Statistiques à une variable

Résumer une série de données par quelques nombres bien choisis : où se situent les valeurs (position) et à quel point elles sont étalées (dispersion). Et savoir le faire quand les données sont regroupées en classes.

  • Calculer moyenne, médiane, quartiles
  • Mesurer la dispersion (écart type, écart interquartile)
  • Traiter une série regroupée en classes
  • Lire et construire un histogramme

Cours

1. Vocabulaire

On étudie un caractère (ou variable) sur une population formée d'individus. Le caractère est quantitatif (un nombre : taille, note…) ou qualitatif (une catégorie : couleur, profession…).

L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui la présentent ; sa fréquence est effectif ÷ effectif total.

2. Indicateurs de position

Pour une série de valeurs $x_1, x_2, \dots, x_p$ d'effectifs $n_1, n_2, \dots, n_p$ (effectif total $N = n_1 + \dots + n_p$) : $$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N}.$$ Avec les fréquences $f_i = \frac{n_i}{N}$ : $\bar{x} = f_1 x_1 + f_2 x_2 + \dots + f_p x_p$.

Si on transforme chaque valeur $x_i$ en $a x_i + b$, la nouvelle moyenne est $a\bar{x} + b$.

Exemple : une moyenne de notes sur 20 égale à 11,5 devient $11{,}5 \times 5 = 57{,}5$ sur 100 ; si l'on ajoute 1 point à tout le monde, elle devient 12,5.

La médiane $Me$ partage la série ordonnée en deux parties de même effectif : au moins 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à $Me$, et au moins 50 % sont supérieures ou égales.

  • Si $N$ est impair, $Me$ est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$.
  • Si $N$ est pair, $Me$ est la demi-somme des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$.

Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.

Méthode : $Q_1$ est la valeur de rang $\lceil \frac{N}{4} \rceil$ (on arrondit à l'entier supérieur), $Q_3$ celle de rang $\lceil \frac{3N}{4} \rceil$.

Série ordonnée de 10 notes : 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 18.

$\bar{x} = \frac{115}{10} = 11{,}5$. $\;Me = \frac{11 + 12}{2} = 11{,}5$. $\;\frac{10}{4} = 2{,}5$ donc $Q_1$ est la 3e valeur : $Q_1 = 9$. $\;\frac{30}{4} = 7{,}5$ donc $Q_3$ est la 8e : $Q_3 = 14$.

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : ajouter une valeur très grande la fait beaucoup augmenter. La médiane est robuste : elle bouge peu (voire pas du tout).

Exemple : le salaire moyen d'une entreprise où le patron gagne 50 fois plus que les employés est trompeur ; le salaire médian décrit mieux la situation « typique ».

3. Indicateurs de dispersion

Étendue : plus grande valeur − plus petite valeur. Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$ (il concerne les 50 % de valeurs « centrales »).

L'écart type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : $$\sigma = \sqrt{\frac{n_1(x_1 - \bar{x})^2 + n_2(x_2 - \bar{x})^2 + \dots + n_p(x_p - \bar{x})^2}{N}}.$$ Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées. En pratique, on le calcule à la calculatrice ou au tableur.

Série $2 ; 4 ; 6$ : $\bar{x} = 4$, $\;\sigma = \sqrt{\frac{(2-4)^2 + 0^2 + (6-4)^2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}63$.

On résume une série par le couple (moyenne ; écart type) ou par le couple (médiane ; écart interquartile). Le second est préférable quand il y a des valeurs extrêmes. La boîte à moustaches représente graphiquement min, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, max.

4. Séries regroupées en classes

Quand les valeurs sont nombreuses et variées, on les regroupe en classes $[a\,;\,b[$. On perd alors l'information précise : on ne connaît que l'effectif de chaque classe.

Si l'on connaît la moyenne $m_i$ de chaque classe, la moyenne de la série est la moyenne pondérée $\bar{x} = \frac{n_1 m_1 + \dots + n_p m_p}{N}$.

Si l'on suppose la répartition uniforme dans chaque classe, on prend $m_i$ égal au centre de la classe : $\frac{a + b}{2}$. On obtient une estimation de la moyenne.

La classe médiane est la classe qui contient la médiane : c'est la première classe dont l'effectif cumulé croissant atteint ou dépasse $\frac{N}{2}$.

En supposant une répartition uniforme dans cette classe, on estime la médiane par proportionnalité (graphiquement : sur le polygone des fréquences cumulées, abscisse du point d'ordonnée 50 %).

Classes $[0\,;\,10[$, $[10\,;\,20[$, $[20\,;\,30[$ d'effectifs 6, 10, 4 ($N = 20$). Effectifs cumulés : 6, 16, 20. $\;\frac{N}{2} = 10$ : la classe médiane est $[10\,;\,20[$.

Il faut « avancer » de $10 - 6 = 4$ individus sur les 10 de la classe : $Me \approx 10 + \frac{4}{10} \times 10 = 14$.

Dans un histogramme, chaque classe est représentée par un rectangle dont la base est la classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif. Si toutes les classes ont la même amplitude, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs.

Méthodes à connaître

  1. Range les valeurs dans l'ordre croissant.
  2. Moyenne : $\bar x = \frac{\sum n_ix_i}{N}$ ; médiane : valeur du milieu (ou moyenne des deux valeurs du milieu).
  3. Quartiles : $Q_1$ est la valeur de rang $\frac N4$ arrondi à l'entier supérieur, $Q_3$ celle de rang $\frac{3N}{4}$ arrondi à l'entier supérieur.
  4. Écart interquartile $Q_3 - Q_1$ ; écart type à la calculatrice.
  1. Compare les indicateurs de position (moyenne, médiane) : lequel est plus élevé ?
  2. Compare les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, écart type) : laquelle est plus homogène ?
  3. Conclus par une phrase dans le contexte.

Mini-jeux

Exercices

Voici les temps (en secondes) de 11 coureurs sur 100 m : 13,2 ; 12,8 ; 14,1 ; 13,5 ; 12,9 ; 15,0 ; 13,2 ; 13,8 ; 12,6 ; 14,4 ; 13,0.

Calculer la moyenne (au centième), la médiane, les quartiles, l'étendue.

Médiane :

Série ordonnée : 12,6 ; 12,8 ; 12,9 ; 13,0 ; 13,2 ; 13,2 ; 13,5 ; 13,8 ; 14,1 ; 14,4 ; 15,0.

Somme $= 148{,}5$, $\bar{x} = 13{,}50$. $\;Me$ = 6e valeur $= 13{,}2$. $\;\frac{11}{4} = 2{,}75$ → $Q_1$ = 3e valeur $= 12{,}9$. $\;\frac{33}{4} = 8{,}25$ → $Q_3$ = 9e valeur $= 14{,}1$. Étendue $= 2{,}4$.

Nombre de frères et sœurs des élèves d'une classe :

Valeur01234
Effectif512832

Calculer la moyenne et la médiane.

$N = 30$. $\;\bar{x} = \frac{0 + 12 + 16 + 9 + 8}{30} = \frac{45}{30} = 1{,}5$. Médiane : demi-somme des 15e et 16e valeurs. Effectifs cumulés : 5, 17, … : les 15e et 16e valent 1. $\;Me = 1$.

La température moyenne d'une ville en juillet est de 25 °C. Sachant que $F = 1{,}8C + 32$, quelle est la température moyenne en degrés Fahrenheit ?

Par linéarité : $1{,}8 \times 25 + 32 = 77$ °F.

Dans une classe, les 12 filles ont une moyenne de 13,5 et les 18 garçons une moyenne de 11. Quelle est la moyenne de la classe ? Pourquoi n'est-ce pas 12,25 ?

$\bar{x} = \frac{12 \times 13{,}5 + 18 \times 11}{30} = \frac{162 + 198}{30} = 12$. Ce n'est pas la moyenne des moyennes ($12{,}25$) car les groupes n'ont pas le même effectif : c'est une moyenne pondérée.

Salaires mensuels (en €) dans une petite entreprise : $1\,800 ; 1\,850 ; 1\,900 ; 2\,000 ; 2\,100 ; 2\,200 ; 2\,400$. Le directeur, qui gagne $12\,000$ €, est ensuite ajouté à la liste.

  1. Calculer moyenne et médiane avant et après.
  2. Quel indicateur décrit le mieux le salaire « typique » ?
  1. Avant : $\bar{x} = \frac{14\,250}{7} \approx 2\,035{,}7$ € ; $Me = 2\,000$ €. Après : $\bar{x} = \frac{26\,250}{8} \approx 3\,281{,}3$ € ; $Me = \frac{2\,000 + 2\,100}{2} = 2\,050$ €.
  2. La médiane : elle n'a presque pas bougé, alors que la moyenne a augmenté de plus de 60 %.

Masses (en g) de 50 pommes :

Masse[100 ; 120[[120 ; 140[[140 ; 160[[160 ; 180[[180 ; 200[
Effectif41118125
  1. Estimer la masse moyenne.
  2. Déterminer la classe médiane et estimer la médiane.
  1. Centres : 110, 130, 150, 170, 190. $\;\bar{x} \approx \frac{440 + 1430 + 2700 + 2040 + 950}{50} = \frac{7560}{50} = 151{,}2$ g.
  2. Effectifs cumulés : 4, 15, 33, 45, 50. $\frac{N}{2} = 25$ : classe médiane $[140\,;\,160[$. $\;Me \approx 140 + \frac{25 - 15}{18} \times 20 \approx 151{,}1$ g.

Deux archers tirent 10 flèches (score sur 10). Archer A : moyenne 8, écart type 0,5. Archer B : moyenne 8, écart type 1,8. Lequel est le plus régulier ? Lequel choisir pour une épreuve où il faut éviter les mauvais tirs ?

Même moyenne, mais l'écart type de A est bien plus faible : A est plus régulier. Pour éviter les mauvais tirs, on choisit A.

Une série de 5 notes a pour moyenne 12. On connaît 4 notes : 9, 14, 11, 15. Quelle est la 5e ? Quelle note faut-il ajouter (6e note) pour que la moyenne passe à 12,5 ?

Somme totale $= 60$, donc la 5e note vaut $60 - 49 = 11$. Pour une moyenne de 12,5 sur 6 notes, il faut une somme de 75 : la 6e note doit valoir 15.

On a vu que la moyenne de $ax + b$ est $a\bar{x} + b$. Sur l'exemple $2 ; 4 ; 6$ (écart type $\sigma \approx 1{,}63$), calculer l'écart type des séries $12 ; 14 ; 16$ et $4 ; 8 ; 12$. Conjecturer l'effet d'une transformation $ax + b$ sur l'écart type.

$12 ; 14 ; 16$ : les écarts à la moyenne sont les mêmes, $\sigma \approx 1{,}63$. $\;4 ; 8 ; 12$ : écarts doublés, $\sigma \approx 3{,}27$. Conjecture : l'écart type devient $|a|\sigma$ (ajouter $b$ décale sans étaler).