Fonction logarithme népérien

Le logarithme « défait » l'exponentielle et transforme les produits en sommes. C'est l'outil idéal pour résoudre $q^n \geqslant A$ : au bout de combien d'années un capital double-t-il ? quand la moitié des noyaux radioactifs a-t-elle disparu ?

  • Définir ln comme réciproque de exp
  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b
  • Résoudre des équations et des inéquations
  • Déterminer un seuil avec ln(qⁿ) = n ln q

Cours

1. Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]0\,;\,+\infty[$. Pour tout réel $x > 0$, l'équation $\mathrm{e}^y = x$ a donc une unique solution, notée $\ln x$. La fonction $\ln$, définie sur $]0\,;\,+\infty[$, est la réciproque de la fonction exponentielle :

$$\text{pour } x > 0 \text{ et } y \in \mathbb{R} :\quad y = \ln x \iff x = \mathrm{e}^y.$$

$\ln 1 = 0$ ; $\;\ln\mathrm{e} = 1$ ; $\;\mathrm{e}^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ ; $\;\ln(\mathrm{e}^x) = x$ pour tout réel $x$. Les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

2. Équation fonctionnelle

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\;\ln(ab) = \ln a + \ln b\;$ et $\;\ln\left(\dfrac1a\right) = -\ln a$.

Produit. $\mathrm{e}^{\ln(ab)} = ab$ et $\mathrm{e}^{\ln a + \ln b} = \mathrm{e}^{\ln a}\times\mathrm{e}^{\ln b} = ab$. Les deux nombres $\ln(ab)$ et $\ln a + \ln b$ ont la même exponentielle ; comme l'exponentielle est strictement croissante, ils sont égaux.

Inverse. On applique la formule précédente à $a$ et $\frac1a$ : $\ln a + \ln\frac1a = \ln\left(a\times\frac1a\right) = \ln 1 = 0$, donc $\ln\frac1a = -\ln a$. $\blacksquare$

Pour $a, b > 0$ et $n$ entier : $\;\ln\dfrac ab = \ln a - \ln b$ ; $\;\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\;\ln\sqrt a = \dfrac12\ln a$.

  1. Décompose les nombres en produits de facteurs simples : $72 = 8\times9 = 2^3\times3^2$.
  2. Transforme produits en sommes, quotients en différences, puissances en coefficients.

$\ln 72 = 3\ln 2 + 2\ln 3$ ; $\;\ln\dfrac{\mathrm{e}^2}{\sqrt{\mathrm{e}}} = 2 - \dfrac12 = \dfrac32$ ; $\;\ln 0{,}001 = \ln 10^{-3} = -3\ln 10$.

3. Équations, inéquations, seuils

Pour $a, b > 0$ : $\;\ln a = \ln b \iff a = b\;$ et $\;\ln a < \ln b \iff a < b$. En particulier $\ln x > 0 \iff x > 1$ et $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$.

  1. Détermine les valeurs autorisées (ce qui est dans un $\ln$ doit être strictement positif).
  2. Isole l'exponentielle ou le logarithme.
  3. Applique $\ln$ (ou $\exp$) aux deux membres : le sens d'une inégalité est conservé car ces fonctions sont croissantes.
  4. Vérifie que les solutions trouvées sont autorisées.

$\mathrm{e}^{2x} = 7 \iff 2x = \ln 7 \iff x = \frac{\ln 7}{2}$. $\quad\ln(x - 1) < 2$ : il faut $x > 1$, puis $x - 1 < \mathrm{e}^2$, soit $x \in \left]1\,;\,1 + \mathrm{e}^2\right[$.

  1. Applique $\ln$ : $\;q^n \geqslant A \iff n\ln q \geqslant \ln A$.
  2. Divise par $\ln q$ : si $q < 1$, alors $\ln q < 0$ et le sens de l'inégalité change.
  3. Conclus avec le premier entier qui convient.

Un capital placé à 4 % double quand $1{,}04^n \geqslant 2 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7$ : au bout de 18 ans. Il reste moins de 1 % d'un produit qui perd 30 % par heure quand $0{,}7^n < 0{,}01 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}7} \approx 12{,}9$ : après 13 heures.

4. Étude de la fonction ln

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac1x$.

On admet que $\ln$ est dérivable. Pour tout $x > 0$, on a $\mathrm{e}^{\ln x} = x$. On dérive les deux membres, avec $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$ : $\;\ln'(x)\times\mathrm{e}^{\ln x} = 1$, c'est-à-dire $\ln'(x)\times x = 1$. Comme $x \neq 0$ : $\ln'(x) = \dfrac1x$. $\blacksquare$

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.

Posons $f = \ln u$ (on admet qu'elle est dérivable). Pour tout $x \in I$, $\mathrm{e}^{f(x)} = u(x)$. En dérivant : $f'(x)\,\mathrm{e}^{f(x)} = u'(x)$, soit $f'(x)\,u(x) = u'(x)$. Comme $u(x) > 0$ : $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$. $\blacksquare$

  • $\ln'(x) = \frac1x > 0$ : $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
  • $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x = -\infty$ (asymptote verticale $x = 0$) et $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x = +\infty$, mais très lentement : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$.
  • $\ln''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ : $\ln$ est concave ; sa tangente en 1 est $y = x - 1$.

5. Approche historique

Au XVIe siècle, les astronomes et les navigateurs font d'énormes calculs. L'idée, déjà chez Archimède puis chez Stifel : mettre en regard une suite géométrique (1, 2, 4, 8, 16…) et une suite arithmétique (0, 1, 2, 3, 4…). Multiplier deux termes de la première revient à additionner leurs rangs dans la seconde. John Napier (Neper) publie en 1614 ses tables de logarithmes, Henry Briggs les logarithmes décimaux (1617). Plus tard, Grégoire de Saint-Vincent et Sarasa remarquent que l'aire sous l'hyperbole $y = \frac1x$ entre 1 et $x$ vérifie la même propriété : c'est $\ln x$ !

from math import log

def briggs(a, n):
    x = a
    for i in range(n):
        x = x ** 0.5          # n racines carrées : x devient très proche de 1
    return 2 ** n * (x - 1)   # ln(a) = 2^n ln(x) et ln(x) ≈ x - 1

for n in [5, 10, 20]:
    print(n, briggs(2, n))
print("valeur exacte :", log(2))

Mini-jeux

Exercices

Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 5$ : $\ln 20$ ; $\;\ln 0{,}4$ ; $\;\ln\sqrt{50}$ ; $\;\ln 1\,000$.

$\ln 20 = 2\ln 2 + \ln 5$ ; $\;\ln 0{,}4 = \ln\frac25 = \ln 2 - \ln 5$ ; $\;\ln\sqrt{50} = \frac12(\ln 2 + 2\ln 5)$ ; $\;\ln 1\,000 = 3\ln 10 = 3\ln 2 + 3\ln 5$.

Résoudre : $\mathrm{e}^{x} = 12$ ; $\;\ln x = 3$ ; $\;\mathrm{e}^{-0{,}5x} = 0{,}2$ ; $\;\ln(2x + 1) = 0$.

$x = \ln 12$ ; $\;x = \mathrm{e}^3$ ; $\;-0{,}5x = \ln 0{,}2$, $x = -2\ln 0{,}2 = 2\ln 5$ ; $\;2x + 1 = 1$, $x = 0$ (et $2x + 1 > 0$ ✓).

Une population de bactéries augmente de 12 % par heure. Au bout de combien d'heures (entier) a-t-elle doublé ?

Réponse : heures

$1{,}12^n \geqslant 2 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}12} \approx 6{,}1$ : 7 heures.

La quantité de carbone 14 d'un organisme mort est divisée par 2 tous les 5 730 ans : $N(t) = N_0\times0{,}5^{t/5730}$. Un os ne contient plus que 20 % du carbone 14 initial. Quel est son âge ?

$0{,}5^{t/5730} = 0{,}2 \iff \dfrac{t}{5730}\ln 0{,}5 = \ln 0{,}2 \iff t = 5730\times\dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}5} \approx 13\,300$ ans.

Étudier sur $]0\,;\,+\infty[$ la fonction $f(x) = x - \ln x$ : dérivée, variations, minimum. En déduire que $\ln x < x$ pour tout $x > 0$.

$f'(x) = 1 - \frac1x = \frac{x - 1}{x}$ : négatif sur $]0\,;\,1]$, positif ensuite. Minimum $f(1) = 1 > 0$. Donc $f(x) > 0$, c'est-à-dire $\ln x < x$.

Le niveau sonore est $L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, où $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ est le logarithme décimal. De combien de décibels le niveau augmente-t-il quand l'intensité $I$ est multipliée par 2 ? par 100 ?

$10\log(2I/I_0) = 10\log 2 + 10\log(I/I_0)$ : on ajoute $10\log 2 \approx 3$ dB. Pour 100 : on ajoute $10\log 100 = 20$ dB. Deux enceintes au lieu d'une ne font « que » 3 dB de plus !