Probabilités conditionnelles

Modéliser le hasard, vérifier le modèle par la simulation, puis mettre à jour une probabilité quand on dispose d'une information : c'est tout l'enjeu des probabilités conditionnelles et des arbres pondérés.

  • Utiliser un modèle de probabilité
  • Comprendre la loi des grands nombres
  • Calculer $P_A(B)$
  • Construire et exploiter un arbre pondéré

Cours

1. Rappels : modéliser le hasard

  • Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, les issues, et on ne peut pas prévoir lequel se produira. L'ensemble des issues est l'univers, noté $\Omega$.
  • Un événement est une partie de $\Omega$ (un ensemble d'issues).
  • Définir une loi de probabilité, c'est associer à chaque issue un nombre positif, sa probabilité, la somme de ces nombres valant 1.
  • La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le composent ; $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.
  • En situation d'équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre total d'issues}}$.
  • Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
  • Pour deux événements : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir un nombre pair », $B$ = « obtenir au moins 5 ». $P(A) = \frac36$, $P(B) = \frac26$, $A \cap B = \{6\}$, $P(A \cup B) = \frac36 + \frac26 - \frac16 = \frac46 = \frac23$.

2. Modèle et réalité : la loi des grands nombres

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, et on observe la fréquence $f$ d'un événement de probabilité $p$.

Lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.

  • Quand le modèle est connu (dé équilibré…), la simulation permet de vérifier qu'il est cohérent avec la réalité.
  • Quand on ne peut pas calculer la probabilité (probabilité qu'une punaise tombe pointe en haut, qu'un nouveau-né soit une fille…), on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'observations.

Il faut toujours distinguer le modèle probabiliste (abstrait) et la situation réelle qu'il décrit.

from random import randint

def frequence_six(n):
    # fréquence des 6 sur n lancers d'un dé
    c = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            c = c + 1
    return c / n

3. Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$$ C'est la probabilité que $B$ soit réalisé, sachant que $A$ l'est : on restreint l'univers à $A$.

$$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$$

On choisit au hasard un élève dans l'enquête du chapitre précédent (200 élèves, dont 90 en seconde, 54 sportifs parmi eux). $S$ = « l'élève est en seconde », $T$ = « l'élève fait du sport ».

$P(S) = \frac{90}{200}$, $P(S \cap T) = \frac{54}{200}$, donc $P_S(T) = \dfrac{54/200}{90/200} = \dfrac{54}{90} = 0{,}6$ : c'est exactement la fréquence conditionnelle des sportifs parmi les secondes. Proportion, fréquence conditionnelle et probabilité conditionnelle sont trois visages d'une même idée.

$P_A$ est une probabilité : $0 \leqslant P_A(B) \leqslant 1$ et $P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)$.

4. Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. On écrit sur chaque branche la probabilité correspondante : au premier niveau $P(A)$ et $P(\bar{A})$, au second niveau les probabilités conditionnelles $P_A(B)$, $P_A(\bar{B})$, $P_{\bar{A}}(B)$, $P_{\bar{A}}(\bar{B})$.

Les probabilités du second niveau sont des probabilités conditionnelles.
  1. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
  2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
  3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent : $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$.

Un magasin reçoit 70 % de ses ampoules du fournisseur $F$, le reste d'un autre fournisseur. 2 % des ampoules de $F$ sont défectueuses, et 5 % des autres. On prend une ampoule au hasard ; $D$ = « elle est défectueuse ».

$P(F \cap D) = 0{,}7 \times 0{,}02 = 0{,}014$ ; $\;P(\bar{F} \cap D) = 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}015$ ; $\;P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$.

L'ampoule est défectueuse : probabilité qu'elle vienne de $F$ ? $\;P_D(F) = \dfrac{P(F \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}014}{0{,}029} \approx 0{,}48$.

5. Ne pas confondre P_A(B) et P_B(A)

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ n'ont en général rien à voir. La probabilité qu'un joueur de basket professionnel mesure plus de 1,90 m est très grande ; la probabilité qu'une personne de plus de 1,90 m soit joueur de basket professionnel est minuscule.

On note $M$ = « la personne est malade » et $T$ = « le test est positif ».

  • Sensibilité : $P_M(T)$, probabilité qu'un malade soit détecté.
  • Spécificité : $P_{\bar{M}}(\bar{T})$, probabilité qu'une personne saine ait un test négatif.
  • Faux positif : personne saine testée positive ($\bar{M} \cap T$). Faux négatif : malade testé négatif ($M \cap \bar{T}$).
  • La question qui intéresse le patient est $P_T(M)$ : « je suis positif, suis-je malade ? » (valeur prédictive positive).

Le calcul des probabilités naît en 1654 dans la correspondance entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat, à propos du partage des mises d'un jeu interrompu ; Christiaan Huygens publie le premier traité en 1657. Un peu plus tôt, Galilée avait résolu le problème du duc de Toscane : pourquoi, avec trois dés, obtient-on plus souvent 10 que 9, alors que ces deux sommes s'obtiennent de six façons chacune ? Les probabilités conditionnelles apparaissent au XVIIIe siècle chez Abraham de Moivre et Thomas Bayes.

Méthodes à connaître

  1. Décris l'univers (toutes les issues) et vérifie qu'elles sont équiprobables.
  2. Compte les issues favorables (tableau à double entrée pour deux dés, arbre pour des tirages successifs).
  3. $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.

Exemple. Deux dés : $P(\text{somme} = 8) = \frac{5}{36}$ (5 cases sur 36).

  1. Contraire : $P(\bar A) = 1 - P(A)$, très utile pour « au moins un ».
  2. Réunion : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
  3. Événements incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Mini-jeux

Exercices

Un dé truqué a la loi suivante : $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 0{,}15$. Quelle est la probabilité d'obtenir 6 ? Celle d'obtenir un nombre pair ?

$P(6) = 1 - 5 \times 0{,}15 = 0{,}25$. $\;P(\text{pair}) = 0{,}15 + 0{,}15 + 0{,}25 = 0{,}55$.

Une urne contient 5 boules rouges numérotées 1 à 5 et 3 boules vertes numérotées 1 à 3. On tire une boule au hasard. $R$ = « la boule est rouge », $U$ = « le numéro est 1 ».

  1. Calculer $P(R)$, $P(U)$, $P(R \cap U)$, $P(R \cup U)$.
  2. Calculer $P_R(U)$ et $P_U(R)$.

$P_U(R) =$

  1. $P(R) = \frac58$, $P(U) = \frac28$, $P(R \cap U) = \frac18$, $P(R \cup U) = \frac58 + \frac28 - \frac18 = \frac68 = \frac34$.
  2. $P_R(U) = \frac{1/8}{5/8} = \frac15$ ; $P_U(R) = \frac{1/8}{2/8} = \frac12$.

On donne $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}3$ et $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}6$. Construire l'arbre et calculer $P(A \cap B)$, $P(\bar{A} \cap B)$ puis $P(B)$.

$P(A \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ ; $P(\bar{A} \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$ ; $P(B) = 0{,}48$.

Dans un club, 60 % des membres sont des adultes. 25 % des adultes et 70 % des jeunes pratiquent la compétition. On choisit un membre au hasard.

  1. Traduire les données avec des probabilités ($A$ : adulte, $C$ : compétiteur).
  2. Calculer la probabilité que le membre soit un adulte compétiteur, puis qu'il soit compétiteur.
  3. Le membre est compétiteur. Quelle est la probabilité qu'il soit adulte ?
  1. $P(A) = 0{,}6$, $P_A(C) = 0{,}25$, $P_{\bar{A}}(C) = 0{,}7$.
  2. $P(A \cap C) = 0{,}15$ ; $P(C) = 0{,}15 + 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}43$.
  3. $P_C(A) = \frac{0{,}15}{0{,}43} \approx 0{,}35$.

Pour deux événements $A$ et $B$ : $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$. Compléter le tableau des probabilités ($A$, $\bar{A}$ en ligne ; $B$, $\bar{B}$ en colonne), puis calculer $P_A(B)$, $P_B(A)$ et $P_{\bar{B}}(\bar{A})$.

$P(A \cap \bar{B}) = 0{,}4$ ; $P(\bar{A} \cap B) = 0{,}3$ ; $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}2$.

$P_A(B) = \frac{0{,}1}{0{,}5} = 0{,}2$ ; $P_B(A) = \frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$ ; $P_{\bar{B}}(\bar{A}) = \frac{0{,}2}{0{,}6} = \frac13$.

Une maladie touche 2 % de la population. Un test a une sensibilité de 90 % et une spécificité de 97 %.

  1. Construire un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité qu'un test soit positif.
  3. Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? Commenter.
  4. Calculer $P_{\bar{T}}(\bar{M})$. Un test négatif est-il rassurant ?
  1. $P(M) = 0{,}02$, $P_M(T) = 0{,}9$, $P_{\bar{M}}(T) = 0{,}03$.
  2. $P(T) = 0{,}02 \times 0{,}9 + 0{,}98 \times 0{,}03 = 0{,}018 + 0{,}0294 = 0{,}0474$.
  3. $P_T(M) = \frac{0{,}018}{0{,}0474} \approx 0{,}38$. Moins de 4 chances sur 10 : la majorité des positifs sont des faux positifs, car la maladie est rare. On confirme par un second test.
  4. $P(\bar{T}) = 0{,}9526$ et $P(\bar{M} \cap \bar{T}) = 0{,}98 \times 0{,}97 = 0{,}9506$, donc $P_{\bar{T}}(\bar{M}) \approx 0{,}998$ : un test négatif est très rassurant.

On lance deux dés et on s'intéresse à la somme. Écrire une fonction Python simul(n) qui renvoie la fréquence de la somme 7 sur $n$ lancers. Vers quelle valeur cette fréquence devrait-elle se stabiliser ?

from random import randint
def simul(n):
    c = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 6) + randint(1, 6) == 7:
            c = c + 1
    return c / n

Sur 36 issues équiprobables, 6 donnent 7 : la fréquence devrait se stabiliser vers $\frac{6}{36} = \frac16 \approx 0{,}167$.

On lance trois dés équilibrés. Il y a $6^3 = 216$ issues équiprobables.

  1. Montrer que la somme 9 s'obtient avec 25 issues, et la somme 10 avec 27 issues.
  2. En déduire les probabilités. Pourquoi le duc se trompait-il en comptant « six façons » pour chaque somme ?
  1. Somme 9 : décompositions $\{1,2,6\}$ (6 ordres), $\{1,3,5\}$ (6), $\{1,4,4\}$ (3), $\{2,2,5\}$ (3), $\{2,3,4\}$ (6), $\{3,3,3\}$ (1) : $25$. Somme 10 : $\{1,3,6\}$ (6), $\{1,4,5\}$ (6), $\{2,2,6\}$ (3), $\{2,3,5\}$ (6), $\{2,4,4\}$ (3), $\{3,3,4\}$ (3) : $27$.
  2. $P(9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}116$ et $P(10) = \frac{27}{216} = 0{,}125$. Les six « façons » ne sont pas équiprobables : $\{3,3,3\}$ ne correspond qu'à une issue alors que $\{1,2,6\}$ en regroupe six.

Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire successivement deux boules sans remise.

  1. Construire l'arbre pondéré (attention : le second tirage dépend du premier).
  2. Probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur ?
  3. La seconde boule est rouge. Probabilité que la première l'ait été aussi ?
  1. $P(R_1) = \frac35$, $P_{R_1}(R_2) = \frac24$, $P_{B_1}(R_2) = \frac34$.
  2. $P(R_1 \cap R_2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ ; $P(B_1 \cap B_2) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$. Total : $\frac{4}{10} = 0{,}4$.
  3. $P(R_2) = \frac{3}{10} + \frac25 \times \frac34 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac35$. $\;P_{R_2}(R_1) = \frac{3/10}{3/5} = \frac12$.