Logique et raisonnements

En Première, on manipule des propositions quantifiées et on distingue précisément conditions nécessaires et suffisantes. Ces outils servent dans toutes les démonstrations de l'année.

  • Utiliser et nier des quantificateurs
  • Distinguer condition nécessaire et suffisante
  • Identifier le statut d'une égalité et d'une lettre
  • Choisir le bon type de raisonnement

Cours

1. Ensembles

$\in$, $\notin$, $\subset$, $\cap$, $\cup$, $\varnothing$, $\{\dots\}$, complémentaire $\bar A$ ou $E \setminus A$, cardinal $\mathrm{Card}(A)$, couple $(x\,;\,y)$ et produit cartésien $E \times F$. Voir la fiche de Seconde et son diagramme de Venn.

2. Quantificateurs

« Pour tout $x$ de $E$, $P(x)$ » est vraie si $P(x)$ est vraie pour chaque élément de $E$. « Il existe $x$ dans $E$ tel que $P(x)$ » est vraie si au moins un élément convient. (Symboles $\forall$ et $\exists$, non exigibles.)

  • La négation de « pour tout $x$, $P(x)$ » est « il existe $x$ tel que non $P(x)$ ».
  • La négation de « il existe $x$ tel que $P(x)$ » est « pour tout $x$, non $P(x)$ ».

Exemple : la négation de « pour tout réel $x$, $e^x > x$ » est « il existe un réel $x$ tel que $e^x \leqslant x$ ».

« Si $x > 2$, alors $x^2 > 4$ » signifie en réalité « pour tout réel $x$, si $x > 2$ alors $x^2 > 4$ ». De même, une identité comme $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ sous-entend « pour tous réels $a$ et $b$ ».

« Pour tout entier $n$, il existe un entier $m$ tel que $m > n$ » est vraie (prendre $m = n + 1$). « Il existe un entier $m$ tel que pour tout entier $n$, $m > n$ » est fausse (aucun entier n'est plus grand que tous les autres).

3. Implication, conditions nécessaires et suffisantes

Si $P \implies Q$ est vraie : $P$ est une condition suffisante pour $Q$ (il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit) ; $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ (il faut que $Q$ soit vraie pour que $P$ puisse l'être).

Si $P \iff Q$, $P$ est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour $Q$.

« Être divisible par 4 » est une condition suffisante pour « être pair », mais pas nécessaire (6 est pair). « $\Delta \geqslant 0$ » est une condition nécessaire et suffisante pour que $ax^2 + bx + c = 0$ ait au moins une solution réelle.

Réciproque de $P \implies Q$ : $Q \implies P$ (pas toujours vraie). Contraposée : non $Q \implies$ non $P$ (toujours de même valeur que l'implication).

4. Statut des égalités et des lettres

  • Une identité est vraie pour toutes les valeurs des lettres : $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
  • Une équation est vraie seulement pour certaines valeurs, qu'on cherche : $(x + 1)^2 = 4$.

Dans $f(x) = mx^2 + 1$ : $x$ est une variable ; dans l'équation $mx^2 + 1 = 0$, $x$ est l'inconnue et $m$ un paramètre (fixé mais quelconque, selon lequel on discute).

5. Raisonnements

Montrer que $n(n + 1)(2n + 1)$ est pair : si $n$ est pair, c'est clair ; si $n$ est impair, $n + 1$ est pair.

Montrer que $\sqrt 3$ est irrationnel, ou qu'il y a une infinité de nombres premiers (Euclide) : on suppose le contraire et on obtient une contradiction.

« Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair » se démontre via « si $n$ est impair alors $n^2$ est impair ».

Pour montrer que « pour tout $x$, $P(x)$ » est fausse, un seul $x$ ne vérifiant pas $P$ suffit. Exemple : « pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = x$ » est fausse ($x = -1$).

Mini-jeux

Exercices

Écrire la négation de : (a) « Pour tout réel $x$, $f(x) \leqslant 3$ » ; (b) « Il existe un entier $n$ tel que $u_n < 0$ » ; (c) « Pour tout $n$, $u_{n+1} \geqslant u_n$ ».

(a) Il existe un réel $x$ tel que $f(x) > 3$. (b) Pour tout entier $n$, $u_n \geqslant 0$. (c) Il existe $n$ tel que $u_{n+1} < u_n$ (la suite n'est pas croissante).

Dire si chaque proposition est vraie ou fausse : (a) Pour tout réel $x$, $x^2 - 2x + 1 \geqslant 0$. (b) Il existe un réel $x$ tel que $e^x = 0$. (c) Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ tel que $y > x^2$.

(a) Vrai : $(x - 1)^2 \geqslant 0$. (b) Faux : l'exponentielle est strictement positive. (c) Vrai : $y = x^2 + 1$.

Compléter par « nécessaire », « suffisante », « nécessaire et suffisante » : (a) Pour que $f'(a) = 0$, il est … que $f$ admette un extremum en $a$ (f dérivable sur un intervalle ouvert). (b) Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, il est … que leur produit scalaire soit nul.

(a) suffisante (un extremum implique $f'(a) = 0$, pas l'inverse, cf. $x^3$). (b) nécessaire et suffisante.

Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1, \dots, p_k$. On pose $N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$. Montrer que $N$ n'est divisible par aucun $p_i$ et conclure.

Si $p_i$ divisait $N$, il diviserait aussi $N - p_1\cdots p_k = 1$ : impossible. Or tout entier $N \geqslant 2$ admet au moins un diviseur premier : ce diviseur n'est pas dans la liste. Contradiction : il y a une infinité de nombres premiers.