✎ Les méthodes à connaître — Seconde

On effectue la division euclidienne de $a$ par $b$ (à la calculatrice : on regarde si $a \div b$ est un entier). $a$ est un multiple de $b$ si et seulement si le reste est nul.

En Python, l'opérateur % donne le reste : a % b == 0 vaut True quand $b$ divise $a$.

On divise le numérateur et le dénominateur par leurs diviseurs communs, jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus. Le plus rapide : diviser directement par le plus grand diviseur commun.

$\dfrac{84}{126} = \dfrac{42}{63} = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$ (divisions successives par $2$, $3$ puis $7$), ou directement : $\dfrac{84}{126} = \dfrac{2 \times 42}{3 \times 42} = \dfrac{2}{3}$.

Les chiffres significatifs d'un nombre sont ses chiffres en partant du premier chiffre non nul. $0{,}004\,07$ a 3 chiffres significatifs (4, 0, 7).

Dans un problème, on arrondit le résultat avec autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise. Si une longueur mesurée vaut $2{,}3$ m et une autre $4{,}15$ m, on ne donnera pas une aire de $9{,}545$ m² mais $9{,}5$ m².

Résoudre $|x + 1| \leqslant 3$. On écrit $x + 1 = x - (-1)$ : c'est la distance entre $x$ et $-1$. Les solutions sont les réels à distance au plus 3 de $-1$ : $S = [-1 - 3\,;\,-1 + 3] = [-4\,;\,2]$.

Inversement, l'intervalle $[2\,;\,10]$ a pour centre $\dfrac{2 + 10}{2} = 6$ et pour rayon $\dfrac{10 - 2}{2} = 4$ : $x \in [2\,;\,10] \iff |x - 6| \leqslant 4$.

On fait apparaître le plus grand carré parfait possible sous la racine :

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\times\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ ; $\quad 3\sqrt{20} - \sqrt{45} = 3 \times 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

$\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

1. Chercher un facteur commun. $\;(x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 5) = (x + 1)\big[(2x - 3) + (x + 5)\big] = (x + 1)(3x + 2)$.

2. Reconnaître une identité remarquable. $\;x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$ ; $\;\;4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$ ; $\;\;(x - 1)^2 - 9 = (x - 1 - 3)(x - 1 + 3) = (x - 4)(x + 2)$.

Résoudre $5x - 3 = 2x + 9$.

$5x - 3 - 2x = 2x + 9 - 2x \iff 3x - 3 = 9 \iff 3x = 12 \iff x = 4$. $\quad$ Donc $S = \{4\}$.

Plus généralement, pour $a \neq 0$ : $\;ax + b = 0 \iff x = -\dfrac{b}{a}$.

Résoudre $3 - 4x \geqslant 11$.

$-4x \geqslant 8 \iff x \leqslant \dfrac{8}{-4}$ (on divise par $-4 < 0$ : le sens change) $\iff x \leqslant -2$.

$S = ]-\infty\,;\,-2]$.

Étudier le signe de $P(x) = (2x - 4)(-x + 3)$.

$2x - 4 = 0 \iff x = 2$ (coefficient $2 > 0$) ; $\;-x + 3 = 0 \iff x = 3$ (coefficient $-1 < 0$).

La dernière ligne s'obtient par la règle des signes. Ainsi $P(x) > 0 \iff x \in \,]2\,;\,3[$.

Pour $Q(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ : même méthode, mais on place une double barre ‖ là où le dénominateur s'annule (valeur interdite).

$Q(x) \leqslant 0 \iff x \in [-1\,;\,2[$ (2 est exclu : valeur interdite).

Résoudre $x^2 < 9$. $\;x^2 - 9 < 0 \iff (x - 3)(x + 3) < 0$. Un tableau de signes donne $S = ]-3\,;\,3[$.

Réflexe : tout passer d'un côté, factoriser, puis tableau de signes.

$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PP} = \vec{0}$.

Astuce : on réordonne les termes pour que l'extrémité de l'un soit l'origine du suivant. Pour une différence : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

On peut toujours insérer un point : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}$ pour tout point $M$. C'est la clé de nombreuses démonstrations.

Soient $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(5\,;\,-1)$. Trouvons $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

$ABCD$ parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. $\;\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$ et $\overrightarrow{DC}(5 - x_D\,;\,-1 - y_D)$.

$5 - x_D = 3$ et $-1 - y_D = 1$, donc $D(2\,;\,-2)$.

$A(-1\,;\,3)$, $B(2\,;\,1)$, $C(8\,;\,-3)$ sont-ils alignés ?

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\-6\end{pmatrix}$ et $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3 \times (-6) - 9 \times (-2) = -18 + 18 = 0$.

Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Pour montrer $(AB) \parallel (CD)$, on vérifie que $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$.

Droite $d$ passant par $A(2\,;\,-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\,2)$ : on cherche $ax + by + c = 0$ avec $-b = 3$ et $a = 2$, soit $2x - 3y + c = 0$. $A \in d$ donne $4 + 3 + c = 0$, donc $c = -7$. $\;d : 2x - 3y - 7 = 0$.

$A(-1\,;\,5)$ et $B(3\,;\,-3)$. $\;m = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$. Donc $y = -2x + p$.

$A$ est sur la droite : $5 = -2 \times (-1) + p$, d'où $p = 3$. $\quad (AB) : y = -2x + 3$.

À partir de $y = mx + p$ : on place le point $(0\,;\,p)$, puis on avance de 1 horizontalement et de $m$ verticalement (ou de 3 et $3m$ si $m$ est un tiers…).

À partir de $ax + by + c = 0$ : on calcule deux points (par exemple avec $x = 0$ puis $y = 0$) et on les relie.

Exemple : $2x - 3y + 6 = 0$. Pour $x = 0$ : $y = 2$. Pour $y = 0$ : $x = -3$. La droite passe par $(0\,;\,2)$ et $(-3\,;\,0)$.

$d : y = 2x - 1$ et $d' : y = -x + 5$. Pentes $2 \neq -1$ : sécantes.

$2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2$, puis $y = 2 \times 2 - 1 = 3$. Point d'intersection : $(2\,;\,3)$.

Pour savoir si $C$ est sur la droite $(AB)$, on détermine une équation de $(AB)$ et on vérifie si les coordonnées de $C$ la satisfont (ou on calcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$).

$f(x) = 2x^2 - 3$. Le point $A(-2\,;\,5)$ est-il sur $\mathcal{C}_f$ ? $\;f(-2) = 2 \times 4 - 3 = 5 = y_A$ : oui.

Le point $B(1\,;\,0)$ ? $\;f(1) = -1 \neq 0$ : non.

• Image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.
• Antécédents de $b$ : on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on trace la droite horizontale $y = b$, et on lit les abscisses de tous les points d'intersection avec la courbe.

Une lecture graphique donne en général une valeur approchée.

• Graphique : rapide, donne une idée et des valeurs approchées.
• Algébrique : exacte, quand on sait résoudre (premier degré, produit nul, $x^2 = a$…).
• Logicielle (calculatrice, GeoGebra, Python) : pour les cas plus complexes.

Exemple : résoudre $x^2 = x + 2$. Graphiquement (exemple 1 ci-dessus), on conjecture $S = \{-1\,;\,2\}$. Algébriquement : $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$, donc c'est exact.

$f(x) > 0$ là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, $f(x) < 0$ là où elle est en dessous. Les points d'intersection avec l'axe donnent les solutions de $f(x) = 0$. On résume dans un tableau de signes.

Pour une fonction produit ou quotient de facteurs du premier degré, on utilise la méthode algébrique du chapitre « Équations, inéquations et signe ».

$f$ est affine avec $f(2) = 1$ et $f(5) = 10$. $\;m = \dfrac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; $\;f(2) = 3 \times 2 + p = 1$ donne $p = -5$. Donc $f(x) = 3x - 5$.

$|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$. Donc, pour $r > 0$ :

• $|x - a| = r \iff x = a - r$ ou $x = a + r$ ;
• $|x - a| \leqslant r \iff x \in [a - r\,;\,a + r]$ ;
• $|x - a| > r \iff x \in \,]-\infty\,;\,a - r[\,\cup\,]a + r\,;\,+\infty[$.

Exemple : $|x + 3| = 5$ : distance à $-3$ égale à 5, $S = \{-8\,;\,2\}$. Si $r < 0$, l'équation $|x - a| = r$ n'a pas de solution.

Montrons que $f(x) = x^2 - 6x + 11$ admet un minimum égal à 2. On écrit $f(x) = (x - 3)^2 + 2$. Comme $(x - 3)^2 \geqslant 0$, on a $f(x) \geqslant 2$ pour tout $x$, et $f(3) = 2$. Le minimum est 2, atteint en 3.

1. Sur la courbe, repère les intervalles où la fonction monte ou descend.
2. Place les bornes et les abscisses des extremums sur la première ligne.
3. Indique les flèches et les valeurs de $f$ aux extrémités des flèches.

1. Vérifie que les deux nombres sont dans un même intervalle où $f$ est monotone.
2. Si $f$ est croissante : elle conserve l'ordre ; décroissante : elle l'inverse.
3. Conclus : par exemple, si $f$ est décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et $2 < 3$, alors $f(2) > f(3)$.

Après une hausse de 8 %, un prix vaut 54 €. Prix initial : $V_1 = \frac{54}{1{,}08} = 50$ €. (Et surtout pas $54 \times 0{,}92$ !)

Une population augmente de 21 % en deux ans. Si le taux annuel $t$ était le même chaque année : $(1 + t)^2 = 1{,}21$, donc $1 + t = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ : $t = 10\,\%$ par an.

Classes $[0\,;\,10[$, $[10\,;\,20[$, $[20\,;\,30[$ d'effectifs 6, 10, 4 ($N = 20$). Effectifs cumulés : 6, 16, 20. $\;\frac{N}{2} = 10$ : la classe médiane est $[10\,;\,20[$.

Il faut « avancer » de $10 - 6 = 4$ individus sur les 10 de la classe : $Me \approx 10 + \frac{4}{10} \times 10 = 14$.

1. Range les valeurs dans l'ordre croissant.
2. Moyenne : $\bar x = \frac{\sum n_ix_i}{N}$ ; médiane : valeur du milieu (ou moyenne des deux valeurs du milieu).
3. Quartiles : $Q_1$ est la valeur de rang $\frac N4$ arrondi à l'entier supérieur, $Q_3$ celle de rang $\frac{3N}{4}$ arrondi à l'entier supérieur.
4. Écart interquartile $Q_3 - Q_1$ ; écart type à la calculatrice.

1. Compare les indicateurs de position (moyenne, médiane) : lequel est plus élevé ?
2. Compare les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, écart type) : laquelle est plus homogène ?
3. Conclus par une phrase dans le contexte.

Pour savoir si la pratique sportive dépend du niveau, on compare les fréquences conditionnelles en ligne : 60 % en seconde, $\frac{40}{70} \approx 57\,\%$ en première, $\frac{18}{40} = 45\,\%$ en terminale. La pratique semble diminuer avec le niveau. Comparer les effectifs bruts (54, 40, 18) serait trompeur car les groupes n'ont pas la même taille.

Dans un lycée de 800 élèves, 55 % sont des filles ; 30 % des filles et 20 % des garçons sont internes. Filles : $0{,}55 \times 800 = 440$ ; filles internes : $0{,}3 \times 440 = 132$ ; garçons : 360 ; garçons internes : $0{,}2 \times 360 = 72$. On complète le reste par soustraction : 204 internes, 596 externes, etc.

Un magasin reçoit 70 % de ses ampoules du fournisseur $F$, le reste d'un autre fournisseur. 2 % des ampoules de $F$ sont défectueuses, et 5 % des autres. On prend une ampoule au hasard ; $D$ = « elle est défectueuse ».

$P(F \cap D) = 0{,}7 \times 0{,}02 = 0{,}014$ ; $\;P(\bar{F} \cap D) = 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}015$ ; $\;P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$.

L'ampoule est défectueuse : probabilité qu'elle vienne de $F$ ? $\;P_D(F) = \dfrac{P(F \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}014}{0{,}029} \approx 0{,}48$.

1. Décris l'univers (toutes les issues) et vérifie qu'elles sont équiprobables.
2. Compte les issues favorables (tableau à double entrée pour deux dés, arbre pour des tirages successifs).
3. $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.

Exemple. Deux dés : $P(\text{somme} = 8) = \frac{5}{36}$ (5 cases sur 36).

1. Contraire : $P(\bar A) = 1 - P(A)$, très utile pour « au moins un ».
2. Réunion : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
3. Événements incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

• Pour prouver « pour tout $x$… » : une démonstration générale (des exemples ne suffisent pas).
• Pour réfuter « pour tout $x$… » : un seul contre-exemple suffit.
• Pour prouver « il existe $x$… » : un exemple suffit.

On sépare l'étude en plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités. Exemple : montrer que $n^2 + n$ est pair, en distinguant $n$ pair et $n$ impair (voir le chapitre 1).

On suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer, et on aboutit à une contradiction. Exemple : l'irrationalité de $\sqrt{2}$ (chapitre 2).

Pour montrer « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair », on montre la contraposée « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair », plus facile.

1. Nombre de répétitions connu : for i in range(n):.
2. Répétition jusqu'à une condition : while condition: (la condition est celle pour continuer).
3. Initialise les variables avant la boucle, mets à jour dans la boucle, affiche ou renvoie après.

Exemple. Somme des carrés de 1 à 10 : s = 0 puis for k in range(1, 11): s = s + k**2.

1. Fais un tableau avec une colonne par variable.
2. Exécute les instructions une par une, en notant chaque nouvelle valeur sur une nouvelle ligne.
3. Pour une boucle while, teste la condition avant chaque passage.

1. def nom(paramètres): puis le corps indenté de 4 espaces.
2. Utilise return pour renvoyer le résultat (différent de print, qui affiche).
3. Teste la fonction sur des valeurs dont tu connais le résultat.

Exemple. def aire_disque(r): return 3.14159 * r**2.