Suites et modèles discrets

Un capital qui rapporte des intérêts chaque année, un médicament éliminé heure après heure, une population recensée tous les ans : quand une grandeur évolue par étapes, on la modélise par une suite. La question clé : que se passe-t-il à long terme ?

  • Modéliser une situation par une suite
  • Déterminer la limite d'une suite géométrique
  • Calculer la limite d'une somme géométrique
  • Étudier une suite arithmético-géométrique

Cours

1. Rappels : suites arithmétiques et géométriques

  • Suite arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$, et $u_n = u_0 + nr$. On ajoute toujours la même quantité : croissance linéaire.
  • Suite géométrique de raison $q$ : $u_{n+1} = q\,u_n$, et $u_n = u_0\,q^n$. On multiplie toujours par le même nombre : croissance (ou décroissance) exponentielle.
  1. Repère ce qui se passe d'une étape à la suivante : « augmente de 200 € » (on ajoute) ou « augmente de 3 % » (on multiplie par $1{,}03$).
  2. Écris la relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n + 200$ ou $u_{n+1} = 1{,}03\,u_n$.
  3. Conclus : suite arithmétique de raison 200, ou géométrique de raison $1{,}03$ ; donne la formule explicite.

Une baisse de $t$ % correspond à la raison $q = 1 - \frac{t}{100}$ : une baisse de 15 % donne $q = 0{,}85$.

Pour $q \neq 1$ : $\;1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, donc $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

2. Limite d'une suite : une approche intuitive

  • $(u_n)$ a pour limite le réel $\ell$ si les termes $u_n$ finissent par être aussi proches de $\ell$ que l'on veut, à partir d'un certain rang. On note $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ : la suite converge.
  • $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ si les termes finissent par dépasser n'importe quel nombre fixé à l'avance.
  • Les limites se comportent « comme on l'attend » pour la somme, le produit et le quotient, sauf dans les formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac00$.
  • Passage à la limite dans une inégalité : si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors $\lim u_n \leqslant \lim v_n$.
  • Théorème des gendarmes : si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ ont la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

3. Limite d'une suite géométrique

  • Si $0 < q < 1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = 0$.
  • Si $q = 1$ : $q^n = 1$ pour tout $n$.
  • Si $q > 1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = +\infty$.

Pour $u_n = u_0\,q^n$ avec $u_0 > 0$ : la suite tend vers 0 si $0 < q < 1$, vers $+\infty$ si $q > 1$.

Un médicament : il reste chaque heure 80 % de la dose de l'heure précédente, $d_n = 100 \times 0{,}8^n$ mg. Comme $0 < 0{,}8 < 1$, $\lim d_n = 0$ : le médicament finit par être éliminé.

4. Limite de la somme des termes d'une suite géométrique

Si $0 < q < 1$, alors $\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1 + q + q^2 + \dots + q^n\right) = \dfrac{1}{1 - q}$.

Pour tout entier $n$, $S_n = 1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Comme $0 < q < 1$, $\lim\limits_{n\to+\infty} q^{n+1} = 0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1 - q^{n+1}\right) = 1$.

En divisant par le nombre $1 - q$ (non nul, indépendant de $n$) : $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \dfrac{1}{1 - q}$. $\blacksquare$

Pour parcourir 1 km, on fait d'abord la moitié, puis la moitié du reste, etc. : $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots = \frac12\left(1 + \frac12 + \frac14 + \dots\right) = \frac12 \times \dfrac{1}{1 - \frac12} = 1$. Une infinité d'étapes, mais une distance finie !

5. Suites arithmético-géométriques

Une suite vérifiant $u_{n+1} = a\,u_n + b$ (avec $a \neq 1$) est dite arithmético-géométrique. Exemples : une population qui baisse de 10 % par an mais reçoit 500 nouveaux habitants ($u_{n+1} = 0{,}9u_n + 500$) ; un compte rémunéré à 2 % sur lequel on verse 100 € par an.

  1. Solution constante : on cherche $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$, soit $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$.
  2. Suite auxiliaire : on pose $v_n = u_n - \ell$. Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - (a\ell + b) = a(u_n - \ell) = a\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
  3. Formule explicite : $v_n = v_0\,a^n$, donc $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$.
  4. Limite : si $0 < a < 1$, $a^n \to 0$ donc $u_n \to \ell$ : la suite se stabilise autour de l'équilibre $\ell$.

$u_0 = 2\,000$ et $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 500$. Équilibre : $\ell = 0{,}9\ell + 500 \iff \ell = 5\,000$. Donc $u_n = 5\,000 + (2\,000 - 5\,000)\times 0{,}9^n = 5\,000 - 3\,000\times 0{,}9^n$, qui tend vers 5 000.

6. Algorithme de seuil

On calcule les termes les uns après les autres tant que la condition n'est pas remplie, en comptant les étapes :

def seuil():
    u = 2000
    n = 0
    while u < 4900:          # on s'arrête dès que u ≥ 4900
        u = 0.9 * u + 500
        n = n + 1
    return n

Avec le logarithme (chapitre suivant), on peut aussi résoudre $5000 - 3000\times0{,}9^n \geqslant 4900 \iff 0{,}9^n \leqslant \frac{1}{30}$ par le calcul.

def seuil(cible):
    u = 2000
    n = 0
    while u < cible:
        u = 0.9 * u + 500
        n = n + 1
    return n

print(seuil(4900))
print(seuil(4990))

Mini-jeux

Exercices

Pour chaque situation, écrire la relation de récurrence et préciser la nature de la suite : (a) un loyer de 600 € augmente de 12 € par an ; (b) une voiture de 20 000 € perd 15 % de sa valeur chaque année ; (c) un lac contient 10 000 truites, 20 % meurent chaque année et on en réintroduit 1 000.

(a) $u_{n+1} = u_n + 12$ : arithmétique de raison 12. (b) $v_{n+1} = 0{,}85\,v_n$ : géométrique de raison $0{,}85$. (c) $w_{n+1} = 0{,}8\,w_n + 1\,000$ : arithmético-géométrique.

Déterminer la limite de : $a_n = 3 \times 0{,}7^n$ ; $\;b_n = 5 - 2\times 1{,}1^n$ ; $\;c_n = 1 + 0{,}5 + 0{,}5^2 + \dots + 0{,}5^n$.

Limite de $c_n$ :

$0{,}7^n \to 0$ donc $a_n \to 0$. $\;1{,}1^n \to +\infty$ donc $b_n \to -\infty$. $\;c_n \to \dfrac{1}{1 - 0{,}5} = 2$.

On écrit $x = 0{,}333\dots = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \dots$ Montrer que $x = \frac13$. Même question pour $0{,}999\dots$

$x = 0{,}3\left(1 + 0{,}1 + 0{,}1^2 + \dots\right) = 0{,}3 \times \dfrac{1}{1 - 0{,}1} = \dfrac{0{,}3}{0{,}9} = \dfrac13$. De même $0{,}999\dots = 0{,}9 \times \dfrac{1}{0{,}9} = 1$ : $0{,}999\dots$ et 1 sont le même nombre !

Léa place 1 000 € à 2 % par an et ajoute 300 € à la fin de chaque année : $u_0 = 1\,000$, $u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 300$.

  1. Déterminer la solution constante $\ell$ de $\ell = 1{,}02\,\ell + 300$.
  2. Montrer que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique ; en déduire $u_n$.
  3. Quelle est la limite de $(u_n)$ ?
  1. $-0{,}02\,\ell = 300$ donc $\ell = -15\,000$ (une valeur négative, sans sens concret, mais utile pour le calcul).
  2. $v_{n+1} = 1{,}02u_n + 300 + 15\,000 = 1{,}02(u_n + 15\,000) = 1{,}02\,v_n$ ; $v_0 = 16\,000$, donc $u_n = 16\,000\times1{,}02^n - 15\,000$.
  3. $1{,}02^n \to +\infty$, donc $u_n \to +\infty$ : l'épargne grandit sans limite.

Un patient reçoit 10 mg d'un médicament, puis 10 mg chaque jour ; entre deux prises, l'organisme élimine 40 % de la quantité présente. On note $q_n$ la quantité (en mg) juste après la $(n+1)$-ième prise : $q_0 = 10$ et $q_{n+1} = 0{,}6\,q_n + 10$.

Vers quelle quantité le traitement se stabilise-t-il (en mg) ?

Équilibre : $\ell = 0{,}6\ell + 10 \iff 0{,}4\ell = 10 \iff \ell = 25$. On a $q_n = 25 - 15\times0{,}6^n \to 25$ mg.

On part d'un triangle équilatéral de périmètre 3. À chaque étape, chaque segment est remplacé par 4 segments trois fois plus petits. Montrer que le périmètre tend vers $+\infty$, alors que l'aire reste finie (à l'étape $n \geqslant 1$, on ajoute $3\times4^{n-1}$ petits triangles, chacun d'aire $\frac{\mathcal{A}_0}{9^n}$, où $\mathcal{A}_0$ est l'aire du triangle de départ).

Le périmètre est multiplié par $\frac43$ à chaque étape : $p_n = 3\left(\frac43\right)^n \to +\infty$. L'aire ajoutée à l'étape $n$ vaut $3\times4^{n-1}\times\frac{\mathcal{A}_0}{9^n} = \frac{\mathcal{A}_0}{3}\left(\frac49\right)^{n-1}$. L'aire totale vaut donc $\mathcal{A}_0 + \frac{\mathcal{A}_0}{3}\left(1 + \frac49 + \left(\frac49\right)^2 + \dots\right)$, qui tend vers $\mathcal{A}_0\left(1 + \frac13\times\frac{1}{1 - \frac49}\right) = \mathcal{A}_0\left(1 + \frac35\right) = \frac{8}{5}\mathcal{A}_0$ : l'aire est finie.