Puissances, racines et calcul littéral

Les règles de calcul sont les outils de base de tout le lycée. Ici on les maîtrise pour les puissances et les racines carrées, on développe et on factorise, et on apprend à comparer deux nombres.

  • Calculer avec des puissances entières relatives
  • Manipuler les racines carrées
  • Développer et factoriser (identités remarquables)
  • Comparer par différence ou par quotient

Cours

1. Puissances entières relatives

Soit $a$ un réel et $n$ un entier naturel non nul.

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} \qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \;\;(a \neq 0)$$

Pour tous réels $a$, $b$ non nuls et tous entiers relatifs $m$, $n$ :

$a^m \times a^n = a^{m+n}$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$(a^m)^n = a^{mn}$
$(ab)^n = a^n b^n$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$a^{-1} = \dfrac{1}{a}$

$2^5 \times 2^{-3} = 2^{2} = 4$ ; $\quad \dfrac{10^4}{10^{-2}} = 10^{6}$ ; $\quad (3^2)^{-2} = 3^{-4} = \dfrac{1}{81}$ ; $\quad 5^3 \times 2^3 = 10^3 = 1\,000$.

$\dfrac{6^{5}}{2^{5} \times 3^{3}} = \dfrac{2^5 \times 3^5}{2^5 \times 3^3} = 3^2 = 9$.

  • $(-2)^4 = 16$ mais $-2^4 = -(2^4) = -16$ : la puissance est prioritaire sur le signe « − ».
  • $2^3 + 2^4 \neq 2^7$ : il n'y a pas de règle pour la somme de puissances. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$.
  • $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ (voir les identités remarquables).

Tout décimal non nul s'écrit de manière unique $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant |a| < 10$ et $n \in \mathbb{Z}$. Exemples : $345\,000 = 3{,}45 \times 10^5$ ; $\;0{,}000\,72 = 7{,}2 \times 10^{-4}$.

2. Racines carrées

Soit $a$ un réel positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique réel positif dont le carré est $a$ : $$\sqrt{a} \geqslant 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a.$$

$\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ : aucun carré n'est négatif.

Pour tout réel $a$ : $\;\sqrt{a^2} = |a|$.

Exemple : $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Attention, $\sqrt{a^2} = a$ n'est vrai que si $a \geqslant 0$.

Pour tous réels $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : $\;\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$, $\;$ et si $b > 0$ : $\;\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Les nombres $\sqrt{ab}$ et $\sqrt{a}\sqrt{b}$ sont tous deux positifs. Calculons leurs carrés :

$\left(\sqrt{ab}\right)^2 = ab$ et $\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt{b}\right)^2 = ab$.

Deux nombres positifs qui ont le même carré sont égaux (si $x, y \geqslant 0$ et $x^2 = y^2$, alors $(x - y)(x + y) = 0$, donc $x = y$ ou $x = -y$ ; le second cas impose $x = y = 0$). Donc $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$. $\blacksquare$

En général $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Contre-exemple : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

On fait apparaître le plus grand carré parfait possible sous la racine :

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\times\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ ; $\quad 3\sqrt{20} - \sqrt{45} = 3 \times 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

$\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

3. Développer, factoriser

Développer, c'est transformer un produit en somme. Factoriser, c'est transformer une somme en produit.

$$\underbrace{k(a + b)}_{\text{produit}} \;\;\underset{\text{factoriser}}{\overset{\text{développer}}{\rightleftarrows}}\;\; \underbrace{ka + kb}_{\text{somme}}$$

Double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. $\blacksquare$

$(3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25$.

$(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49$.

$(x + 2)(3x - 1) - (x - 4)^2 = 3x^2 - x + 6x - 2 - (x^2 - 8x + 16) = 2x^2 + 13x - 18$.

1. Chercher un facteur commun. $\;(x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 5) = (x + 1)\big[(2x - 3) + (x + 5)\big] = (x + 1)(3x + 2)$.

2. Reconnaître une identité remarquable. $\;x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$ ; $\;\;4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$ ; $\;\;(x - 1)^2 - 9 = (x - 1 - 3)(x - 1 + 3) = (x - 4)(x + 2)$.

4. Expressions fractionnaires

Pour $b$, $d$ non nuls : $\;\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ ; $\quad \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ ; $\quad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ (avec $c \neq 0$).

Pour $x \neq 0$ et $x \neq -1$ : $\;\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1) - x}{x(x + 1)} = \dfrac{x + 2}{x(x + 1)}$.

5. Comparer deux nombres

Pour comparer $a$ et $b$, on étudie le signe de $a - b$ : si $a - b > 0$ alors $a > b$ ; si $a - b < 0$ alors $a < b$.

La différence $a - b$ mesure de combien $a$ dépasse $b$ (variation additive).

Pour deux nombres strictement positifs, on peut étudier le rapport $\dfrac{a}{b}$ : si $\dfrac{a}{b} > 1$ alors $a > b$ ; si $\dfrac{a}{b} < 1$ alors $a < b$.

Le rapport (ou ratio) indique combien de fois $a$ est plus grand que $b$ (variation multiplicative).

Une ville A compte 12 000 habitants et une ville B 48 000. Comparaison additive : B a 36 000 habitants de plus que A. Comparaison multiplicative : B est 4 fois plus peuplée que A ($\frac{48\,000}{12\,000} = 4$). Les deux points de vue sont utiles, selon ce qu'on veut montrer.

Comparer $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{a+1}{b+1}$ pour $0 < a < b$ : $\;\dfrac{a+1}{b+1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b(a+1) - a(b+1)}{b(b+1)} = \dfrac{b - a}{b(b+1)} > 0$. Donc $\dfrac{a+1}{b+1} > \dfrac{a}{b}$.

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ et $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Pour $a, b > 0$, la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique : $\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a + b}{2}$ (car $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geqslant 0$).

Mini-jeux

Exercices

Écrire sous la forme $a^n$ : $\;A = 3^4 \times 3^{-6}$, $\;B = \dfrac{7^{3}}{7^{-2}}$, $\;C = (2^{-3})^4$, $\;D = 5^6 \times 2^6$.

$A = 3^{-2}$ ; $B = 7^{5}$ ; $C = 2^{-12}$ ; $D = 10^6$.

Donner l'écriture scientifique de : $\;E = 0{,}000\,054$ ; $\;F = 72 \times 10^{5}$ ; $\;G = \dfrac{3 \times 10^{4} \times 8 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-2}}$.

$E = 5{,}4 \times 10^{-5}$ ; $F = 7{,}2 \times 10^{6}$ ; $G = \dfrac{24}{6} \times 10^{4 - 7 + 2} = 4 \times 10^{-1}$.

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible : $\sqrt{50}$, $\sqrt{48}$, $\sqrt{300}$, $\;\sqrt{8} + \sqrt{18}$.

$\sqrt{8} + \sqrt{18} = a\sqrt{2}$ avec $a =$

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ; $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ ; $\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ ; $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Développer et réduire : $\;(x + 4)^2$ ; $\;(5 - 2x)^2$ ; $\;(3x + 1)(3x - 1)$ ; $\;(x - 2)(4 - x)$.

$x^2 + 8x + 16$ ; $\;25 - 20x + 4x^2$ ; $\;9x^2 - 1$ ; $\;4x - x^2 - 8 + 2x = -x^2 + 6x - 8$.

Factoriser : $\;6x^2 - 9x$ ; $\;x^2 - 49$ ; $\;x^2 - 10x + 25$ ; $\;9x^2 + 12x + 4$.

$3x(2x - 3)$ ; $\;(x - 7)(x + 7)$ ; $\;(x - 5)^2$ ; $\;(3x + 2)^2$.

Factoriser : $\;A = (2x + 1)(x - 3) - (2x + 1)(4x + 5)$ ; $\;B = (x + 3)^2 - 16$ ; $\;C = 4x^2 - 1 + (2x + 1)(x - 2)$.

$A = (2x + 1)\big[(x - 3) - (4x + 5)\big] = (2x + 1)(-3x - 8)$.

$B = (x + 3 - 4)(x + 3 + 4) = (x - 1)(x + 7)$.

$C = (2x - 1)(2x + 1) + (2x + 1)(x - 2) = (2x + 1)(3x - 3) = 3(2x + 1)(x - 1)$.

Sans calculatrice, calculer $\;101^2$, $\;99^2$, $\;103 \times 97$ et $\;1\,001^2 - 999^2$.

$101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,201$ ; $\;99^2 = (100 - 1)^2 = 9\,801$ ; $\;103 \times 97 = 100^2 - 3^2 = 9\,991$ ; $\;1\,001^2 - 999^2 = (1\,001 - 999)(1\,001 + 999) = 2 \times 2\,000 = 4\,000$.

Écrire sans racine au dénominateur : $\;\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ ; $\;\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$ (multiplier par $\sqrt{2} + 1$).

$\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$. $\quad \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$.

Exprimer la variable demandée :

  1. $U = RI$ : exprimer $R$.
  2. $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ : exprimer $h$ puis $r$ ($r > 0$).
  3. $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ : exprimer $f$.
  1. $R = \dfrac{U}{I}$.
  2. $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$ et $r = \sqrt{\dfrac{3V}{\pi h}}$.
  3. $\dfrac{1}{f} = \dfrac{a + b}{ab}$ donc $f = \dfrac{ab}{a + b}$.

Comparer sans calculatrice : $\;3\sqrt{5}$ et $\;2\sqrt{11}$ ; $\;\dfrac{13}{17}$ et $\;\dfrac{14}{18}$ ; $\;2^{30}$ et $\;3^{20}$.

$(3\sqrt{5})^2 = 45 > (2\sqrt{11})^2 = 44$ et les deux nombres sont positifs, donc $3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}$.

D'après l'exemple du cours ($\frac{a+1}{b+1} > \frac{a}{b}$ pour $0 < a < b$) : $\dfrac{14}{18} > \dfrac{13}{17}$.

$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ et $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$, donc $3^{20} > 2^{30}$.

Démontrer que pour tout réel $x$ : $\;(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4x$. En déduire la valeur de $1\,000\,001^2 - 999\,999^2$.

$(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$. Avec $x = 1\,000\,000$ : le résultat vaut $4\,000\,000$.

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

  1. Développer $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.
  2. En déduire que $\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a + b}{2}$. Dans quel cas y a-t-il égalité ?
  3. Application : parmi les rectangles de périmètre 20 cm, lequel a la plus grande aire ?
  1. $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$.
  2. Un carré est positif : $a + b - 2\sqrt{ab} \geqslant 0$, d'où $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}$. Égalité si et seulement si $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, soit $a = b$.
  3. Côtés $a$ et $b$ avec $a + b = 10$ : l'aire $ab$ vérifie $\sqrt{ab} \leqslant 5$, donc $ab \leqslant 25$, avec égalité pour $a = b = 5$ : c'est le carré de côté 5 cm.

Un smartphone coûte 400 € en 2024 et 520 € en 2026 ; un casque passe de 50 € à 90 €.

  1. Quel produit a le plus augmenté en euros (comparaison additive) ?
  2. Et en proportion (comparaison multiplicative) ?
  1. Smartphone : $+120$ € ; casque : $+40$ €. En valeur absolue, le smartphone a davantage augmenté.
  2. Rapports : $\frac{520}{400} = 1{,}3$ et $\frac{90}{50} = 1{,}8$. Le prix du casque a été multiplié par 1,8 (+80 %), celui du smartphone par 1,3 (+30 %) : en proportion, c'est le casque.