Primitives et équations différentielles

Connaissant la vitesse à chaque instant, peut-on retrouver la position ? Connaissant le rythme de croissance d'une population, peut-on prévoir son effectif ? Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée.

  • Vérifier qu'une fonction est solution
  • Calculer des primitives
  • Résoudre y' = ay et y' = ay + b
  • Utiliser une condition initiale

Cours

1. Équations différentielles

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$ (par exemple $y' = 2y$). Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ dérivable sur $I$ qui vérifie l'égalité pour tout $x \in I$.

  1. Calcule $f'(x)$.
  2. Calcule séparément les deux membres de l'équation en remplaçant $y$ par $f(x)$ et $y'$ par $f'(x)$.
  3. Vérifie qu'ils sont égaux pour tout $x$.

$f(x) = 3\mathrm{e}^{2x} - 1$ est-elle solution de $y' = 2y + 2$ ? $\;f'(x) = 6\mathrm{e}^{2x}$ et $2f(x) + 2 = 6\mathrm{e}^{2x} - 2 + 2 = 6\mathrm{e}^{2x}$ : oui.

2. Primitives : l'équation y' = f

Une primitive d'une fonction $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$ : c'est une solution de l'équation différentielle $y' = f$. On admet que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ sur un intervalle $I$, alors il existe une constante $k$ telle que $G = F + k$ sur $I$.

La fonction $H = G - F$ est dérivable sur $I$ et $H' = G' - F' = f - f = 0$. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (ses variations : ni croissante strictement, ni décroissante strictement ; on l'admet). Donc $H = k$ et $G = F + k$. $\blacksquare$

Réciproquement, $F + k$ est une primitive de $f$ pour tout réel $k$. Il y a donc une infinité de primitives, et une seule prend une valeur donnée en un point donné.

$f(x)$une primitive $F(x)$intervalle
$k$ (constante)$kx$$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \geqslant 0$)$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$$\mathbb{R}$
$\dfrac1{x^2}$$-\dfrac1x$$]0\,;\,+\infty[$ ou $]-\infty\,;\,0[$
$\dfrac{1}{\sqrt x}$$2\sqrt x$$]0\,;\,+\infty[$
$\dfrac1x$$\ln x$$]0\,;\,+\infty[$
$\mathrm{e}^{x}$$\mathrm{e}^{x}$$\mathbb{R}$
$\mathrm{e}^{ax}$ ($a \neq 0$)$\dfrac1a\mathrm{e}^{ax}$$\mathbb{R}$
  1. Repère une fonction $u$ dont la dérivée $u'$ apparaît (à une constante près) dans l'expression.
  2. Ajuste la constante : $f = u'\mathrm{e}^u$ a pour primitive $\mathrm{e}^u$ ; $\;f = \frac{u'}{u}$ (avec $u > 0$) a pour primitive $\ln u$ ; $\;f = 2u'u$ a pour primitive $u^2$.
  3. Vérifie en dérivant !

$f(x) = x\,\mathrm{e}^{x^2}$ : avec $u = x^2$, $u' = 2x$, $f = \frac12 u'\mathrm{e}^u$ : $F(x) = \frac12\mathrm{e}^{x^2}$. $\quad g(x) = \dfrac{3}{3x + 1}$ sur $]-\frac13\,;\,+\infty[$ : $G(x) = \ln(3x + 1)$.

3. L'équation y' = ay

Soit $a$ un réel. Les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$, où $C$ est un réel quelconque.

Ces fonctions sont solutions : si $f(x) = C\mathrm{e}^{ax}$, alors $f'(x) = aC\mathrm{e}^{ax} = a f(x)$.

Ce sont les seules : soit $f$ une solution. Posons $g(x) = f(x)\,\mathrm{e}^{-ax}$. Alors $g'(x) = f'(x)\mathrm{e}^{-ax} - a f(x)\mathrm{e}^{-ax} = \big(f'(x) - a f(x)\big)\mathrm{e}^{-ax} = 0$. Donc $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ : $g(x) = C$, et $f(x) = C\mathrm{e}^{ax}$. $\blacksquare$

Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution de $y' = ay$ telle que $y(x_0) = y_0$. En particulier, la solution telle que $y(0) = y_0$ est $x \mapsto y_0\,\mathrm{e}^{ax}$.

Le nombre de noyaux vérifie $N'(t) = -\lambda N(t)$ : la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre de noyaux. Donc $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$. C'est le pendant continu de la suite géométrique $N_{n+1} = qN_n$.

4. L'équation y' = ay + b

  1. Solution particulière constante : $y = c$ vérifie $0 = ac + b$, soit $c = -\dfrac ba$.
  2. Solution générale : $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac ba$, $C$ réel (on ajoute les solutions de $y' = ay$).
  3. Condition initiale : on détermine $C$ avec la valeur donnée, par exemple $y(0)$.

$y' = -0{,}5y + 10$, $y(0) = 4$ : constante $c = 20$ ; $y(x) = C\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 20$ ; $y(0) = C + 20 = 4$ donc $C = -16$ : $y(x) = 20 - 16\mathrm{e}^{-0{,}5x}$, qui tend vers 20.

Un café à 80 °C refroidit dans une pièce à 20 °C : $\theta'(t) = -k(\theta(t) - 20)$, soit $\theta' = -k\theta + 20k$. La solution est $\theta(t) = 20 + 60\,\mathrm{e}^{-kt}$ : la température tend vers celle de la pièce. Même allure pour la charge d'un condensateur ou la vitesse d'un parachutiste.

5. Méthode d'Euler

Pour $y' = F(y)$ avec $y(0) = y_0$ et un pas $h$ petit : $y(x + h) \approx y(x) + h\,y'(x) = y(x) + h\,F(y(x))$. On construit ainsi, de proche en proche, une suite de points proches de la courbe solution : c'est le lien entre modèle continu (équation différentielle) et modèle discret (suite récurrente).

from math import exp

def euler(h, xmax):
    x, y = 0, 4
    while x < xmax - 1e-9:
        y = y + h * (-0.5 * y + 10)   # y' = -0,5y + 10
        x = x + h
    return y

for h in [1, 0.5, 0.1, 0.01]:
    print(h, euler(h, 3))
print("exact :", 20 - 16 * exp(-0.5 * 3))

Mini-jeux

Exercices

Déterminer une primitive de : $f_1(x) = 4x^3 - 2x + 5$ ; $\;f_2(x) = \mathrm{e}^{-3x}$ ; $\;f_3(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; $\;f_4(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

$F_1(x) = x^4 - x^2 + 5x$ ; $\;F_2(x) = -\frac13\mathrm{e}^{-3x}$ ; $\;F_3(x) = \ln(x^2 + 1)$ ; $\;F_4(x) = -\frac1x$.

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 6x^2 - 4$ telle que $F(1) = 3$.

$F(x) = 2x^3 - 4x + k$ ; $F(1) = -2 + k = 3$ donc $k = 5$ : $F(x) = 2x^3 - 4x + 5$.

Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 2$, puis calculer $y(1)$ (arrondi à 0,1).

$y(1) \approx$

$y(x) = 2\mathrm{e}^{3x}$ ; $y(1) = 2\mathrm{e}^3 \approx 40{,}2$.

La vitesse (en m/s) d'un parachutiste vérifie $v' = -0{,}8v + 9{,}8$ et $v(0) = 0$.

  1. Déterminer $v(t)$.
  2. Quelle est la vitesse limite ?
  3. Au bout de combien de temps atteint-il 95 % de cette vitesse ?
  1. Constante : $c = \frac{9{,}8}{0{,}8} = 12{,}25$ ; $v(t) = C\mathrm{e}^{-0{,}8t} + 12{,}25$ et $v(0) = 0$ donne $C = -12{,}25$ : $v(t) = 12{,}25\left(1 - \mathrm{e}^{-0{,}8t}\right)$.
  2. $\mathrm{e}^{-0{,}8t} \to 0$ : vitesse limite $12{,}25$ m/s.
  3. $1 - \mathrm{e}^{-0{,}8t} \geqslant 0{,}95 \iff \mathrm{e}^{-0{,}8t} \leqslant 0{,}05 \iff t \geqslant \frac{\ln 20}{0{,}8} \approx 3{,}7$ s.

Un gâteau sort du four à 180 °C dans une cuisine à 20 °C : $\theta(t) = 20 + 160\,\mathrm{e}^{-kt}$ ($t$ en minutes). Au bout de 10 minutes, il est à 100 °C. Déterminer $k$, puis le moment où il atteint 40 °C.

$20 + 160\mathrm{e}^{-10k} = 100 \iff \mathrm{e}^{-10k} = \frac12 \iff k = \frac{\ln 2}{10} \approx 0{,}069$. Puis $160\mathrm{e}^{-kt} = 20 \iff \mathrm{e}^{-kt} = \frac18 \iff t = \frac{\ln 8}{k} = \frac{3\ln 2}{\ln 2/10} = 30$ minutes.

On admet que la fonction $P(t) = \dfrac{10}{1 + 9\mathrm{e}^{-t}}$ vérifie l'équation $P' = 0{,}1\,P(10 - P)$ (modèle de Verhulst, en millions d'individus). Vérifier cette égalité, puis déterminer la limite de $P$ en $+\infty$ et l'interpréter.

$P'(t) = \dfrac{10\times9\mathrm{e}^{-t}}{(1 + 9\mathrm{e}^{-t})^2}$. Et $10 - P = \dfrac{10\times9\mathrm{e}^{-t}}{1 + 9\mathrm{e}^{-t}}$, donc $0{,}1P(10 - P) = 0{,}1\times\dfrac{10}{1 + 9\mathrm{e}^{-t}}\times\dfrac{90\mathrm{e}^{-t}}{1 + 9\mathrm{e}^{-t}} = \dfrac{90\mathrm{e}^{-t}}{(1 + 9\mathrm{e}^{-t})^2} = P'(t)$ ✓. En $+\infty$, $\mathrm{e}^{-t} \to 0$ donc $P \to 10$ : la population se stabilise à 10 millions (capacité maximale du milieu).