Vecteurs du plan

Un vecteur, c'est un déplacement : une direction, un sens et une longueur. Cet outil, découvert en troisième avec les translations, devient en seconde une vraie machine à démontrer.

  • Définir un vecteur à partir d'une translation
  • Construire la somme de deux vecteurs
  • Utiliser la relation de Chasles
  • Multiplier un vecteur par un réel

Cours

1. Translations et vecteurs

Soient $A$ et $B$ deux points du plan. La translation qui transforme $A$ en $B$ associe à tout point $M$ l'unique point $M'$ tel que $ABM'M$ soit un parallélogramme (éventuellement aplati).

À cette translation on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$. Il est caractérisé par :

  • sa direction : celle de la droite $(AB)$ ;
  • son sens : de $A$ vers $B$ ;
  • sa norme (longueur) : la distance $AB$, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.

Le point $A$ est l'origine du représentant, $B$ son extrémité. On note souvent un vecteur par une seule lettre : $\vec{u}$.

Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux s'ils sont associés à la même translation, c'est-à-dire s'ils ont même direction, même sens et même norme.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

ABCD
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : $ABCD$ est un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres !

Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est associé à la translation qui laisse tout point fixe : $\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \vec{0}$.

Le vecteur opposé à $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$ : même direction, même norme, sens contraire. On note $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.

$I$ est le milieu de $[AB]$ $\iff \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est appelé vecteur déplacement de $A$ à $B$. Si un point $O$ est choisi comme origine, $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur position du point $M$. Vitesse et force sont aussi modélisées par des vecteurs.

2. Somme de vecteurs

La somme $\vec{u} + \vec{v}$ est le vecteur associé à la translation obtenue en enchaînant la translation de vecteur $\vec{u}$ puis celle de vecteur $\vec{v}$.

Pour tous points $A$, $B$, $C$ du plan : $\quad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$

Si $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ ont la même origine, alors $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ où $D$ est le point tel que $ABDC$ est un parallélogramme.

$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PP} = \vec{0}$.

Astuce : on réordonne les termes pour que l'extrémité de l'un soit l'origine du suivant. Pour une différence : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

On peut toujours insérer un point : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}$ pour tout point $M$. C'est la clé de nombreuses démonstrations.

3. Produit d'un vecteur par un réel

Soit $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k$ un réel non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ a :

  • la même direction que $\vec{u}$ ;
  • le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$ ;
  • pour norme $|k| \times \|\vec{u}\|$.

Par convention, $0\vec{u} = \vec{0}$ et $k\vec{0} = \vec{0}$.

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et réels $k$, $k'$ : $\;k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ ; $\;(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$ ; $\;k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}$.

$I$ est le milieu de $[AB]$ $\iff \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI} \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.

De plus, pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$.

Avec Chasles : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{MI} + \vec{0}$. $\blacksquare$

4. Colinéarité et combinaisons linéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$). Autrement dit, ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

  • Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles $\iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
  • Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Un vecteur de la forme $a\vec{u} + b\vec{v}$ ($a$, $b$ réels) est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur $\vec{w}$ du plan s'écrit de manière unique $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. On dit que $(\vec{u}, \vec{v})$ est une base du plan.

$ABC$ est un triangle et $M$ le point défini par $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$. Montrons que $M$, $B$, $C$ sont alignés.

$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} = 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{CB}$.

$\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont colinéaires : les droites $(BM)$ et $(CB)$ sont parallèles et ont le point $B$ en commun, donc $M$, $B$, $C$ sont alignés.

La notion de vecteur s'est construite au XIXe siècle, notamment avec Bellavitis, Grassmann et Hamilton, puis s'est imposée grâce à la physique (forces, vitesses) avec Gibbs et Heaviside. Aujourd'hui, les vecteurs sont partout : infographie, jeux vidéo, intelligence artificielle…

Mini-jeux

Exercices

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Compléter par un vecteur égal ayant pour origine ou extrémité un point de la figure :

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D\dots}$ ; $\quad \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{\dots C}$ ; $\quad \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{O\dots}$ ; $\quad -\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{\dots}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ; $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$ (les diagonales se coupent en leur milieu) ; $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$ ; $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Simplifier : $\;\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ ; $\;\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP}$ ; $\;\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LK}$ ; $\;\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AD}$ ; $\;\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PN}$ ; $\;\vec{0}$ ; $\;\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$.

Placer trois points non alignés $A$, $B$, $C$. Construire les points $D$, $E$, $F$ tels que : $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ ; $\;\overrightarrow{BE} = 2\overrightarrow{BC}$ ; $\;\overrightarrow{CF} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

$D$ : quatrième sommet du parallélogramme $ABDC$. $E$ : sur la demi-droite $[BC)$, avec $BE = 2BC$ ($C$ est le milieu de $[BE]$). $F$ : on part de $C$, on se déplace parallèlement à $(AB)$, dans le sens de $B$ vers $A$, d'une longueur $\frac{AB}{2}$.

Soient $A$, $B$, $C$ trois points non alignés et $D$ le point tel que $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. Montrer que $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$. Quelle est la nature de $ABDC$ ?

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$.

L'égalité $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ signifie que $ACDB$ est un parallélogramme ; c'est le même quadrilatère que $ABDC$ (parcouru dans l'autre sens). Comme $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, il n'est pas aplati.

$ABC$ est un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$. On pose $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$. Exprimer en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BI}$, $\overrightarrow{AI}$.

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\vec{u} + \vec{v}$. $\;\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}$. $\;\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}$.

$ABC$ est un triangle, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$. Démontrer que $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Que peut-on en déduire ?

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Donc $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \frac{1}{2}BC$ : on retrouve le théorème des milieux.

$ABCD$ est un parallélogramme. $E$ est défini par $\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et $F$ par $\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AD}$.

  1. Exprimer $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
  2. En déduire que $C$, $E$, $F$ sont alignés.
  1. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. $\;\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$. $\;\overrightarrow{CF} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + 3\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$.
  2. $\overrightarrow{CF} = -2\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\right) = -2\overrightarrow{CE}$ : vecteurs colinéaires avec le point $C$ commun, donc $C$, $E$, $F$ alignés.

$ABC$ est un triangle, $A'$ le milieu de $[BC]$, et $G$ le point défini par $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.

  1. Montrer que $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA'}$.
  2. En déduire que $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$.
  3. Que représente le point $G$ ?
  1. C'est la propriété du milieu : $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA'}$.
  2. Donc $\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GA'} = \vec{0}$, soit $\overrightarrow{GA} + 2(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AA'}) = \vec{0}$, d'où $3\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{AA'}$ et $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$.
  3. $G$ est sur la médiane $[AA']$, aux deux tiers depuis $A$. Par symétrie du rôle des sommets, il est sur les trois médianes : c'est le centre de gravité du triangle.

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Démontrer qu'il existe un unique point $M$ tel que $2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \vec{0}$ et exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.

$2\overrightarrow{MA} + 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0} \iff 5\overrightarrow{MA} = -3\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. Cette égalité définit un unique point $M$ sur le segment $[AB]$.