✎ Les méthodes à connaître — Première

On trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe pour lire $u_1 = f(u_0)$, on reporte cette valeur sur l'axe des abscisses grâce à la droite $y = x$, et on recommence : c'est la toile d'araignée.

Méthode 1 : signe de $u_{n+1} - u_n$. Pour $u_n = n^2 - 4n$ : $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) - n^2 + 4n = 2n - 3$, positif dès que $n \geqslant 2$. La suite est croissante à partir du rang 2.

Méthode 2 : si $u_n = f(n)$, on étudie les variations de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Si $f$ est croissante, $(u_n)$ l'est aussi.

Méthode 3 : si tous les termes sont strictement positifs, on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

On calcule $u_{n+1} - u_n$ et on montre que c'est une constante (indépendante de $n$). Pour $u_n = 7 - 3n$ : $u_{n+1} - u_n = 7 - 3n - 3 - 7 + 3n = -3$. Arithmétique de raison $-3$.

• Variation absolue constante (+ 200 habitants par an, − 15 € par mois) : suite arithmétique, croissance linéaire.
• Variation relative constante (+ 2 % par an, divisé par 2 toutes les heures) : suite géométrique, croissance exponentielle.

On utilise $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$.

$f(x) = 2x^2 - 12x + 10 = 2(x^2 - 6x) + 10 = 2\big[(x - 3)^2 - 9\big] + 10 = 2(x - 3)^2 - 8$. Sommet $(3\,;\,-8)$.

• Facteur commun ou identité remarquable : $3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$ ; $\;x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
• Racine évidente : $x^2 + 4x - 5$ s'annule en $x = 1$ ; le produit des racines vaut $-5$, donc l'autre est $-5$ : $(x - 1)(x + 5)$.
• Somme et produit : pour $x^2 - 7x + 12$, on cherche deux nombres de somme 7 et de produit 12 : 3 et 4. Donc $(x - 3)(x - 4)$.
• Formules générales avec $\Delta$ en dernier recours.

$f(x) = x^2$ en $a = 3$ : $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$ (car $\tau(h) = 6 + h$). Tangente : $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.

$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ : on choisit deux points de la tangente et on calcule $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Une tangente horizontale correspond à $f'(a) = 0$.

• $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ : $f'(x) = 12x^2 - 10x + 7$.
• $g(x) = (2x + 1)\sqrt{x}$ : $u = 2x + 1$, $v = \sqrt{x}$, $g'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1)\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$.
• $h(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ : $h'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{7}{(x + 2)^2}$.
• $k(x) = (5x - 3)^4$ : avec $g(X) = X^4$, $k'(x) = 5 \times 4(5x - 3)^3 = 20(5x - 3)^3$.
• $m(x) = \sqrt{2x + 6}$ : $m'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x + 6}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 6}}$.

1. Identifie la forme : somme, produit $uv$, quotient $\frac uv$, $\frac1v$, $\sqrt u$ ou $g(ax + b)$.
2. Écris $u$, $v$ et leurs dérivées à part.
3. Applique la formule, puis simplifie et factorise (le signe de $f'$ servira ensuite).

Exemple. $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ : $f'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$.

1. Calcule $f(a)$ et $f'(a)$.
2. Écris $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
3. Développe pour obtenir $y = mx + p$.

Exemple. $f(x) = x^2 - 3x$ en $a = 2$ : $f(2) = -2$, $f'(2) = 1$, tangente $y = x - 4$.

Étudions $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ sur $\mathbb{R}$.

1. Dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$.
2. Signe : trinôme positif à l'extérieur des racines $-1$ et $3$.
3. Tableau de variations : $f(-1) = 10$ et $f(3) = -22$.

$f$ admet un maximum local 10 en $-1$ et un minimum local $-22$ en 3.

1. Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
2. Un extremum local correspond à un changement de signe de $f'$ (pas seulement à $f'(a) = 0$).
3. Calcule la valeur de l'extremum $f(a)$ et précise s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

1. Choisis la variable $x$ et son intervalle de validité.
2. Exprime la grandeur à optimiser en fonction de $x$.
3. Étudie les variations de cette fonction et conclus par une phrase avec l'unité.

Exemple. Rectangle de périmètre 20 : $A(x) = x(10 - x)$, $A'(x) = 10 - 2x$, maximum pour $x = 5$ : le carré.

1. Transforme les produits et quotients avec $\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$, $\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a-b}$ et $(\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}$.
2. Regroupe les exposants et réduis.
3. Pour factoriser, mets en facteur l'exponentielle de plus petit exposant.

Exemple. $\dfrac{\mathrm{e}^{3x}\times\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x+1}} = \mathrm{e}^{3x - x - (x + 1)} = \mathrm{e}^{x - 1}$ ; $\;\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x - 1)$.

1. Écris chaque membre sous la forme $\mathrm{e}^{\dots}$ (ou pose $X = \mathrm{e}^x$ si l'équation est du second degré en $\mathrm{e}^x$).
2. Utilise $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ (stricte croissance).
3. Résous l'équation ou l'inéquation obtenue sur les exposants.

Exemple. $\mathrm{e}^{2x - 1} \geqslant \mathrm{e}^{x + 3} \iff 2x - 1 \geqslant x + 3 \iff x \geqslant 4$.

1. Dérive : $(\mathrm{e}^{ax+b})' = a\,\mathrm{e}^{ax+b}$, et la formule du produit si besoin.
2. Factorise $f'(x)$ par l'exponentielle : comme $\mathrm{e}^{\dots} > 0$, le signe de $f'$ est celui de l'autre facteur.
3. Dresse le tableau de signes de ce facteur, puis le tableau de variations.

Exemple. $f(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x$ : $f'(x) = \mathrm{e}^x + (x - 2)\mathrm{e}^x = (x - 1)\mathrm{e}^x$, du signe de $x - 1$ : minimum en $x = 1$, $f(1) = -\mathrm{e}$.

$\cos x = \frac12$ : on place $\frac12$ sur l'axe des abscisses, la droite verticale coupe le cercle en deux points : $x = \frac{\pi}{3}$ ou $x = -\frac{\pi}{3}$.

1. Écris le réel sous la forme $\frac{k\pi}{n}$ et retire des multiples de $2\pi$ pour te ramener à $]-\pi\,;\,\pi]$ (mesure principale).
2. Repère le quart de cercle, puis utilise les valeurs remarquables ($\frac\pi6$, $\frac\pi4$, $\frac\pi3$).
3. Lis $\cos x$ (abscisse) et $\sin x$ (ordonnée), avec le bon signe.

Exemple. $\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$ : $\cos = -\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin = \frac12$.

1. Repère la symétrie : $-x$ (axe des abscisses), $\pi - x$ (axe des ordonnées), $\pi + x$ (origine), $\frac\pi2 - x$ (première bissectrice).
2. Déduis les signes : $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\sin(\pi - x) = \sin x$, $\cos(\frac\pi2 - x) = \sin x$…

1. Avec des coordonnées (repère orthonormé) : $\vec u\cdot\vec v = xx' + yy'$.
2. Avec des longueurs et un angle : $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u, \vec v)$.
3. Avec une projection : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$.
4. Avec trois longueurs : $\vec u\cdot\vec v = \frac12\left(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\right)$.

1. Choisis un vecteur directeur de chaque droite (ou les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$).
2. Calcule leur produit scalaire.
3. S'il est nul, les droites sont perpendiculaires.

Exemple. $\overrightarrow{AB}(3\,;\,-2)$ et $\overrightarrow{CD}(4\,;\,6)$ : $12 - 12 = 0$, donc $(AB) \perp (CD)$.

1. Calcule le produit scalaire de deux façons (coordonnées et formule avec le cosinus).
2. Égalise pour obtenir $\cos\theta$, puis $\theta$ à la calculatrice.
3. Dans un triangle : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat A$ (Al-Kashi).

Exemple. Triangle avec $b = 5$, $c = 8$, $\hat A = 60°$ : $a^2 = 25 + 64 - 40 = 49$, $a = 7$.

$A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,-1)$, $C(5\,;\,4)$. La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$, donc de vecteur normal $\overrightarrow{BC}(2\,;\,5)$ : $2(x - 1) + 5(y - 2) = 0$, soit $2x + 5y - 12 = 0$.

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$. On complète les carrés : $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0$, soit $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$. C'est le cercle de centre $(3\,;\,-2)$ et de rayon 4.

Si on obtient $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$ avec $k < 0$, l'ensemble est vide ; avec $k = 0$, c'est le seul point $(a\,;\,b)$.

Intersection de $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 25$ et $d : y = x + 1$. On substitue : $x^2 + (x + 1)^2 = 25 \iff 2x^2 + 2x - 24 = 0 \iff x^2 + x - 12 = 0$, donc $x = 3$ ou $x = -4$. Points $(3\,;\,4)$ et $(-4\,;\,-3)$.

1. Identifie les étapes de l'expérience et les événements de chaque étape.
2. Place les probabilités de la 1^re étape, puis les probabilités conditionnelles sur les branches suivantes ; la somme des branches issues d'un nœud vaut 1.
3. Probabilité d'un chemin : produit des probabilités le long du chemin.
4. Probabilité d'un événement : somme des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).

Exemple. $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$, $P_{\bar A}(B) = 0{,}2$ : $P(B) = 0{,}3\times0{,}6 + 0{,}7\times0{,}2 = 0{,}32$.

1. Calcule $P(A \cap B)$ (chemin de l'arbre) et $P(B)$ (probabilités totales).
2. Applique $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
3. Interprète : ne confonds pas $P_B(A)$ et $P_A(B)$.

Exemple. Avec l'arbre précédent : $P_B(A) = \dfrac{0{,}18}{0{,}32} = 0{,}5625$.

1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$.
2. Compare $P(A \cap B)$ et $P(A)\times P(B)$ (ou $P_B(A)$ et $P(A)$).
3. Égalité : indépendants. Attention : indépendants ne veut pas dire incompatibles !

Si $X$ est le gain algébrique d'un joueur, le jeu est équitable si $E(X) = 0$, favorable au joueur si $E(X) > 0$, défavorable si $E(X) < 0$.

1. Liste toutes les valeurs possibles de $X$.
2. Pour chaque valeur, calcule $P(X = x_i)$ (arbre, tableau, dénombrement).
3. Présente la loi dans un tableau et vérifie que la somme des probabilités vaut 1.

1. $E(X) = \sum x_i\,p_i$.
2. $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2p_i$, ou plus rapide : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ (König-Huygens).
3. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ; interprète $E(X)$ comme une moyenne à long terme.

Exemple. $X$ vaut $-2$, $1$, $5$ avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$ : $E = -1 + 0{,}3 + 1 = 0{,}3$ ; $E(X^2) = 2 + 0{,}3 + 5 = 7{,}3$ ; $V = 7{,}3 - 0{,}09 = 7{,}21$.

Montrer que $n(n + 1)(2n + 1)$ est pair : si $n$ est pair, c'est clair ; si $n$ est impair, $n + 1$ est pair.

Montrer que $\sqrt 3$ est irrationnel, ou qu'il y a une infinité de nombres premiers (Euclide) : on suppose le contraire et on obtient une contradiction.

« Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair » se démontre via « si $n$ est impair alors $n^2$ est impair ».

Pour montrer que « pour tout $x$, $P(x)$ » est fausse, un seul $x$ ne vérifiant pas $P$ suffit. Exemple : « pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = x$ » est fausse ($x = -1$).

Par les éléments : for x in L: (quand seule la valeur compte). Par les indices : for i in range(len(L)): (quand on a besoin de la position, ou de comparer deux éléments voisins).

1. Liste vide puis ajouts : L = [] et L.append(x) dans une boucle.
2. En compréhension : [f(k) for k in range(n)], avec éventuellement une condition if.
3. Longueur : len(L) ; éléments : L[0] à L[len(L) - 1].

Exemple. Carrés des nombres pairs inférieurs à 20 : [k**2 for k in range(20) if k % 2 == 0].

1. Par les valeurs : for x in L: (somme, maximum, comptage).
2. Par les indices : for i in range(len(L)): (quand la position compte).
3. Initialise l'accumulateur (somme à 0, maximum au premier élément) avant la boucle.