Droites du plan

Une droite est un ensemble infini de points, mais une seule équation suffit à la décrire. On apprend à passer de la figure à l'équation et inversement, et à comparer deux droites.

  • Déterminer une équation de droite
  • Interpréter pente et ordonnée à l'origine
  • Tracer une droite à partir de son équation
  • Étudier parallélisme et intersection

Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère $(O\,;\,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

Cours

1. Vecteur directeur et équation cartésienne

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ où $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$. Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$.

Toute droite admet une équation de la forme $\;ax + by + c = 0\;$ avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ : un point $M(x\,;\,y)$ appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation. C'est une équation cartésienne de la droite.

Réciproquement, l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $ax + by + c = 0$, avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$, est une droite de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.

Déterminons une équation de la droite $(AB)$ avec $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,-1)$.

Un point $M(x\,;\,y)$ est sur $(AB)$ $\iff \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires $\iff \det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = 0$.

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x - 1\\y - 2\end{pmatrix}$, $\;\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$ : $\;(x - 1)(-3) - 3(y - 2) = 0 \iff -3x - 3y + 9 = 0 \iff x + y - 3 = 0$.

Vérification : $1 + 2 - 3 = 0$ ✓ et $4 - 1 - 3 = 0$ ✓.

Une droite a une infinité d'équations cartésiennes : $x + y - 3 = 0$, $2x + 2y - 6 = 0$, $-x - y + 3 = 0$… Elles sont toutes proportionnelles.

Droite $d$ passant par $A(2\,;\,-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\,2)$ : on cherche $ax + by + c = 0$ avec $-b = 3$ et $a = 2$, soit $2x - 3y + c = 0$. $A \in d$ donne $4 + 3 + c = 0$, donc $c = -7$. $\;d : 2x - 3y - 7 = 0$.

2. Équation réduite

  • Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une unique équation de la forme $\;y = mx + p$. C'est son équation réduite : $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ l'ordonnée à l'origine.
  • Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $\;x = c$.

Si $A$ et $B$ sont deux points de la droite d'équation $y = mx + p$ (avec $x_A \neq x_B$) : $\;m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur : quand $x$ augmente de 1, $y$ augmente de $m$.

$A(-1\,;\,5)$ et $B(3\,;\,-3)$. $\;m = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$. Donc $y = -2x + p$.

$A$ est sur la droite : $5 = -2 \times (-1) + p$, d'où $p = 3$. $\quad (AB) : y = -2x + 3$.

À partir de $y = mx + p$ : on place le point $(0\,;\,p)$, puis on avance de 1 horizontalement et de $m$ verticalement (ou de 3 et $3m$ si $m$ est un tiers…).

À partir de $ax + by + c = 0$ : on calcule deux points (par exemple avec $x = 0$ puis $y = 0$) et on les relie.

Exemple : $2x - 3y + 6 = 0$. Pour $x = 0$ : $y = 2$. Pour $y = 0$ : $x = -3$. La droite passe par $(0\,;\,2)$ et $(-3\,;\,0)$.

3. Positions relatives de deux droites

  • Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
  • Pour deux droites non verticales $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : parallèles $\iff m = m'$.
  • Pour $ax + by + c = 0$ et $a'x + b'y + c' = 0$ : parallèles $\iff ab' - a'b = 0$.

Si deux droites ne sont pas parallèles, elles sont sécantes en un unique point, dont les coordonnées sont la solution du système formé par leurs deux équations.

$d : y = 2x - 1$ et $d' : y = -x + 5$. Pentes $2 \neq -1$ : sécantes.

$2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2$, puis $y = 2 \times 2 - 1 = 3$. Point d'intersection : $(2\,;\,3)$.

Pour savoir si $C$ est sur la droite $(AB)$, on détermine une équation de $(AB)$ et on vérifie si les coordonnées de $C$ la satisfont (ou on calcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$).

Une droite $y = mx + p$ partage le plan en deux demi-plans : les points tels que $y > mx + p$ (au-dessus) et ceux tels que $y < mx + p$ (en dessous). On peut ainsi décrire des zones du plan par des inégalités.

Mini-jeux

Exercices

Pour chaque droite, donner la pente, l'ordonnée à l'origine et un vecteur directeur : $\;d_1 : y = 3x - 2$ ; $\;d_2 : y = -\frac{1}{2}x$ ; $\;d_3 : y = 4$.

$d_1$ : $m = 3$, $p = -2$, $\vec{u}(1\,;\,3)$. $\;d_2$ : $m = -\frac12$, $p = 0$, $\vec{u}(1\,;\,-\frac12)$ ou $(2\,;\,-1)$. $\;d_3$ : $m = 0$, $p = 4$ (droite horizontale), $\vec{u}(1\,;\,0)$.

Les points $E(2\,;\,1)$, $F(-1\,;\,-5)$ et $G(0{,}5\,;\,-2)$ appartiennent-ils à la droite $d : y = 2x - 3$ ?

$2 \times 2 - 3 = 1$ : $E \in d$. $\;2 \times (-1) - 3 = -5$ : $F \in d$. $\;2 \times 0{,}5 - 3 = -2$ : $G \in d$. Les trois points sont sur $d$.

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A(2\,;\,7)$ et $B(5\,;\,1)$.

Pente : $\;$ Ordonnée à l'origine :

$m = \dfrac{1 - 7}{5 - 2} = -2$. $\;7 = -2 \times 2 + p \Rightarrow p = 11$. $\;(AB) : y = -2x + 11$.

Donner l'équation réduite de $d : 3x + 2y - 8 = 0$ et un vecteur directeur. Même question pour $d' : 4x - 12 = 0$.

$2y = -3x + 8 \iff y = -\frac{3}{2}x + 4$ ; $\vec{u}(-2\,;\,3)$. $\;d' : x = 3$, droite verticale (pas d'équation réduite en $y$), vecteur directeur $(0\,;\,4)$ ou $(0\,;\,1)$.

Déterminer une équation de la droite $\Delta$ parallèle à $d : 2x - 5y + 1 = 0$ passant par $C(-3\,;\,4)$.

$\Delta$ a le même vecteur directeur $(5\,;\,2)$, donc une équation $2x - 5y + c = 0$. $C \in \Delta$ : $-6 - 20 + c = 0$, $c = 26$. $\;\Delta : 2x - 5y + 26 = 0$.

Déterminer, s'il existe, le point d'intersection de $d_1 : x + 2y - 4 = 0$ et $d_2 : 3x - y - 5 = 0$.

$\det = 1 \times (-1) - 3 \times 2 = -7 \neq 0$ : sécantes. De $d_2$ : $y = 3x - 5$. Dans $d_1$ : $x + 6x - 10 - 4 = 0$, $x = 2$, puis $y = 1$. Intersection : $(2\,;\,1)$.

Les points $A(-2\,;\,-7)$, $B(1\,;\,2)$ et $C(3\,;\,8)$ sont-ils alignés ? Et $D(10\,;\,30)$ ?

$(AB)$ : $m = \frac{9}{3} = 3$, $p = 2 - 3 = -1$ : $y = 3x - 1$. $\;3 \times 3 - 1 = 8$ : $C \in (AB)$, alignés. $\;3 \times 10 - 1 = 29 \neq 30$ : $D$ n'est pas sur la droite.

Un taxi facture une prise en charge de 4 € puis 1,50 € par km. Un concurrent facture 2,10 € par km sans prise en charge.

  1. Écrire les prix $y_1$ et $y_2$ en fonction du nombre $x$ de km. Que représentent graphiquement ces relations ?
  2. Pour quelle distance les deux tarifs sont-ils égaux ?
  1. $y_1 = 1{,}5x + 4$ et $y_2 = 2{,}1x$ : deux droites (demi-droites pour $x \geqslant 0$), de pentes 1,5 et 2,1.
  2. $1{,}5x + 4 = 2{,}1x \iff 0{,}6x = 4 \iff x = \frac{20}{3} \approx 6{,}7$ km. Au-delà, le premier taxi est moins cher.

$A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$, $C(0\,;\,4)$. $I$ milieu de $[BC]$ et $J$ milieu de $[AC]$.

  1. Déterminer des équations des médianes $(AI)$ et $(BJ)$.
  2. Calculer les coordonnées de leur point d'intersection $G$.
  3. Vérifier que $G$ est sur la troisième médiane.
  1. $I(3\,;\,2)$, $(AI) : y = \frac{2}{3}x$. $\;J(0\,;\,2)$, $(BJ)$ : pente $\frac{2 - 0}{0 - 6} = -\frac13$, $y = -\frac13 x + 2$.
  2. $\frac23 x = -\frac13 x + 2 \iff x = 2$, $y = \frac43$. $\;G\left(2\,;\,\frac43\right)$.
  3. Milieu $K$ de $[AB]$ : $K(3\,;\,0)$. $(CK)$ : pente $-\frac43$, $y = -\frac43 x + 4$. Pour $x = 2$ : $y = -\frac83 + 4 = \frac43$ ✓. (On retrouve $G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}\,;\,\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.)

Pour tout réel $k$, on considère la droite $d_k : (k - 1)x + ky - 2 = 0$.

  1. Pour quelle valeur de $k$ la droite $d_k$ est-elle verticale ? horizontale ?
  2. Montrer que toutes les droites $d_k$ passent par un même point.
  1. Verticale si $k = 0$ ($-x - 2 = 0$). Horizontale si $k = 1$ ($y - 2 = 0$).
  2. $d_0 : x = -2$ et $d_1 : y = 2$ se coupent en $(-2\,;\,2)$. Pour tout $k$ : $(k - 1)(-2) + 2k - 2 = -2k + 2 + 2k - 2 = 0$ ✓. Toutes les droites passent par $(-2\,;\,2)$.