Nombre dérivé et tangente

Comment mesurer la « pente » d'une courbe en un point, ou une vitesse à un instant précis ? En zoomant : une courbe régulière ressemble localement à une droite, sa tangente.

Calculer un taux de variation
Définir le nombre dérivé comme limite
Déterminer l'équation d'une tangente
Utiliser l'approximation affine

Cours

1. Taux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a \in I$ et $h \neq 0$ tel que $a + h \in I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est $$\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$ C'est le coefficient directeur (la pente) de la sécante passant par $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a + h\,;\,f(a + h))$.

Pour $f(x) = x^2$ et $a = 1$ : $\tau(h) = \dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h$.

En physique, si $d(t)$ est la distance parcourue, $\frac{d(t + h) - d(t)}{h}$ est la vitesse moyenne entre $t$ et $t + h$.

2. Nombre dérivé

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\tau(h)$ tend vers un nombre réel $\ell$ quand $h$ tend vers 0. Ce nombre est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $\tau(h) = 2 + h \to 2$, donc $f'(1) = 2$.

Vitesse instantanée : c'est la limite de la vitesse moyenne quand la durée tend vers 0, soit $d'(t)$.

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a\,;\,f(a))$ est la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$. C'est la « limite des sécantes ».

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $$y = f'(a)(x - a) + f(a).$$

La tangente n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées (elle a un coefficient directeur), donc elle a une équation réduite de la forme $y = mx + p$, avec $m = f'(a)$.

Elle passe par $A(a\,;\,f(a))$, donc $f(a) = f'(a) \times a + p$, d'où $p = f(a) - f'(a)\,a$.

L'équation s'écrit donc $y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a)\,a = f'(a)(x - a) + f(a)$. $\blacksquare$

$f(x) = x^2$ en $a = 3$ : $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$ (car $\tau(h) = 6 + h$). Tangente : $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.

$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ : on choisit deux points de la tangente et on calcule $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Une tangente horizontale correspond à $f'(a) = 0$.

3. Approximation affine

Pour $h$ proche de 0 : $\quad f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$.

La fonction affine $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ (dont la courbe est la tangente) est la meilleure approximation affine de $f$ au voisinage de $a$.

$\sqrt{x}$ en $a = 1$ : on admettra que le nombre dérivé vaut $\frac12$. Donc $\sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac{h}{2}$ : $\sqrt{1{,}02} \approx 1{,}01$ (valeur exacte $1{,}00995\dots$).

$\frac{1}{x}$ en $a = 1$ : $\frac{1}{1 + h} \approx 1 - h$, d'où $\frac{1}{1{,}03} \approx 0{,}97$.

Si $C(q)$ est le coût de production de $q$ unités, le coût marginal $C(q + 1) - C(q)$ (coût de l'unité supplémentaire) est souvent approché par $C'(q)$.

4. Une fonction non dérivable

La fonction $x \mapsto |x|$ n'est pas dérivable en 0.

En effet $\dfrac{|0 + h| - |0|}{h} = \dfrac{|h|}{h}$ vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ : le taux n'a pas de limite unique. Graphiquement, la courbe a un « point anguleux » en 0 : deux demi-tangentes différentes.

5. Algorithme : pentes des sécantes

def f(x):
    return x**2

def pentes(a, pas, n):
    # coefficients directeurs des sécantes entre a et a + h, pour h = pas, pas/10, ...
    L = []
    h = pas
    for i in range(n):
        L.append((f(a + h) - f(a)) / h)
        h = h / 10
    return L

print(pentes(3, 1, 7))   # se rapproche de f'(3) = 6

Fermat cherche des tangentes et des extremums dès les années 1630. À la fin du XVII^e siècle, Newton (vitesses, « fluxions ») et Leibniz (notation $\frac{dy}{dx}$) fondent le calcul différentiel. La définition rigoureuse de la limite n'arrivera qu'au XIX^e siècle, avec Cauchy et Weierstrass.

Mini-jeux

Exercices

Soit $f(x) = 3x^2 - x$. Calculer le taux de variation entre 2 et $2 + h$, puis en déduire $f'(2)$.

$f'(2) =$

$f(2 + h) = 3(4 + 4h + h^2) - 2 - h = 10 + 11h + 3h^2$ et $f(2) = 10$. $\tau(h) = 11 + 3h \to 11$ : $f'(2) = 11$.

On sait que $f(1) = 4$ et $f'(1) = -2$. Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 1, et une valeur approchée de $f(1{,}05)$.

$y = -2(x - 1) + 4 = -2x + 6$. $\;f(1{,}05) \approx 4 - 2 \times 0{,}05 = 3{,}9$.

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(2\,;\,3)$ passe par le point $B(4\,;\,-1)$. Que vaut $f'(2)$ ?

$f'(2) = \dfrac{-1 - 3}{4 - 2} = -2$.

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ et $a \neq 0$. Montrer que $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \dfrac{-1}{a(a + h)}$. En déduire $f'(a)$ et l'équation de la tangente en $a = 2$.

$\frac{1}{a+h} - \frac1a = \frac{a - a - h}{a(a+h)} = \frac{-h}{a(a+h)}$, on divise par $h$. Quand $h \to 0$ : $f'(a) = -\frac{1}{a^2}$. En 2 : $f(2) = \frac12$, $f'(2) = -\frac14$, $y = -\frac14 x + 1$.

La position d'un mobile est $d(t) = 5t^2$ (mètres, secondes). Calculer la vitesse moyenne entre $t = 2$ et $t = 3$, puis la vitesse instantanée à $t = 2$.

Moyenne : $\frac{45 - 20}{1} = 25$ m/s. Instantanée : $\frac{5(2 + h)^2 - 20}{h} = 20 + 5h \to 20$ m/s.

Soit $f(x) = x^2$. Déterminer les tangentes à la parabole qui passent par le point $P(0\,;\,-4)$.

La tangente en $a$ : $y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2$. Elle passe par $P$ si $-a^2 = -4$, soit $a = \pm 2$ : tangentes $y = 4x - 4$ et $y = -4x - 4$.

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ et $a > 0$. En multipliant par la quantité conjuguée, montrer que $\dfrac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$ et en déduire $f'(a)$. Que se passe-t-il en $a = 0$ ?

$(\sqrt{a+h} - \sqrt a)(\sqrt{a+h} + \sqrt a) = h$. Quand $h \to 0$, on obtient $f'(a) = \frac{1}{2\sqrt a}$. En 0 : $\frac{\sqrt h}{h} = \frac{1}{\sqrt h} \to +\infty$ : pas de nombre dérivé, la tangente est verticale.