Représenter une fonction

Une fonction associe à chaque nombre un unique autre nombre. On peut la donner par une formule, un programme de calcul, un tableau ou une courbe : savoir passer d'une représentation à l'autre est la compétence clé.

  • Utiliser le vocabulaire image / antécédent
  • Lire et interpréter une courbe
  • Résoudre graphiquement $f(x) = k$ et $f(x) < k$
  • Modéliser une situation par une fonction

Cours

1. Notion de fonction

Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}$ (souvent un intervalle). Définir une fonction $f$ sur $D$, c'est associer à chaque réel $x$ de $D$ un unique réel, noté $f(x)$.

On note $f : x \longmapsto f(x)$. $D$ est l'ensemble de définition de $f$.

  • $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$. Tout $x$ de $D$ a une et une seule image.
  • Si $f(x) = y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Soit $f(x) = x^2 - 4$ définie sur $\mathbb{R}$. L'image de $3$ est $f(3) = 9 - 4 = 5$. L'image de $-3$ est aussi $5$ : $5$ a (au moins) deux antécédents, $3$ et $-3$.

Antécédents de $-4$ : $x^2 - 4 = -4 \iff x^2 = 0 \iff x = 0$. Un seul antécédent. Et $-5$ n'a aucun antécédent car $x^2 - 4 \geqslant -4$.

  • par une expression algébrique : $f(x) = 3x - 5$ ;
  • par un programme de calcul : « multiplier par 3, puis soustraire 5 » ;
  • par un tableau de valeurs (on ne connaît alors que certaines images) ;
  • par une courbe ;
  • par un algorithme (une fonction Python : def f(x): return 3*x - 5).

2. Courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ pour $x \in D$.

$$M(x\,;\,y) \in \mathcal{C}_f \iff x \in D \text{ et } y = f(x).$$

On dit que $\mathcal{C}_f$ a pour équation $y = f(x)$.

$f(x) = 2x^2 - 3$. Le point $A(-2\,;\,5)$ est-il sur $\mathcal{C}_f$ ? $\;f(-2) = 2 \times 4 - 3 = 5 = y_A$ : oui.

Le point $B(1\,;\,0)$ ? $\;f(1) = -1 \neq 0$ : non.

  • Image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.
  • Antécédents de $b$ : on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on trace la droite horizontale $y = b$, et on lit les abscisses de tous les points d'intersection avec la courbe.

Une lecture graphique donne en général une valeur approchée.

Une courbe « qui revient en arrière » (qu'une droite verticale couperait deux fois) ne peut pas représenter une fonction : un $x$ aurait deux images !

3. Résolutions graphiques

  • Les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'équation $y = k$.
  • Les solutions de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés strictement en dessous de cette droite ($f(x) > k$ : au-dessus).
  • Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  • Les solutions de $f(x) < g(x)$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés strictement en dessous de $\mathcal{C}_g$.
  • Graphique : rapide, donne une idée et des valeurs approchées.
  • Algébrique : exacte, quand on sait résoudre (premier degré, produit nul, $x^2 = a$…).
  • Logicielle (calculatrice, GeoGebra, Python) : pour les cas plus complexes.

Exemple : résoudre $x^2 = x + 2$. Graphiquement (exemple 1 ci-dessus), on conjecture $S = \{-1\,;\,2\}$. Algébriquement : $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$, donc c'est exact.

4. Signe d'une fonction

$f(x) > 0$ là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, $f(x) < 0$ là où elle est en dessous. Les points d'intersection avec l'axe donnent les solutions de $f(x) = 0$. On résume dans un tableau de signes.

Pour une fonction produit ou quotient de facteurs du premier degré, on utilise la méthode algébrique du chapitre « Équations, inéquations et signe ».

5. Modéliser

Dans une plaque carrée de 20 cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on replie pour former une boîte. Son volume est $V(x) = x(20 - 2x)^2$, défini pour $x \in [0\,;\,10]$.

La variable $x$ est une longueur ; l'ensemble de définition est imposé par la situation (on ne peut pas découper plus de la moitié du côté).

Pour un phénomène qui évolue par étapes (population d'une année à l'autre), on utilise une fonction définie sur $\mathbb{N}$ : on note $u(n)$ la valeur à l'étape $n$. Pour un phénomène qui dépend du temps, la variable est souvent notée $t$ : position $x(t)$ d'un mobile, concentration $C(t)$ d'un médicament…

Le mot « fonction » apparaît chez Leibniz (1673). Euler (1748) popularise la notation $f(x)$ et voit une fonction comme une expression analytique. Dirichlet (1837) donne la définition moderne : une correspondance qui à chaque $x$ associe un unique $y$, sans exiger de formule.

Mini-jeux

Exercices

Soit $f(x) = -2x^2 + 3x - 1$. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(-2)$ et $f\left(\frac12\right)$.

$f(-2) =$

$f(0) = -1$ ; $f(1) = -2 + 3 - 1 = 0$ ; $f(-2) = -8 - 6 - 1 = -15$ ; $f\left(\frac12\right) = -\frac12 + \frac32 - 1 = 0$.

Soit $g(x) = 5x + 3$. Déterminer l'antécédent de $18$ puis celui de $0$. Soit $h(x) = x^2 + 1$ : quels sont les antécédents de $10$, de $1$, de $0$ ?

$5x + 3 = 18 \iff x = 3$ ; $\;5x + 3 = 0 \iff x = -\frac35$.

$x^2 + 1 = 10 \iff x^2 = 9$ : antécédents $-3$ et $3$. $\;x^2 + 1 = 1$ : seul antécédent $0$. $\;x^2 + 1 = 0 \iff x^2 = -1$ : aucun antécédent.

Programme : « Choisir un nombre, lui ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre de départ, puis soustraire 4. »

  1. Quel résultat obtient-on avec 2 ? avec $-5$ ?
  2. Exprimer le résultat $P(x)$ en fonction du nombre $x$ choisi.
  3. Vérifier que $P(x) = (x - 1)(x + 4)$. Quels nombres donnent 0 ?
  1. $2 \to 5 \to 10 \to 6$ ; $\;-5 \to -2 \to 10 \to 6$.
  2. $P(x) = x(x + 3) - 4 = x^2 + 3x - 4$.
  3. $(x - 1)(x + 4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$ ✓. Produit nul : $x = 1$ ou $x = -4$.

Voici une fonction Python :

def f(x):
    return x**2 - 3*x

Compléter le tableau : $x = -1, 0, 1, 2, 3, 4$. Quels nombres ont pour image 0 ?

Images : $4, 0, -2, -2, 0, 4$. Les antécédents de 0 sont 0 et 3 (en effet $x^2 - 3x = x(x - 3)$).

Soit $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

  1. Pourquoi $-3$ est-il exclu ?
  2. Les points $A(1\,;\,\frac14)$, $B(0\,;\,-3)$ et $C(-4\,;\,9)$ appartiennent-ils à $\mathcal{C}_f$ ?
  3. Déterminer le point de $\mathcal{C}_f$ d'ordonnée $1$.
  1. Pour $x = -3$ le dénominateur est nul.
  2. $f(1) = \frac{1}{4}$ : $A \in \mathcal{C}_f$. $\;f(0) = -\frac13 \neq -3$ : $B \notin \mathcal{C}_f$. $\;f(-4) = \frac{-9}{-1} = 9$ : $C \in \mathcal{C}_f$.
  3. $\frac{2x - 1}{x + 3} = 1 \iff 2x - 1 = x + 3$ (avec $x \neq -3$) $\iff x = 4$. Point $(4\,;\,1)$.

On considère $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x + 3$.

  1. Tracer les deux courbes (calculatrice ou GeoGebra) et conjecturer les solutions de $f(x) = g(x)$ puis de $f(x) \leqslant g(x)$.
  2. Vérifier que $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ et conclure algébriquement.
  1. Les courbes se coupent en $x = -1$ et $x = 3$ ; la parabole est sous la droite entre les deux : conjecture $S = [-1\,;\,3]$.
  2. Développement immédiat. $f(x) \leqslant g(x) \iff (x + 1)(x - 3) \leqslant 0$ ; tableau de signes : $S = [-1\,;\,3]$.

On reprend la boîte de l'exemple : $V(x) = x(20 - 2x)^2$ sur $[0\,;\,10]$.

  1. Calculer $V(1)$, $V(3)$, $V(5)$ et $V(8)$.
  2. À l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal.
  1. $V(1) = 324$ ; $V(3) = 588$ ; $V(5) = 500$ ; $V(8) = 128$ (en cm³).
  2. Le tableau de valeurs (pas 0,1) suggère un maximum pour $x \approx 3{,}3$ (la valeur exacte est $\frac{10}{3}$), avec $V \approx 592{,}6$ cm³.

Une salle de sport propose un abonnement annuel de 120 € puis 3 € par séance. On note $C(n)$ le coût annuel pour $n$ séances.

  1. Exprimer $C(n)$. Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?
  2. Combien de séances pour 300 € ?
  3. Le coût moyen par séance est $M(n) = \frac{C(n)}{n}$. Calculer $M(10)$ et $M(100)$. Commenter.
  1. $C(n) = 120 + 3n$, définie sur $\mathbb{N}$ (nombre entier de séances) : c'est un phénomène discret.
  2. $120 + 3n = 300 \iff n = 60$ séances.
  3. $M(10) = 15$ € ; $M(100) = 4{,}2$ €. Plus on y va, plus le coût moyen se rapproche de 3 €.

Soit $f(x) = x^2 - 4x$ sur $\mathbb{R}$.

  1. Montrer que $f(x) = (x - 2)^2 - 4$.
  2. En déduire, selon la valeur du réel $k$, le nombre d'antécédents de $k$ par $f$.
  1. $(x - 2)^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x$ ✓.
  2. $f(x) = k \iff (x - 2)^2 = k + 4$. Si $k < -4$ : aucun antécédent. Si $k = -4$ : un seul ($x = 2$). Si $k > -4$ : deux antécédents, $2 - \sqrt{k + 4}$ et $2 + \sqrt{k + 4}$.

Une population de bactéries double toutes les heures. Au départ ($n = 0$), il y en a 500. On note $u(n)$ le nombre de bactéries après $n$ heures.

  1. Calculer $u(1)$, $u(2)$, $u(3)$, puis exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.
  2. Écrire un programme Python donnant la première heure où la population dépasse un million.
  1. $1\,000$ ; $2\,000$ ; $4\,000$. $\;u(n) = 500 \times 2^n$.
  2. n = 0
u = 500
while u <= 1000000:
    u = 2 * u
    n = n + 1
print(n)   # 11, car 500 × 2**11 = 1 024 000