Statistique à deux variables
La tension est-elle proportionnelle à l'intensité ? La température mondiale monte-t-elle régulièrement ? Pour étudier le lien entre deux grandeurs mesurées ensemble, on représente un nuage de points et on cherche la droite qui « colle » le mieux aux données.
- Représenter un nuage et calculer le point moyen
- Déterminer la droite des moindres carrés
- Interpréter le coefficient de corrélation
- Interpoler, extrapoler, changer de variable
Cours
1. Nuage de points et point moyen
On étudie $n$ individus sur lesquels on mesure deux grandeurs $x$ et $y$ : on obtient les couples $(x_1\,;\,y_1), \dots, (x_n\,;\,y_n)$. Le nuage de points est l'ensemble des points $M_i(x_i\,;\,y_i)$. Le point moyen est $G(\bar x\,;\,\bar y)$, où $\bar x = \frac1n\sum x_i$ et $\bar y = \frac1n\sum y_i$.
2. Ajustement affine
Quand le nuage a une forme allongée, on peut l'ajuster par une droite $y = ax + b$ : c'est un modèle, qui permet d'estimer $y$ pour une valeur de $x$ non mesurée.
- Au jugé : on trace une droite qui passe « au milieu » des points.
- Droite de Mayer : on partage le nuage en deux groupes selon les $x$ ; la droite passe par les points moyens $G_1$ et $G_2$ des deux groupes (et donc par $G$).
- Droite des moindres carrés : celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux $\sum \big(y_i - (ax_i + b)\big)^2$.
La droite des moindres carrés (ou droite de régression de $y$ en $x$) a pour coefficient directeur $$a = \frac{\mathrm{cov}(x, y)}{V(x)} = \frac{\frac1n\sum(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\frac1n\sum(x_i - \bar x)^2}$$ et elle passe par le point moyen $G$ : $b = \bar y - a\bar x$. En pratique, on l'obtient à la calculatrice ou au tableur.
Parmi toutes les droites $y = ax + b$, la somme $S(a, b) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - ax_i - b\big)^2$ est minimale pour $a = \dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}$ et $b = \bar y - a\bar x$.
Étape 1 : $a$ fixé, on choisit $b$. Posons $z_i = y_i - ax_i$, de moyenne $\bar z = \bar y - a\bar x$. Alors $S = \sum (z_i - b)^2 = \sum z_i^2 - 2b\sum z_i + nb^2 = nb^2 - 2n\bar z\,b + \sum z_i^2$. C'est un trinôme en $b$, de coefficient $n > 0$, minimal en $b = \dfrac{2n\bar z}{2n} = \bar z = \bar y - a\bar x$ : la meilleure droite passe par $G$.
Étape 2 : on choisit $a$. Avec $b = \bar y - a\bar x$, chaque écart vaut $y_i - ax_i - b = (y_i - \bar y) - a(x_i - \bar x)$. Notons $X_i = x_i - \bar x$ et $Y_i = y_i - \bar y$ : $$S = \sum (Y_i - aX_i)^2 = \Big(\sum X_i^2\Big)a^2 - 2\Big(\sum X_iY_i\Big)a + \sum Y_i^2.$$ C'est un trinôme en $a$, de coefficient $\sum X_i^2 > 0$ (si les $x_i$ ne sont pas tous égaux), minimal en $a = \dfrac{\sum X_iY_i}{\sum X_i^2} = \dfrac{\mathrm{cov}(x, y)}{V(x)}$. $\blacksquare$
3. Coefficient de corrélation
$r = \dfrac{\mathrm{cov}(x, y)}{\sigma(x)\,\sigma(y)}$ est toujours compris entre $-1$ et $1$. Plus $|r|$ est proche de 1, plus les points sont proches d'une droite ; $r > 0$ si la droite monte, $r < 0$ si elle descend. On considère souvent l'ajustement affine pertinent quand $|r| \geqslant 0{,}9$ environ.
Une forte corrélation ne prouve pas que $x$ cause $y$. Les ventes de glaces et les noyades sont corrélées… parce que les deux augmentent quand il fait chaud (facteur caché). Le nombre de cigognes et le nombre de naissances dans les villages alsaciens ont longtemps été corrélés, sans lien de cause à effet. Pour établir une causalité, il faut une expérience contrôlée ou un mécanisme explicatif.
4. Interpolation, extrapolation, changement de variable
- Vérifie que l'ajustement est pertinent (nuage allongé, $|r|$ proche de 1).
- Remplace $x$ par la valeur voulue dans l'équation de la droite.
- Distingue : interpolation ($x$ dans l'étendue des données, estimation fiable) et extrapolation ($x$ en dehors : on suppose que la tendance continue, ce qui est risqué).
Si le nuage a une allure exponentielle (croissance de plus en plus rapide), on pose $z = \ln y$ : si $z \approx ax + b$, alors $y \approx \mathrm{e}^{ax + b} = \mathrm{e}^b\times(\mathrm{e}^{a})^x$, un modèle exponentiel. C'est le cas de la loi de Moore (nombre de transistors doublant tous les deux ans environ). Autres changements possibles : $z = y^2$, $z = \frac1y$, $t = \ln x$…
Mini-jeux
Exercices
Voici le nombre d'heures de révision $x$ et la note $y$ de cinq élèves : $(2\,;\,8)$, $(3\,;\,11)$, $(5\,;\,12)$, $(6\,;\,14)$, $(9\,;\,17)$. Calculer les coordonnées du point moyen.
$\bar x =$ ; $\bar y =$
$\bar x = \frac{25}{5} = 5$ ; $\bar y = \frac{62}{5} = 12{,}4$.
Un ajustement donne $y = 0{,}8x + 4{,}2$, où $x$ est l'âge (en mois) d'un bébé et $y$ sa masse (en kg), pour $x \in [0\,;\,12]$. Estimer la masse à 9 mois. Pourquoi ne pas utiliser ce modèle à 10 ans ?
$0{,}8\times9 + 4{,}2 = 11{,}4$ kg. À 10 ans ($x = 120$), le modèle donnerait 100 kg : l'extrapolation loin des données n'a pas de sens, la croissance ralentit.
Déterminer la droite des moindres carrés pour les points $(1\,;\,2)$, $(2\,;\,3)$, $(3\,;\,5)$, $(4\,;\,6)$.
$\bar x = 2{,}5$, $\bar y = 4$. Écarts $X_i$ : $-1{,}5$ ; $-0{,}5$ ; $0{,}5$ ; $1{,}5$ ; $Y_i$ : $-2$ ; $-1$ ; $1$ ; $2$. $\sum X_iY_i = 3 + 0{,}5 + 0{,}5 + 3 = 7$ ; $\sum X_i^2 = 5$. Donc $a = \frac75 = 1{,}4$ et $b = 4 - 1{,}4\times2{,}5 = 0{,}5$ : $y = 1{,}4x + 0{,}5$.
Dans plusieurs pays, on observe une forte corrélation entre la consommation de chocolat par habitant et le nombre de prix Nobel par habitant. Peut-on conclure que manger du chocolat rend plus intelligent ? Proposer une explication.
Non : la corrélation ne prouve pas la causalité. Un facteur caché explique probablement les deux : la richesse du pays (niveau de vie, financement de la recherche, pouvoir d'achat).
Une population de bactéries est mesurée : $t$ (h) : 0, 1, 2, 3, 4 ; $N$ : 100, 150, 230, 340, 510. En posant $z = \ln N$, on obtient l'ajustement $z \approx 0{,}408t + 4{,}605$. En déduire un modèle $N(t) = N_0\,q^t$ et estimer le temps de doublement.
$N = \mathrm{e}^{z} \approx \mathrm{e}^{4{,}608}\times\left(\mathrm{e}^{0{,}408}\right)^t \approx 100\times1{,}50^t$. Doublement quand $1{,}5^t = 2$ : $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}5} \approx 1{,}7$ h.