Variables aléatoires

Une variable aléatoire associe un nombre (un gain, une durée, un nombre de succès…) à chaque issue d'une expérience. Son espérance est la « moyenne à long terme », sa variance mesure la dispersion.

Déterminer la loi d'une variable aléatoire
Calculer espérance, variance, écart type
Interpréter l'espérance (jeu équitable…)
Simuler et étudier des échantillons

Cours

1. Variable aléatoire et loi

Une variable aléatoire $X$ sur un univers fini $\Omega$ est une fonction qui associe un réel à chaque issue : $X : \Omega \to \mathbb{R}$.

L'événement « $X$ prend la valeur $a$ » se note $\{X = a\}$ ; de même $\{X \leqslant a\}$, $\{X > a\}$…

Si $X$ prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$, donner la loi de $X$, c'est donner les probabilités $p_i = P(X = x_i)$, avec $p_1 + \dots + p_n = 1$. On la présente dans un tableau.

On lance deux pièces. $X$ = nombre de « Pile ». $\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$ ; $X$ prend les valeurs 0, 1, 2 avec $P(X = 0) = \frac14$, $P(X = 1) = \frac12$, $P(X = 2) = \frac14$. $\;P(X \geqslant 1) = \frac34$.

2. Espérance, variance, écart type

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\,P(X = x_i) = x_1p_1 + x_2p_2 + \dots + x_np_n.$$

C'est la moyenne des valeurs de $X$ pondérées par leurs probabilités : la valeur moyenne qu'on obtiendrait sur un très grand nombre de répétitions.

$$V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i\big(x_i - E(X)\big)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$

Ils mesurent la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance (comme l'écart type en statistiques).

$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$, où $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.

Notons $\mu = E(X)$. En développant : $V(X) = \sum p_i(x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2) = \sum p_ix_i^2 - 2\mu\sum p_ix_i + \mu^2\sum p_i$.

Or $\sum p_ix_i = \mu$ et $\sum p_i = 1$, donc $V(X) = E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$. $\blacksquare$

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\;E(aX + b) = aE(X) + b\;$ et $\;V(aX + b) = a^2V(X)$, $\;\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$.

Loi de $X$ : valeurs $-2$, 1, 5 avec probabilités 0,3 ; 0,5 ; 0,2. $\;E(X) = -0{,}6 + 0{,}5 + 1 = 0{,}9$. $\;E(X^2) = 1{,}2 + 0{,}5 + 5 = 6{,}7$. $\;V(X) = 6{,}7 - 0{,}81 = 5{,}89$, $\;\sigma \approx 2{,}43$.

Si $X$ est le gain algébrique d'un joueur, le jeu est équitable si $E(X) = 0$, favorable au joueur si $E(X) > 0$, défavorable si $E(X) < 0$.

3. Expérimentations

Un échantillon de taille $n$ est obtenu en répétant $n$ fois, de façon indépendante, la même expérience. La moyenne observée sur l'échantillon fluctue d'un échantillon à l'autre, mais se rapproche de l'espérance quand $n$ grandit.

Si $X$ a pour espérance $\mu$ et écart type $\sigma$, en simulant de nombreux échantillons de taille $n$, on observe qu'environ 95 % des moyennes d'échantillons sont à une distance de $\mu$ inférieure ou égale à $\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$.

On estime une grandeur (une aire, un nombre comme $\pi$) par la fréquence d'un événement lors d'un grand nombre de tirages aléatoires.

from random import randint

def gain():
    # on lance deux dés : +20 si la somme vaut 12, +5 si double, sinon 0 ; mise 2
    a, b = randint(1, 6), randint(1, 6)
    if a + b == 12:
        return 20 - 2
    elif a == b:
        return 5 - 2
    return -2

def moyenne_echantillon(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + gain()
    return s / n

for n in [10, 100, 1000, 100000]:
    print(n, moyenne_echantillon(n))

La notion d'espérance naît avec Pascal et Huygens (1657) pour partager équitablement les mises d'un jeu interrompu. La variable aléatoire, utilisée depuis sans définition précise, est formalisée au XX^e siècle comme une fonction définie sur l'univers (Kolmogorov, 1933).

Méthodes à connaître

Liste toutes les valeurs possibles de $X$.
Pour chaque valeur, calcule $P(X = x_i)$ (arbre, tableau, dénombrement).
Présente la loi dans un tableau et vérifie que la somme des probabilités vaut 1.

$E(X) = \sum x_i\,p_i$.
$V(X) = \sum (x_i - E(X))^2p_i$, ou plus rapide : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ (König-Huygens).
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ; interprète $E(X)$ comme une moyenne à long terme.

Exemple. $X$ vaut $-2$, $1$, $5$ avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$ : $E = -1 + 0{,}3 + 1 = 0{,}3$ ; $E(X^2) = 2 + 0{,}3 + 5 = 7{,}3$ ; $V = 7{,}3 - 0{,}09 = 7{,}21$.

Mini-jeux

Exercices

On lance un dé équilibré. On gagne 3 € si on obtient 6, 1 € si on obtient 4 ou 5, et on perd 1 € sinon. Donner la loi du gain $X$ et calculer $E(X)$.

$E(X) =$

$P(X = 3) = \frac16$, $P(X = 1) = \frac26$, $P(X = -1) = \frac36$. $\;E(X) = 3\times\frac16 + 1\times\frac26 - 1\times\frac36 = \frac{3 + 2 - 3}{6} = \frac13$ : en moyenne, le joueur gagne environ 0,33 € par partie.

$X$ prend les valeurs 0, 2, 4 avec probabilités 0,25 ; 0,5 ; 0,25. Calculer $E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$.

$E(X) = 2$. $E(X^2) = 2 + 4 = 6$, $V(X) = 6 - 4 = 2$, $\sigma = \sqrt2$.

Une urne contient 2 boules rouges et 8 blanches. Un joueur mise $m$ € et tire une boule : s'il tire une rouge, il reçoit 10 €. Pour quelle mise le jeu est-il équitable ?

Gain algébrique : $10 - m$ avec probabilité 0,2 ; $-m$ avec probabilité 0,8. $E = 2 - m = 0 \iff m = 2$ €.

Le nombre de clients par heure d'un magasin a pour espérance 12 et écart type 3. Chaque client rapporte 8 € et l'heure d'ouverture coûte 40 €. Espérance et écart type du bénéfice horaire ?

$B = 8X - 40$ : $E(B) = 96 - 40 = 56$ €, $\sigma(B) = 8 \times 3 = 24$ €.

On lance 3 fois une pièce truquée ($P(\text{Pile}) = 0{,}6$). $X$ = nombre de Pile. Donner la loi de $X$ et $E(X)$.

$P(X=0) = 0{,}064$ ; $P(X=1) = 3\times0{,}6\times0{,}16 = 0{,}288$ ; $P(X=2) = 3\times0{,}36\times0{,}4 = 0{,}432$ ; $P(X=3) = 0{,}216$. $E(X) = 0{,}288 + 0{,}864 + 0{,}648 = 1{,}8$ ($= 3 \times 0{,}6$).

Une assurance couvre un vol de vélo (valeur 600 €) qui arrive avec probabilité 0,03 par an. Quelle prime annuelle minimale l'assureur doit-il demander pour ne pas perdre d'argent en moyenne ? S'il demande 25 €, quel est son bénéfice moyen par contrat ?

Coût moyen : $0{,}03 \times 600 = 18$ €. Prime minimale 18 €. Avec 25 € : bénéfice moyen de 7 € par contrat (loi des grands nombres : sur beaucoup de contrats, c'est quasiment garanti).