Produit scalaire

Un produit de deux vecteurs qui donne un nombre. Il mesure à quel point deux vecteurs « vont dans le même sens », et devient l'outil idéal pour les angles, les longueurs et surtout l'orthogonalité.

  • Calculer un produit scalaire de plusieurs façons
  • Utiliser bilinéarité et symétrie
  • Démontrer une orthogonalité
  • Démontrer et utiliser la formule d'Al-Kashi

Cours

1. Définitions

La norme d'un vecteur $\vec u = \overrightarrow{AB}$ est la longueur $AB$, notée $\|\vec u\|$.

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le réel $$\vec u \cdot \vec v = \frac{1}{2}\left(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\right).$$ On note $\vec u^{\,2} = \vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2$ (carré scalaire).

Si $\vec u$ et $\vec v$ sont non nuls : $\quad \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u, \vec v)$.

Avec des points : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$.

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$, qui vaut $AB \times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens, et $-AB \times AH$ sinon.

Si $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$ dans une base orthonormée : $\quad\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'\quad$ et $\quad\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Les coordonnées de $\vec u$ s'obtiennent par produits scalaires avec les vecteurs de la base : $x = \vec u \cdot \vec\imath$ et $y = \vec u \cdot \vec\jmath$.

2. Propriétés

Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ et tout réel $k$ :

  • $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$ (symétrie) ;
  • $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$ et $\vec u \cdot (k\vec v) = k(\vec u \cdot \vec v)$ (bilinéarité).

$\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2$ ; $\quad\|\vec u - \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 - 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2$ ; $\quad(\vec u + \vec v)\cdot(\vec u - \vec v) = \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2$.

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$. (Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.)

Exemple : $\vec u(3\,;\,-2)$ et $\vec v(4\,;\,6)$ : $12 - 12 = 0$, ils sont orthogonaux.

3. Formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$, en notant $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ et $\widehat{A} = \widehat{BAC}$ : $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}.$$

Avec la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Donc, en utilisant la bilinéarité (identité remarquable) : $$a^2 = BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + AB^2.$$

Or $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{A} = cb\cos\widehat A$. D'où $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$. $\blacksquare$

Si $\widehat A$ est droit, $\cos\widehat A = 0$ : on retrouve le théorème de Pythagore.

$AB = 5$, $AC = 8$, $\widehat{A} = 60°$ : $BC^2 = 64 + 25 - 2\times 8\times 5\times\frac12 = 49$, donc $BC = 7$.

Inversement, on calcule un angle : $\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

4. Lieux géométriques

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

Soit $O$ le milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA}$ et $OA = \frac{AB}{2}$. Avec Chasles : $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}) = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{OA}) = MO^2 - OA^2.$$

Donc $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 \iff MO^2 = OA^2 \iff OM = OA = \dfrac{AB}{2}$ : $M$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $\frac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. $\blacksquare$

Pour $M \neq A, B$ : l'angle $\widehat{AMB}$ est droit exactement quand $M$ est sur ce cercle (propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle, vue au collège).

Loi des sinus : dans un triangle, $\dfrac{a}{\sin\widehat A} = \dfrac{b}{\sin\widehat B} = \dfrac{c}{\sin\widehat C}$.

Al-Kashi, astronome persan du XVe siècle à Samarcande, énonce la formule sous une forme adaptée à la trigonométrie ; on l'appelle aussi « théorème de Pythagore généralisé ». Le produit scalaire moderne vient de Grassmann et Gibbs (XIXe siècle) ; en physique, le travail d'une force est $W = \vec F \cdot \overrightarrow{AB}$.

Méthodes à connaître

  1. Avec des coordonnées (repère orthonormé) : $\vec u\cdot\vec v = xx' + yy'$.
  2. Avec des longueurs et un angle : $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u, \vec v)$.
  3. Avec une projection : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$.
  4. Avec trois longueurs : $\vec u\cdot\vec v = \frac12\left(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\right)$.
  1. Choisis un vecteur directeur de chaque droite (ou les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$).
  2. Calcule leur produit scalaire.
  3. S'il est nul, les droites sont perpendiculaires.

Exemple. $\overrightarrow{AB}(3\,;\,-2)$ et $\overrightarrow{CD}(4\,;\,6)$ : $12 - 12 = 0$, donc $(AB) \perp (CD)$.

  1. Calcule le produit scalaire de deux façons (coordonnées et formule avec le cosinus).
  2. Égalise pour obtenir $\cos\theta$, puis $\theta$ à la calculatrice.
  3. Dans un triangle : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat A$ (Al-Kashi).

Exemple. Triangle avec $b = 5$, $c = 8$, $\hat A = 60°$ : $a^2 = 25 + 64 - 40 = 49$, $a = 7$.

Mini-jeux

Exercices

(a) $\|\vec u\| = 3$, $\|\vec v\| = 4$, $(\vec u, \vec v) = \frac{\pi}{3}$ : calculer $\vec u\cdot\vec v$. (b) $\vec u(2\,;\,-5)$, $\vec v(3\,;\,1)$ : calculer $\vec u\cdot\vec v$. (c) Carré $ABCD$ de côté 4 : calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

(c) :

(a) $3 \times 4 \times \frac12 = 6$. (b) $6 - 5 = 1$. (c) Le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$ : $AB \times AB = 16$.

Déterminer $m$ pour que $\vec u(m\,;\,3)$ et $\vec v(2\,;\,m - 5)$ soient orthogonaux.

$2m + 3(m - 5) = 5m - 15 = 0 \iff m = 3$.

$A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(2\,;\,5)$ dans un repère orthonormé. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ puis une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

$\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$, $\overrightarrow{AC}(1\,;\,3)$ : produit $= 6$. $AB = AC = \sqrt{10}$. $\cos\widehat{A} = \frac{6}{10} = 0{,}6$, $\widehat{A} \approx 53{,}1°$.

Un triangle a pour côtés 7, 8 et 13. Calculer la mesure de son plus grand angle.

Le plus grand angle est opposé au côté 13 : $\cos\theta = \frac{49 + 64 - 169}{2 \times 7 \times 8} = \frac{-56}{112} = -\frac12$, donc $\theta = 120°$.

On sait que $\|\vec u\| = 2$, $\|\vec v\| = 3$ et $\vec u\cdot\vec v = -1$. Calculer $(2\vec u - \vec v)\cdot(\vec u + 3\vec v)$ et $\|\vec u + \vec v\|$.

$2\|\vec u\|^2 + 6\vec u\cdot\vec v - \vec v\cdot\vec u - 3\|\vec v\|^2 = 8 - 6 + 1 - 27 = -24$. $\;\|\vec u + \vec v\|^2 = 4 - 2 + 9 = 11$, donc $\sqrt{11}$.

Soit $ABC$ un triangle, et $H$ l'intersection des hauteurs issues de $A$ et $B$. Montrer que $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$ (on écrira $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$). Conclure.

$\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{CB}$. Or $\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC} = 0$ et $\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0$. En introduisant $H$ : $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BC})\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$. La somme vaut $\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB}) = 0$. Donc $(HC) \perp (AB)$ : les trois hauteurs sont concourantes.

Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Démontrer que pour tout point $M$ : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$.

$MA^2 = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 = MI^2 + 2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA} + IA^2$, de même pour $MB^2$ avec $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$. En sommant, les doubles produits s'annulent : $2MI^2 + 2IA^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$.