Fonctions de référence
Quatre fonctions à connaître par cœur, avec leur courbe : affine, valeur absolue, carré et inverse. Elles servent de briques de base pour étudier toutes les autres.
- Connaître courbe et propriétés de chaque fonction
- Relier coefficient directeur et variations
- Résoudre $x^2 = k$, $\frac1x = k$, $|x - a| = r$
- Comparer des images sans calculatrice
Cours
1. Fonctions affines
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est affine s'il existe deux réels $m$ et $p$ tels que, pour tout $x$, $f(x) = mx + p$.
- Si $p = 0$, $f(x) = mx$ : $f$ est linéaire (situation de proportionnalité).
- Si $m = 0$, $f(x) = p$ : $f$ est constante.
La courbe d'une fonction affine est une droite d'équation $y = mx + p$ : $m$ est son coefficient directeur (pente) et $p$ son ordonnée à l'origine. Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine.
Pour tous réels $a \neq b$ : $\;\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = m$. Ainsi, si l'on connaît deux images, on retrouve $m$, puis $p$.
Soit $f(x) = mx + p$. Si $m > 0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ ; si $m < 0$, $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ ; si $m = 0$, $f$ est constante. (Démonstration au chapitre « Variations et extremums ».)
$f$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{p}{m}$ ; elle est du signe de $m$ à droite de $x_0$ et du signe contraire à gauche. Sens de variation, signe et droite sont liés : si $m > 0$, la droite « monte » et passe de négative à positive.
$f$ est affine avec $f(2) = 1$ et $f(5) = 10$. $\;m = \dfrac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; $\;f(2) = 3 \times 2 + p = 1$ donne $p = -5$. Donc $f(x) = 3x - 5$.
2. Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x|$, avec $|x| = x$ si $x \geqslant 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$. $|x|$ est la distance entre $x$ et 0.
Sa courbe est formée de deux demi-droites : $y = -x$ pour $x \leqslant 0$ et $y = x$ pour $x \geqslant 0$. Elle a la forme d'un V et est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ($|-x| = |x|$).
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $|x|$ | ↘ | $0$ | ↗ |
La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, et admet un minimum égal à 0 en 0. Elle est toujours positive.
$|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$. Donc, pour $r > 0$ :
- $|x - a| = r \iff x = a - r$ ou $x = a + r$ ;
- $|x - a| \leqslant r \iff x \in [a - r\,;\,a + r]$ ;
- $|x - a| > r \iff x \in \,]-\infty\,;\,a - r[\,\cup\,]a + r\,;\,+\infty[$.
Exemple : $|x + 3| = 5$ : distance à $-3$ égale à 5, $S = \{-8\,;\,2\}$. Si $r < 0$, l'équation $|x - a| = r$ n'a pas de solution.
3. Fonction carré
La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Sa courbe est une parabole de sommet l'origine, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (car $(-x)^2 = x^2$).
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | ↘ | $0$ | ↗ |
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Elle est positive et son minimum est 0, atteint en 0.
- Si $0 \leqslant a \leqslant b$, alors $a^2 \leqslant b^2$ (sur les positifs, élever au carré conserve l'ordre).
- Si $a \leqslant b \leqslant 0$, alors $a^2 \geqslant b^2$ (sur les négatifs, élever au carré inverse l'ordre).
- $x^2 = k$ a deux solutions $\pm\sqrt{k}$ si $k > 0$ ; $x^2 < k \iff x \in \,]-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}[$ pour $k > 0$.
Pour $x \in [0\,;\,1]$ : $x^2 \leqslant x$. Pour $x \geqslant 1$ : $x^2 \geqslant x$.
On étudie le signe de la différence : $x^2 - x = x(x - 1)$. Pour $x \geqslant 0$, $x$ est positif, donc $x^2 - x$ a le signe de $x - 1$ : négatif sur $[0\,;\,1]$ et positif sur $[1\,;\,+\infty[$. $\blacksquare$
Exemple : $0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$ — élever au carré un nombre entre 0 et 1 le rend plus petit !
4. Fonction inverse
La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^* = \,]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Sa courbe est une hyperbole, formée de deux branches symétriques par rapport à l'origine (car $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$).
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $\frac{1}{x}$ | ↘ | ↘ |
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$. $\frac{1}{x}$ a le même signe que $x$.
La fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier : $-1 < 1$ et pourtant $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$. On ne peut comparer les inverses « en inversant l'ordre » que pour deux nombres de même signe.
Si $2 \leqslant x \leqslant 5$, alors $\frac15 \leqslant \frac1x \leqslant \frac12$ (ordre inversé, car $x > 0$).
Résoudre $\frac1x = 4$ : $x = \frac14$. $\;$ Résoudre $\frac{1}{x} < 2$ : pour $x < 0$ c'est toujours vrai ; pour $x > 0$, $\frac1x < 2 \iff x > \frac12$. $\;S = \,]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]\frac12\,;\,+\infty[$.
Mini-jeux
Exercices
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont affines ? Préciser $m$ et $p$. $\;f_1(x) = 3 - 2x$ ; $\;f_2(x) = \frac{x}{4}$ ; $\;f_3(x) = x^2 + 1$ ; $\;f_4(x) = (x + 1)^2 - x^2$ ; $\;f_5(x) = \frac{2}{x}$.
$f_1$ : affine, $m = -2$, $p = 3$. $\;f_2$ : linéaire, $m = \frac14$, $p = 0$. $\;f_3$ : non. $\;f_4(x) = 2x + 1$ : affine ! $\;f_5$ : non.
$g$ est affine, $g(-1) = 7$ et $g(3) = -1$. Déterminer $g(x)$ puis son sens de variation.
$m =$ $\;p =$
$m = \frac{-1 - 7}{3 - (-1)} = -2$ ; $\;g(3) = -6 + p = -1 \Rightarrow p = 5$. $\;g(x) = -2x + 5$, décroissante sur $\mathbb{R}$.
Comparer : $\;(1)\; 2{,}3^2$ et $2{,}31^2$ ; $\;(2)\; (-4)^2$ et $(-3{,}9)^2$ ; $\;(3)\; \frac{1}{0{,}7}$ et $\frac{1}{0{,}71}$ ; $\;(4)\; |-6|$ et $|5{,}5|$.
(1) $0 \leqslant 2{,}3 < 2{,}31$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $2{,}3^2 < 2{,}31^2$. (2) $-4 < -3{,}9 \leqslant 0$, carré décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : $(-4)^2 > (-3{,}9)^2$. (3) $0 < 0{,}7 < 0{,}71$, inverse décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\frac{1}{0{,}7} > \frac{1}{0{,}71}$. (4) $6 > 5{,}5$.
Résoudre : $\;x^2 = 16$ ; $\;x^2 = -9$ ; $\;\frac{1}{x} = -5$ ; $\;|x| = 3$ ; $\;|x - 2| = 7$.
$\{-4\,;\,4\}$ ; $\;\varnothing$ ; $\;\{-\frac15\}$ ; $\;\{-3\,;\,3\}$ ; $\;\{-5\,;\,9\}$.
Dans chaque cas, donner le meilleur encadrement possible de $x^2$ : $\;(a)\; 1 \leqslant x \leqslant 3$ ; $\;(b)\; -5 \leqslant x \leqslant -2$ ; $\;(c)\; -2 \leqslant x \leqslant 3$. Puis de $\frac1x$ si $-4 \leqslant x \leqslant -1$.
(a) $1 \leqslant x^2 \leqslant 9$. (b) $4 \leqslant x^2 \leqslant 25$ (l'ordre s'inverse). (c) $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$ : l'intervalle contient 0, le minimum est 0, et le maximum est atteint en 3 car $|3| > |-2|$.
Sur $[-4\,;\,-1]$, la fonction inverse est décroissante : $-1 \leqslant \frac1x \leqslant -\frac14$.
Résoudre : $\;x^2 \leqslant 5$ ; $\;x^2 > 4$ ; $\;\frac1x \geqslant 3$ ; $\;|x + 1| < 2$.
$[-\sqrt5\,;\,\sqrt5]$ ; $\;]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$ ; $\;]0\,;\,\frac13]$ (il faut $x > 0$) ; $\;]-3\,;\,1[$.
Soit $h(x) = |x - 2|$.
- Exprimer $h(x)$ sans valeur absolue selon que $x \geqslant 2$ ou $x < 2$.
- Tracer la courbe de $h$. Comment l'obtient-on à partir de celle de $x \mapsto |x|$ ?
- Dresser le tableau de variations de $h$.
- Si $x \geqslant 2$ : $h(x) = x - 2$. Si $x < 2$ : $h(x) = 2 - x$.
- C'est la courbe en V de $|x|$ décalée de 2 unités vers la droite (sommet en $(2\,;\,0)$).
- Décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$, croissante sur $[2\,;\,+\infty[$, minimum 0 en 2.
Soit $f(x) = x^2$ et $g(x) = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$.
- Résoudre $f(x) = g(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
- Montrer que $f(x) - g(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x}$ et en déduire, sur $]0\,;\,+\infty[$, la position relative des courbes (on admettra que $x^3 - 1$ a le signe de $x - 1$).
- $x^2 = \frac1x \iff x^3 = 1 \iff x = 1$.
- $x^2 - \frac1x = \frac{x^3 - 1}{x}$. Pour $x > 0$, c'est du signe de $x - 1$ : $\mathcal{C}_f$ est sous $\mathcal{C}_g$ sur $]0\,;\,1[$ et au-dessus sur $]1\,;\,+\infty[$ ; elles se coupent en $(1\,;\,1)$.
La température en degrés Fahrenheit $F$ est une fonction affine de la température en degrés Celsius $C$. L'eau gèle à 0 °C = 32 °F et bout à 100 °C = 212 °F.
- Exprimer $F$ en fonction de $C$.
- Quelle température a la même valeur dans les deux échelles ?
- $m = \frac{212 - 32}{100 - 0} = 1{,}8$ et $p = 32$ : $F = 1{,}8C + 32$.
- $1{,}8C + 32 = C \iff 0{,}8C = -32 \iff C = -40$. $-40$ °C $= -40$ °F.
Sur une route rectiligne, deux villages sont situés aux abscisses 0 et 10 (en km). On veut construire une salle des fêtes à l'abscisse $x$ minimisant $d(x) = |x| + |x - 10|$.
- Calculer $d(x)$ pour $x < 0$, $0 \leqslant x \leqslant 10$ et $x > 10$.
- Conclure.
- $x < 0$ : $d(x) = -x + 10 - x = 10 - 2x$. $\;0 \leqslant x \leqslant 10$ : $d(x) = x + 10 - x = 10$. $\;x > 10$ : $d(x) = 2x - 10$.
- $d$ est décroissante puis constante égale à 10 puis croissante : le minimum 10 est atteint pour tout $x \in [0\,;\,10]$, c'est-à-dire n'importe où entre les deux villages.