✎ Les méthodes à connaître — Maths complémentaires

1. Repère ce qui se passe d'une étape à la suivante : « augmente de 200 € » (on ajoute) ou « augmente de 3 % » (on multiplie par $1{,}03$).
2. Écris la relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n + 200$ ou $u_{n+1} = 1{,}03\,u_n$.
3. Conclus : suite arithmétique de raison 200, ou géométrique de raison $1{,}03$ ; donne la formule explicite.

Une baisse de $t$ % correspond à la raison $q = 1 - \frac{t}{100}$ : une baisse de 15 % donne $q = 0{,}85$.

1. Solution constante : on cherche $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$, soit $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$.
2. Suite auxiliaire : on pose $v_n = u_n - \ell$. Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - (a\ell + b) = a(u_n - \ell) = a\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
3. Formule explicite : $v_n = v_0\,a^n$, donc $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$.
4. Limite : si $0 < a < 1$, $a^n \to 0$ donc $u_n \to \ell$ : la suite se stabilise autour de l'équilibre $\ell$.

On calcule les termes les uns après les autres tant que la condition n'est pas remplie, en comptant les étapes :

def seuil():
    u = 2000
    n = 0
    while u < 4900:          # on s'arrête dès que u ≥ 4900
        u = 0.9 * u + 500
        n = n + 1
    return n

Avec le logarithme (chapitre suivant), on peut aussi résoudre $5000 - 3000\times0{,}9^n \geqslant 4900 \iff 0{,}9^n \leqslant \frac{1}{30}$ par le calcul.

1. Repère le terme qui « l'emporte » en $+\infty$ (la plus haute puissance de $x$).
2. Mets-le en facteur, au numérateur et au dénominateur.
3. Simplifie, puis utilise $\frac{1}{x} \to 0$.

$\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3x} = \dfrac{x^2\left(2 + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac3x\right)} = \dfrac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac3x} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \dfrac{2}{1} = 2$.

1. Étudie les variations de $f$ (dérivée) et dresse son tableau de variations.
2. Sur un intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, vérifie que $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes.
3. Conclus : « d'après le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle ».
4. Encadre $\alpha$ à la calculatrice (tableau de valeurs), par balayage ou par dichotomie.

1. Identifie la forme générale : somme, produit, quotient, $\mathrm{e}^u$, $\ln u$, $u^2$ ?
2. Nomme les morceaux ($u = \dots$, $v = \dots$) et calcule leurs dérivées à part.
3. Applique la formule, puis factorise le résultat : c'est lui qui servira à étudier le signe.

$f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ : produit avec $u = x$, $v = \mathrm{e}^{-x}$, $u' = 1$, $v' = -\mathrm{e}^{-x}$. $\;f'(x) = \mathrm{e}^{-x} - x\,\mathrm{e}^{-x} = (1 - x)\,\mathrm{e}^{-x}$, du signe de $1 - x$ car $\mathrm{e}^{-x} > 0$.

1. Calcule $f'$, puis $f'' = (f')'$.
2. Étudie le signe de $f''$ (tableau de signes).
3. $f'' \geqslant 0$ : convexe ; $f'' \leqslant 0$ : concave ; changement de signe : point d'inflexion.

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ : $f'(x) = 3x^2 - 12x$, $f''(x) = 6x - 12$, négatif pour $x < 2$, positif pour $x > 2$. $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,2]$, convexe sur $[2\,;\,+\infty[$ ; le point $(2\,;\,-11)$ est un point d'inflexion.

1. Décompose les nombres en produits de facteurs simples : $72 = 8\times9 = 2^3\times3^2$.
2. Transforme produits en sommes, quotients en différences, puissances en coefficients.

$\ln 72 = 3\ln 2 + 2\ln 3$ ; $\;\ln\dfrac{\mathrm{e}^2}{\sqrt{\mathrm{e}}} = 2 - \dfrac12 = \dfrac32$ ; $\;\ln 0{,}001 = \ln 10^{-3} = -3\ln 10$.

1. Détermine les valeurs autorisées (ce qui est dans un $\ln$ doit être strictement positif).
2. Isole l'exponentielle ou le logarithme.
3. Applique $\ln$ (ou $\exp$) aux deux membres : le sens d'une inégalité est conservé car ces fonctions sont croissantes.
4. Vérifie que les solutions trouvées sont autorisées.

$\mathrm{e}^{2x} = 7 \iff 2x = \ln 7 \iff x = \frac{\ln 7}{2}$. $\quad\ln(x - 1) < 2$ : il faut $x > 1$, puis $x - 1 < \mathrm{e}^2$, soit $x \in \left]1\,;\,1 + \mathrm{e}^2\right[$.

1. Applique $\ln$ : $\;q^n \geqslant A \iff n\ln q \geqslant \ln A$.
2. Divise par $\ln q$ : si $q < 1$, alors $\ln q < 0$ et le sens de l'inégalité change.
3. Conclus avec le premier entier qui convient.

Un capital placé à 4 % double quand $1{,}04^n \geqslant 2 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7$ : au bout de 18 ans. Il reste moins de 1 % d'un produit qui perd 30 % par heure quand $0{,}7^n < 0{,}01 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}7} \approx 12{,}9$ : après 13 heures.

1. Calcule $f'(x)$.
2. Calcule séparément les deux membres de l'équation en remplaçant $y$ par $f(x)$ et $y'$ par $f'(x)$.
3. Vérifie qu'ils sont égaux pour tout $x$.

$f(x) = 3\mathrm{e}^{2x} - 1$ est-elle solution de $y' = 2y + 2$ ? $\;f'(x) = 6\mathrm{e}^{2x}$ et $2f(x) + 2 = 6\mathrm{e}^{2x} - 2 + 2 = 6\mathrm{e}^{2x}$ : oui.

1. Repère une fonction $u$ dont la dérivée $u'$ apparaît (à une constante près) dans l'expression.
2. Ajuste la constante : $f = u'\mathrm{e}^u$ a pour primitive $\mathrm{e}^u$ ; $\;f = \frac{u'}{u}$ (avec $u > 0$) a pour primitive $\ln u$ ; $\;f = 2u'u$ a pour primitive $u^2$.
3. Vérifie en dérivant !

$f(x) = x\,\mathrm{e}^{x^2}$ : avec $u = x^2$, $u' = 2x$, $f = \frac12 u'\mathrm{e}^u$ : $F(x) = \frac12\mathrm{e}^{x^2}$. $\quad g(x) = \dfrac{3}{3x + 1}$ sur $]-\frac13\,;\,+\infty[$ : $G(x) = \ln(3x + 1)$.

1. Solution particulière constante : $y = c$ vérifie $0 = ac + b$, soit $c = -\dfrac ba$.
2. Solution générale : $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac ba$, $C$ réel (on ajoute les solutions de $y' = ay$).
3. Condition initiale : on détermine $C$ avec la valeur donnée, par exemple $y(0)$.

$y' = -0{,}5y + 10$, $y(0) = 4$ : constante $c = 20$ ; $y(x) = C\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 20$ ; $y(0) = C + 20 = 4$ donc $C = -16$ : $y(x) = 20 - 16\mathrm{e}^{-0{,}5x}$, qui tend vers 20.

Pour $y' = F(y)$ avec $y(0) = y_0$ et un pas $h$ petit : $y(x + h) \approx y(x) + h\,y'(x) = y(x) + h\,F(y(x))$. On construit ainsi, de proche en proche, une suite de points proches de la courbe solution : c'est le lien entre modèle continu (équation différentielle) et modèle discret (suite récurrente).

1. Découpe $[a\,;\,b]$ en $n$ intervalles de même largeur $h = \dfrac{b - a}{n}$.
2. Sur chacun, construis un rectangle de hauteur $f(x_i)$ ($x_i = a + ih$, extrémité gauche).
3. La somme $S_n = h\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$ approche l'intégrale, d'autant mieux que $n$ est grand.

Pour une fonction croissante, les rectangles « à gauche » sont en dessous de la courbe et ceux « à droite » au-dessus : on obtient un encadrement.

1. Trouve une primitive $F$ de $f$ (et vérifie-la en dérivant).
2. Écris $\big[F(x)\big]_a^b$, puis calcule $F(b) - F(a)$ avec des parenthèses.

$\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = \big[x^2 + x\big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$. $\quad\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \big[\mathrm{e}^x\big]_0^1 = \mathrm{e} - 1$.

Si $f \geqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire du domaine entre les deux courbes est $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x$. Étapes : chercher les points d'intersection, déterminer quelle courbe est au-dessus (signe de $f - g$), intégrer la différence.

On tire au hasard $N$ points dans un rectangle d'aire $\mathcal{R}$ contenant le domaine. Si $k$ points tombent sous la courbe, l'aire est estimée par $\dfrac{k}{N}\times\mathcal{R}$ (loi des grands nombres). Précision de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt N}$ : lente, mais valable même quand on ne connaît pas de primitive.

1. Identifie l'épreuve répétée et ce qu'on appelle « succès » ; donne $p$.
2. Vérifie que les répétitions sont identiques et indépendantes (tirages avec remise, ou population très grande), et donne leur nombre $n$.
3. Conclus : « $X$, qui compte le nombre de succès, suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ ».
4. Calcule : $P(X = k)$ avec la formule ; $P(X \leqslant k)$ ou $P(X \geqslant k)$ à la calculatrice ; « au moins un succès » : $1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$.

On lance 100 fois une pièce censée être équilibrée : $X$ suit $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$. À la calculatrice, $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0{,}965 \geqslant 0{,}95$. Si l'on obtient 70 « pile », on est hors de cet intervalle : on rejette l'hypothèse « pièce équilibrée » avec un risque d'erreur inférieur à 5 %.

1. Vérifie que $f$ est continue et positive sur $I$.
2. Calcule l'intégrale sur $I$ (avec une primitive) et vérifie qu'elle vaut 1.

Exemple : $f(t) = \frac32 t^2$ sur $[-1\,;\,1]$. $f$ est continue et positive, et $\int_{-1}^1 \frac32t^2\,\mathrm{d}t = \big[\frac{t^3}{2}\big]_{-1}^1 = \frac12 + \frac12 = 1$ : c'est bien une densité.

1. Si on connaît la durée moyenne $E(X) = m$, alors $\lambda = \dfrac1m$.
2. Probabilité de durer plus de $x$ : $\mathrm{e}^{-\lambda x}$ ; moins de $x$ : $1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}$ ; entre $c$ et $d$ : $\mathrm{e}^{-\lambda c} - \mathrm{e}^{-\lambda d}$.
3. Pour trouver $x$ tel que $P(X \leqslant x) = \alpha$ : $1 - \mathrm{e}^{-\lambda x} = \alpha \iff x = -\dfrac{\ln(1 - \alpha)}{\lambda}$.

Demi-vie d'un noyau radioactif : la durée $x$ telle que $P(X \leqslant x) = \frac12$, soit $x = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.

• random() simule la loi uniforme sur $[0\,;\,1]$ ; a + (b - a)*random() la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$.
• Bernoulli : 1 if random() < p else 0 ; dé : int(6*random()) + 1.
• Exponentielle : si $U$ suit la loi uniforme sur $]0\,;\,1]$, alors $X = -\dfrac{\ln U}{\lambda}$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Vérifie que l'ajustement est pertinent (nuage allongé, $|r|$ proche de 1).
2. Remplace $x$ par la valeur voulue dans l'équation de la droite.
3. Distingue : interpolation ($x$ dans l'étendue des données, estimation fiable) et extrapolation ($x$ en dehors : on suppose que la tendance continue, ce qui est risqué).

Si le nuage a une allure exponentielle (croissance de plus en plus rapide), on pose $z = \ln y$ : si $z \approx ax + b$, alors $y \approx \mathrm{e}^{ax + b} = \mathrm{e}^b\times(\mathrm{e}^{a})^x$, un modèle exponentiel. C'est le cas de la loi de Moore (nombre de transistors doublant tous les deux ans environ). Autres changements possibles : $z = y^2$, $z = \frac1y$, $t = \ln x$…