon

Cours

1. Somme de deux variables aléatoires

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur le même univers, $X + Y$ est la variable aléatoire qui à chaque issue $\omega$ associe $X(\omega) + Y(\omega)$.

Exemple : on lance deux dés, $X$ et $Y$ sont les résultats, $X + Y$ est la somme obtenue.

Pour toutes variables aléatoires $X$, $Y$ et tout réel $a$ : $\;E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $\;E(aX) = aE(X)$.

Cette propriété est vraie même si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes si, pour toutes valeurs $x$ et $y$, les événements $\{X = x\}$ et $\{Y = y\}$ sont indépendants. C'est le cas quand elles décrivent les résultats d'épreuves indépendantes (deux lancers de dé, deux tirages avec remise…).

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $\;V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Pour tout réel $a$ : $\;V(aX) = a^2V(X)$.

Sans indépendance, la formule $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est fausse en général. Exemple : $V(X + X) = V(2X) = 4V(X) \neq 2V(X)$ (si $V(X) \neq 0$).

Et ce sont les variances qui s'ajoutent, pas les écarts types : $\sigma(X + Y) = \sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2}$.

2. Application à la loi binomiale

Si $X$ compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, alors $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$, où $X_i$ vaut 1 si la $i$-ème épreuve est un succès et 0 sinon. Les $X_i$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$, alors $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$.

Loi de Bernoulli. Si $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X_i) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$, et $E(X_i^2) = p$ (car $X_i^2 = X_i$), donc $V(X_i) = E(X_i^2) - E(X_i)^2 = p - p^2 = p(1 - p)$.

Somme. On écrit $X = X_1 + \dots + X_n$ comme ci-dessus. Par linéarité de l'espérance : $$E(X) = E(X_1) + \dots + E(X_n) = np.$$

Les $X_i$ étant indépendantes, les variances s'additionnent : $$V(X) = V(X_1) + \dots + V(X_n) = np(1 - p). \quad\blacksquare$$

3. Échantillons

Un échantillon de taille $n$ d'une loi donnée est une liste $(X_1, \dots, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes suivant toutes cette loi (d'espérance $\mu$ et de variance $V$). On lui associe la somme $S_n = X_1 + \dots + X_n$ et la moyenne $M_n = \dfrac{S_n}{n}$.

$$E(S_n) = n\mu \qquad V(S_n) = nV \qquad \sigma(S_n) = \sqrt n\,\sigma$$ $$E(M_n) = \mu \qquad V(M_n) = \frac{V}{n} \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}$$

Linéarité : $E(S_n) = \sum E(X_i) = n\mu$ ; indépendance : $V(S_n) = \sum V(X_i) = nV$. Puis $E(M_n) = \frac1n E(S_n) = \mu$ et $V(M_n) = \frac{1}{n^2}V(S_n) = \frac{V}{n}$.

La moyenne d'un échantillon a la même espérance que la loi, mais son écart type est divisé par $\sqrt n$ : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne est « concentrée » autour de $\mu$. C'est l'idée de la loi des grands nombres (chapitre suivant).

Un joueur fait 100 parties indépendantes d'un jeu de gain moyen $-0{,}2$ € et d'écart type 3 €. Gain total $S$ : $E(S) = -20$ €, $\sigma(S) = \sqrt{100} \times 3 = 30$ €. Gain moyen par partie $M$ : $E(M) = -0{,}2$ €, $\sigma(M) = 0{,}3$ €.

Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $E(XY) = E(X)E(Y)$, ce qui permet de démontrer $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ via $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.

Méthodes à connaître

  1. Écris la variable comme une somme : $S = X_1 + \dots + X_n$ (ou $aX + b$).
  2. Espérance : toujours linéaire, $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX + b) = aE(X) + b$.
  3. Variance : $V(aX + b) = a^2V(X)$ ; $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Exemple. Somme de deux dés indépendants : $E = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$, $V = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$.

  1. Pour $X_1, \dots, X_n$ indépendantes de même loi que $X$ : $E(S_n) = nE(X)$ et $V(S_n) = nV(X)$.
  2. Pour la moyenne $M_n = \frac{S_n}{n}$ : $E(M_n) = E(X)$ et $V(M_n) = \frac{V(X)}{n}$.
  3. Conclus : la moyenne a la même espérance mais une dispersion $\sqrt n$ fois plus petite (écart type).
  1. Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, écris $X = X_1 + \dots + X_n$ avec $X_i$ de Bernoulli indépendantes.
  2. Déduis-en $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$.

Mini-jeux

Exercices

On lance deux dés équilibrés. Calculer l'espérance et la variance de la somme $S$, sachant que pour un dé $E = 3{,}5$ et $V = \frac{35}{12}$.

$E(S) =$

$E(S) = 7$ ; dés indépendants : $V(S) = \frac{35}{6} \approx 5{,}83$.

$E(X) = 4$, $V(X) = 9$, $E(Y) = -1$, $V(Y) = 4$, $X$ et $Y$ indépendantes. Calculer $E(2X - 3Y + 1)$ et $V(2X - 3Y + 1)$.

$E = 8 + 3 + 1 = 12$. $V = 4 \times 9 + 9 \times 4 = 72$ (les coefficients sont élevés au carré, et $-3$ donne $+9$).

Un QCM de 20 questions indépendantes a 4 réponses par question. Un élève répond au hasard. Espérance et écart type du nombre de bonnes réponses ? Avec +1 point par bonne réponse et −0,25 par mauvaise, quelle est l'espérance de la note ?

$X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}25)$ : $E(X) = 5$, $\sigma = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94$. Note $N = X - 0{,}25(20 - X) = 1{,}25X - 5$ : $E(N) = 6{,}25 - 5 = 1{,}25$.

La masse d'un paquet de café est une variable d'espérance 250 g et d'écart type 4 g. On forme un carton de 16 paquets (masses indépendantes). Espérance et écart type de la masse totale ? De la masse moyenne d'un paquet du carton ?

Total : $E = 4\,000$ g, $\sigma = 4\sqrt{16} = 16$ g. Moyenne : $E = 250$ g, $\sigma = \frac{4}{4} = 1$ g.

On veut que l'écart type de la moyenne d'un échantillon de lancers de dé soit inférieur à 0,05. Quelle taille minimale d'échantillon faut-il ?

$\sigma(M_n) = \frac{\sqrt{35/12}}{\sqrt n} < 0{,}05 \iff n > \frac{35/12}{0{,}0025} \approx 1\,166{,}7$ : $n \geqslant 1\,167$.