Trigonométrie

En enroulant la droite des réels autour d'un cercle de rayon 1, on associe à chaque nombre réel un point du cercle, donc un cosinus et un sinus. Les angles deviennent des nombres : les radians.

  • Utiliser le cercle trigonométrique et le radian
  • Définir cosinus et sinus d'un réel
  • Connaître les valeurs remarquables
  • Utiliser les symétries du cercle

Cours

1. Cercle trigonométrique et radian

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,I, J)$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre).

On « enroule » une droite graduée tangente au cercle en $I$ : à chaque réel $x$ correspond un unique point $M$ du cercle. Comme le périmètre du cercle vaut $2\pi$, les réels $x$ et $x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) sont associés au même point.

Le radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique. Un tour complet mesure $2\pi$ rad, donc $\pi \text{ rad} = 180^\circ$ : on convertit par proportionnalité.

degrés030456090180360
radians0$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$$\pi$$2\pi$

Parmi toutes les mesures $x + 2k\pi$ associées à un point, une seule appartient à $]-\pi\,;\,\pi]$ : c'est la mesure principale. Exemple : $\frac{17\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi$, sa mesure principale est $\frac{5\pi}{6}$.

2. Cosinus et sinus d'un réel

Soit $x$ un réel et $M$ le point du cercle trigonométrique associé. Le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$, le sinus de $x$ est son ordonnée : $M(\cos x\,;\,\sin x)$.

Pour tout réel $x$ et tout entier $k$ :

  • $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ ;
  • $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (Pythagore dans le triangle $O$, projeté de $M$, $M$) ;
  • $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$.

Si $0 < x < \frac{\pi}{2}$, le triangle formé par $O$, $M$ et son projeté $H$ sur l'axe des abscisses est rectangle en $H$, d'hypoténuse $OM = 1$ : on retrouve $\cos x = \frac{OH}{OM}$ (adjacent / hypoténuse) et $\sin x = \frac{HM}{OM}$ (opposé / hypoténuse).

3. Valeurs remarquables

$\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\quad\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\quad\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Pour $\frac{\pi}{4}$. Le point $M$ associé est sur la bissectrice de l'angle $\widehat{IOJ}$ (45°), donc $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = c$ avec $c > 0$. Avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$ : $2c^2 = 1$, $c = \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt2}{2}$.

Pour $\frac{\pi}{3}$. Soit $M$ associé à $\frac{\pi}{3}$. Le triangle $OIM$ est isocèle en $O$ ($OI = OM = 1$) avec un angle au sommet de 60°, donc ses angles à la base valent aussi 60° : il est équilatéral. Le projeté $H$ de $M$ sur $(OI)$ est le pied de la hauteur, qui est aussi médiane : $H$ est le milieu de $[OI]$, donc $\cos\frac{\pi}{3} = OH = \frac12$.

Puis $\sin^2\frac{\pi}{3} = 1 - \frac14 = \frac34$ et $\sin\frac{\pi}{3} > 0$, d'où $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$.

Pour $\frac{\pi}{6}$. Les points associés à $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{3}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ (car $\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$), ce qui échange abscisse et ordonnée : $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$. $\blacksquare$

$x$$0$$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$$\pi$
$\cos x$$1$$\frac{\sqrt3}{2}$$\frac{\sqrt2}{2}$$\frac12$$0$$-1$
$\sin x$$0$$\frac12$$\frac{\sqrt2}{2}$$\frac{\sqrt3}{2}$$1$$0$

4. Angles associés

Pour tout réel $x$ :

RéelSymétriecosinussinus
$-x$axe des abscisses$\cos x$$-\sin x$
$\pi - x$axe des ordonnées$-\cos x$$\sin x$
$\pi + x$centre $O$$-\cos x$$-\sin x$
$\frac{\pi}{2} - x$droite $y = x$$\sin x$$\cos x$

$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt3}{2}$ ; $\quad\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\frac{2\pi}{3} = -\sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos x = \frac12$ : on place $\frac12$ sur l'axe des abscisses, la droite verticale coupe le cercle en deux points : $x = \frac{\pi}{3}$ ou $x = -\frac{\pi}{3}$.

5. Algorithme : approcher π

from math import sin, pi

# Périmètre d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle de rayon 1 :
# chaque côté mesure 2 sin(pi/n) ; le demi-périmètre approche pi.
for n in [6, 12, 24, 96, 1000]:
    print(n, "côtés :", n * sin(pi / n))

# Série de Leibniz : pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
s = 0
for k in range(100000):
    s = s + (-1) ** k / (2 * k + 1)
print("Leibniz :", 4 * s)

Archimède encadre $\pi$ entre $3 + \frac{10}{71}$ et $3 + \frac17$ avec des polygones à 96 côtés. La trigonométrie antique (Hipparque, Ptolémée) utilisait la « corde » d'un arc ; le sinus vient de l'astronomie indienne, transmise par les savants arabes.

Méthodes à connaître

  1. Écris le réel sous la forme $\frac{k\pi}{n}$ et retire des multiples de $2\pi$ pour te ramener à $]-\pi\,;\,\pi]$ (mesure principale).
  2. Repère le quart de cercle, puis utilise les valeurs remarquables ($\frac\pi6$, $\frac\pi4$, $\frac\pi3$).
  3. Lis $\cos x$ (abscisse) et $\sin x$ (ordonnée), avec le bon signe.

Exemple. $\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$ : $\cos = -\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin = \frac12$.

  1. Repère la symétrie : $-x$ (axe des abscisses), $\pi - x$ (axe des ordonnées), $\pi + x$ (origine), $\frac\pi2 - x$ (première bissectrice).
  2. Déduis les signes : $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\sin(\pi - x) = \sin x$, $\cos(\frac\pi2 - x) = \sin x$…

Mini-jeux

Exercices

Convertir en radians : 15°, 150°, 225°. Convertir en degrés : $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{5}$.

$\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{4}$ ; $\;210°$, $108°$.

Donner la mesure principale de $\frac{13\pi}{4}$, $-\frac{7\pi}{3}$, $\frac{31\pi}{6}$.

$\frac{13\pi}{4} - 4\pi = -\frac{3\pi}{4}$ ; $\;-\frac{7\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3}$ ; $\;\frac{31\pi}{6} - 4\pi = \frac{7\pi}{6}$, puis $-2\pi$ : $-\frac{5\pi}{6}$.

Calculer $\cos\frac{2\pi}{3}$, $\sin\frac{3\pi}{4}$, $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, $\sin\frac{7\pi}{6}$.

$-\frac12$ ; $\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\frac{\sqrt3}{2}$ ; $-\frac12$.

On sait que $x \in \left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ et $\sin x = \frac35$. Calculer $\cos x$.

$\cos x =$

$\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ et $\cos x \leqslant 0$ sur cet intervalle : $\cos x = -\frac45$.

Résoudre dans $]-\pi\,;\,\pi]$ : $\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\;\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ ; $\;2\sin x + 1 = 0$.

$x = \pm\frac{3\pi}{4}$ ; $\;x = \frac{\pi}{3}$ ou $\frac{2\pi}{3}$ ; $\;\sin x = -\frac12$ : $x = -\frac{\pi}{6}$ ou $-\frac{5\pi}{6}$.

Simplifier $A = \cos(\pi - x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ et $B = \sin(\pi + x) - \sin(-x)$.

$A = -\cos x + \cos x + \cos x = \cos x$. $\;B = -\sin x + \sin x = 0$.

On admet que $\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a \sin b$. En écrivant $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$, calculer la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$.

$\cos\frac{\pi}{12} = \frac12 \cdot \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4} \approx 0{,}966$.