Fonction dérivée
Plutôt que de calculer un nombre dérivé à la fois, on calcule d'un coup la fonction $x \mapsto f'(x)$. Quelques formules et quatre règles d'opérations suffisent pour dériver presque tout.
- Connaître les dérivées usuelles
- Dériver somme, produit, inverse, quotient
- Dériver $x \mapsto g(ax + b)$
- Démontrer les dérivées de $x^2$ et $\frac1x$
Cours
1. Fonction dérivée
Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$. La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est la fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$.
La fonction $f : x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x) = 2x$.
Soit $a$ un réel et $h \neq 0$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ vaut : $$\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h.$$
Quand $h$ tend vers 0, $2a + h$ tend vers $2a$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = 2a$. Ceci étant vrai pour tout réel $a$, $f'(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$. $\blacksquare$
La fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est dérivable sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$, et $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.
Soit $a \neq 0$ et $h \neq 0$ assez petit pour que $a + h$ soit non nul et de même signe que $a$.
$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \times \frac{a - (a + h)}{a(a + h)} = \frac{1}{h} \times \frac{-h}{a(a + h)} = \frac{-1}{a(a + h)}.$$
Quand $h$ tend vers 0, $a(a + h)$ tend vers $a^2$, donc le taux tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$. Ainsi $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$. $\blacksquare$
2. Dérivées des fonctions usuelles
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Dérivable sur |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $mx + p$ | $m$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^2$ | $2x$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^3$ | $3x^2$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
La fonction racine carrée est définie en 0 mais n'y est pas dérivable (tangente verticale).
3. Opérations sur les fonctions dérivables
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$ et $k$ un réel.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| $u + v$ | $u' + v'$ | |
| $ku$ | $ku'$ | |
| $uv$ | $u'v + uv'$ | |
| $\dfrac{1}{v}$ | $-\dfrac{v'}{v^2}$ | $v$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ | $v$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $x \mapsto g(ax + b)$ | $x \mapsto a\,g'(ax + b)$ | $g$ dérivable là où il faut |
Produit (idée). $\dfrac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$, qui tend vers $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ (on admet que $v(a + h) \to v(a)$).
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $(x \times x)' = 2x$ alors que $x' \times x' = 1$.
- $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ : $f'(x) = 12x^2 - 10x + 7$.
- $g(x) = (2x + 1)\sqrt{x}$ : $u = 2x + 1$, $v = \sqrt{x}$, $g'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1)\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$.
- $h(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ : $h'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{7}{(x + 2)^2}$.
- $k(x) = (5x - 3)^4$ : avec $g(X) = X^4$, $k'(x) = 5 \times 4(5x - 3)^3 = 20(5x - 3)^3$.
- $m(x) = \sqrt{2x + 6}$ : $m'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x + 6}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 6}}$.
Méthodes à connaître
- Identifie la forme : somme, produit $uv$, quotient $\frac uv$, $\frac1v$, $\sqrt u$ ou $g(ax + b)$.
- Écris $u$, $v$ et leurs dérivées à part.
- Applique la formule, puis simplifie et factorise (le signe de $f'$ servira ensuite).
Exemple. $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ : $f'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$.
- Calcule $f(a)$ et $f'(a)$.
- Écris $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
- Développe pour obtenir $y = mx + p$.
Exemple. $f(x) = x^2 - 3x$ en $a = 2$ : $f(2) = -2$, $f'(2) = 1$, tangente $y = x - 4$.
Mini-jeux
Exercices
Dériver : $f_1(x) = x^5 - 3x^2 + 1$ ; $\;f_2(x) = \frac{2}{3}x^3 + 4x$ ; $\;f_3(x) = -7$ ; $\;f_4(x) = (x - 1)(x + 1)$.
$5x^4 - 6x$ ; $\;2x^2 + 4$ ; $\;0$ ; $\;f_4(x) = x^2 - 1$ donc $2x$.
Dériver sur l'intervalle adéquat : $g_1(x) = 3\sqrt{x} - \frac{2}{x}$ ; $\;g_2(x) = x^2 + \frac{1}{x}$.
$g_1'(x) = \frac{3}{2\sqrt x} + \frac{2}{x^2}$ ; $\;g_2'(x) = 2x - \frac{1}{x^2}$.
Dériver : $\;h_1(x) = x^2\sqrt{x}$ ; $\;h_2(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ ; $\;h_3(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ ; $\;h_4(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)$.
$h_1'(x) = 2x\sqrt x + \frac{x^2}{2\sqrt x} = \frac{5}{2}x\sqrt x$. $\;h_2'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$. $\;h_3'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$. $\;h_4'(x) = 2x(3x - 2) + 3(x^2 + 1) = 9x^2 - 4x + 3$.
Dériver : $\;(1 - 2x)^3$ ; $\;\sqrt{4x + 1}$ ; $\;\dfrac{1}{3x - 5}$.
$-6(1 - 2x)^2$ ; $\;\frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$ ; $\;-\frac{3}{(3x - 5)^2}$.
Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ sur $]1\,;\,+\infty[$. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 2.
Coefficient directeur :
$f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}$. $f(2) = 5$, $f'(2) = -3$ : $y = -3x + 11$.
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$. En quels points la tangente est-elle parallèle à la droite $y = 9x$ ?
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 9 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff x = -1$ ou $x = 3$. Points $(-1\,;\,-3)$ et $(3\,;\,1)$.
En écrivant $x^3 = x \times x^2$, retrouver la dérivée de $x^3$ avec la règle du produit. Même chose pour $x^4 = x \times x^3$. Conjecturer la dérivée de $x^n$.
$(x \cdot x^2)' = x^2 + x \cdot 2x = 3x^2$. $(x \cdot x^3)' = x^3 + x \cdot 3x^2 = 4x^3$. Conjecture : $(x^n)' = nx^{n-1}$ (qu'on démontre par récurrence en Terminale).