Suites numériques

Une suite, c'est une liste infinie de nombres numérotés : les termes. Elle modélise les phénomènes qui évoluent par étapes (d'une année à l'autre, d'une génération à la suivante…).

  • Définir une suite de façon explicite ou par récurrence
  • Calculer des termes, à la main et en Python
  • Étudier le sens de variation
  • Conjecturer une limite

Cours

1. Définition et notations

Une suite $u$ associe à chaque entier naturel $n$ (à partir d'un certain rang) un réel noté $u_n$ ou $u(n)$, appelé terme de rang $n$ (ou terme d'indice $n$).

La suite elle-même se note $u$ ou $(u_n)$. Attention : $u_n$ est un nombre, $(u_n)$ est la suite.

Ne pas confondre $u_{n+1}$ (le terme qui suit $u_n$) et $u_n + 1$ (le terme $u_n$ augmenté de 1). Si $u_n = n^2$ : $u_{n+1} = (n + 1)^2$ mais $u_n + 1 = n^2 + 1$.

2. Modes de génération

$u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction : on calcule directement n'importe quel terme.

Exemple : $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 1}$ donne $u_0 = 1$, $u_1 = \frac32$, $u_{99} = \frac{199}{100}$.

On donne le premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Exemple : $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 3$. $\;u_1 = 8$, $u_2 = 7$, $u_3 = 6{,}5$… Pour obtenir $u_{50}$, il faut calculer tous les termes précédents (d'où l'intérêt d'un programme).

Une suite peut aussi être définie par un algorithme, par un motif géométrique (nombres figurés : triangulaires, carrés…), ou par une question de dénombrement.

T₁ = 1T₂ = 3T₃ = 6T₄ = 10…
Nombres triangulaires : $T_{n+1} = T_n + (n + 1)$ (récurrence) et $T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (formule explicite).

3. Représentation graphique

La représentation graphique d'une suite est l'ensemble des points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$ : des points isolés, pas une courbe.

On trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe pour lire $u_1 = f(u_0)$, on reporte cette valeur sur l'axe des abscisses grâce à la droite $y = x$, et on recommence : c'est la toile d'araignée.

4. Sens de variation

  • $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \geqslant u_n$.
  • $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \leqslant u_n$.
  • Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante (stricte si les inégalités sont strictes).

Méthode 1 : signe de $u_{n+1} - u_n$. Pour $u_n = n^2 - 4n$ : $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) - n^2 + 4n = 2n - 3$, positif dès que $n \geqslant 2$. La suite est croissante à partir du rang 2.

Méthode 2 : si $u_n = f(n)$, on étudie les variations de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Si $f$ est croissante, $(u_n)$ l'est aussi.

Méthode 3 : si tous les termes sont strictement positifs, on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, les variations de $f$ ne donnent pas directement celles de $(u_n)$ : avec $f(x) = -0{,}8x + 4$ décroissante, la suite oscille (voir la toile d'araignée).

5. Notion intuitive de limite

  • $(u_n)$ tend vers le réel $\ell$ si les termes deviennent aussi proches de $\ell$ qu'on veut, à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ : la suite converge.
  • $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si les termes finissent par dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit-il.

Exemples : $\dfrac{2n+1}{n+1} \to 2$ ; $\;n^2 \to +\infty$ ; $\;(-1)^n$ n'a pas de limite. La définition précise est étudiée en Terminale.

6. Algorithmes

def terme(n):
    # u0 = 10, u(n+1) = 0,5 u(n) + 3
    u = 10
    for i in range(n):
        u = 0.5 * u + 3
    return u

def liste_termes(n):
    L = [10]
    for i in range(n):
        L.append(0.5 * L[-1] + 3)
    return L
def factorielle(n):
    p = 1
    for k in range(1, n + 1):
        p = p * k
    return p

def fibonacci(n):
    # liste des n premiers termes : 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
    L = [1, 1]
    while len(L) < n:
        L.append(L[-1] + L[-2])
    return L

def syracuse(u):
    # si u est pair on le divise par 2, sinon on calcule 3u + 1
    L = [u]
    while u != 1:
        if u % 2 == 0:
            u = u // 2
        else:
            u = 3 * u + 1
        L.append(u)
    return L

print(factorielle(10))
print(fibonacci(15))
print(syracuse(27)[:20], "... longueur :", len(syracuse(27)))

Dans son Liber abaci (1202), Fibonacci pose le problème des lapins : chaque couple adulte engendre un nouveau couple chaque mois. On obtient la suite $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13\dots$ où chaque terme est la somme des deux précédents. La suite de Syracuse cache, elle, un problème toujours ouvert : personne n'a démontré qu'elle atteint 1 quel que soit le point de départ !

Mini-jeux

Exercices

Soit $u_n = n^2 - 3n + 1$ et $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n - 1$. Calculer $u_0, u_1, u_2, u_{10}$ puis $v_1, v_2, v_3$.

$v_3 =$

$u_0 = 1$, $u_1 = -1$, $u_2 = -1$, $u_{10} = 71$. $\;v_1 = 5$, $v_2 = 14$, $v_3 = 41$.

Soit $u_n = \dfrac{n}{n + 2}$. Exprimer $u_{n+1}$, $u_{2n}$ et $u_n + 1$ en fonction de $n$.

$u_{n+1} = \dfrac{n + 1}{n + 3}$ ; $u_{2n} = \dfrac{2n}{2n + 2} = \dfrac{n}{n + 1}$ ; $u_n + 1 = \dfrac{n + n + 2}{n + 2} = \dfrac{2n + 2}{n + 2}$.

On construit des carrés d'allumettes : 1 carré (4 allumettes), 2 carrés côte à côte (7 allumettes), 3 carrés (10 allumettes)… Soit $a_n$ le nombre d'allumettes pour $n$ carrés. Donner une relation de récurrence puis une formule explicite.

Chaque nouveau carré ajoute 3 allumettes : $a_1 = 4$ et $a_{n+1} = a_n + 3$. Formule explicite : $a_n = 3n + 1$.

Étudier le sens de variation des suites : $\;(a)\; u_n = 5 - 2n$ ; $\;(b)\; v_n = n^2 + n$ ; $\;(c)\; w_n = \dfrac{3^n}{n + 1}$ (utiliser le quotient).

(a) $u_{n+1} - u_n = -2 < 0$ : décroissante. (b) $v_{n+1} - v_n = 2n + 2 > 0$ : croissante.

(c) Les termes sont positifs et $\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = \dfrac{3^{n+1}}{n + 2} \times \dfrac{n + 1}{3^n} = \dfrac{3(n + 1)}{n + 2}$. Or $3n + 3 > n + 2$, donc ce quotient est supérieur à 1 : $(w_n)$ est croissante.

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.

  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ (valeurs approchées).
  2. Écrire une fonction Python donnant $u_n$.
  3. Conjecturer la limite. Quelle équation vérifie-t-elle ?
  1. $u_1 \approx 2{,}646$ ; $u_2 \approx 2{,}940$ ; $u_3 \approx 2{,}990$.
  2. def u(n):
      x = 1
      for i in range(n): x = (x + 6) ** 0.5
      return x
  3. La suite semble tendre vers 3, solution positive de $\ell = \sqrt{\ell + 6}$, soit $\ell^2 - \ell - 6 = 0$, $(\ell - 3)(\ell + 2) = 0$.

Un lac contient 2 000 tonnes de déchets. Chaque année, 10 % des déchets sont éliminés naturellement, mais 150 tonnes sont rejetées. On note $d_n$ la masse de déchets après $n$ années.

  1. Justifier que $d_{n+1} = 0{,}9d_n + 150$.
  2. Calculer $d_1$ et $d_2$.
  3. À l'aide d'un programme, conjecturer le comportement de la suite.
  1. Il reste 90 % des déchets, et on en ajoute 150.
  2. $d_1 = 1\,950$, $d_2 = 1\,905$.
  3. La suite décroît et semble tendre vers 1 500 (solution de $\ell = 0{,}9\ell + 150$).

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{4n - 1}{n + 2}$.

  1. Montrer que $u_n = 4 - \dfrac{9}{n + 2}$.
  2. En déduire le sens de variation de la suite.
  3. Montrer que pour tout $n$, $u_n < 4$. Conjecturer la limite.
  4. À partir de quel rang a-t-on $u_n > 3{,}99$ ?
  1. $4 - \frac{9}{n + 2} = \frac{4n + 8 - 9}{n + 2} = \frac{4n - 1}{n + 2}$.
  2. $n \mapsto \frac{9}{n + 2}$ est décroissante, donc $u_n$ est croissante.
  3. $\frac{9}{n + 2} > 0$ donc $u_n < 4$. Limite conjecturée : 4.
  4. $\frac{9}{n + 2} < 0{,}01 \iff n + 2 > 900 \iff n > 898$ : à partir du rang 899.

On note $c_n$ le nombre de points d'un carré de côté $n$ points. Exprimer $c_{n+1} - c_n$. En déduire que la somme des $n$ premiers entiers impairs vaut $n^2$.

$c_n = n^2$ et $c_{n+1} - c_n = 2n + 1$ (on ajoute une « équerre » de $2n + 1$ points). Donc $n^2 = c_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)$ en empilant les équerres depuis $c_1 = 1$.