★ Les démonstrations au programme — Maths complémentaires
Le programme officiel liste des démonstrations que tu dois savoir refaire. Elles sont toutes réunies ici (13 au total). Pour réviser : lis l'énoncé, cherche la preuve sur une feuille, puis déplie la démonstration pour comparer.
1. Suites et modèles discrets
Si $0 < q < 1$, alors $\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1 + q + q^2 + \dots + q^n\right) = \dfrac{1}{1 - q}$.
Pour tout entier $n$, $S_n = 1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Comme $0 < q < 1$, $\lim\limits_{n\to+\infty} q^{n+1} = 0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1 - q^{n+1}\right) = 1$.
En divisant par le nombre $1 - q$ (non nul, indépendant de $n$) : $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \dfrac{1}{1 - q}$. $\blacksquare$
3. Dérivation et convexité
Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $f = \mathrm{e}^{u}$ est dérivable sur $I$ et $f' = u'\,\mathrm{e}^{u}$ (on admet la dérivabilité).
On traite le cas $u(x) = ax + b$, le cas général se démontre de la même façon avec la dérivée d'une composée. Soit $x \in I$ et $h \neq 0$ :
$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\mathrm{e}^{ax + b + ah} - \mathrm{e}^{ax + b}}{h} = \mathrm{e}^{ax + b}\times a\times\frac{\mathrm{e}^{ah} - 1}{ah}.$$
Quand $h \to 0$, $H = ah \to 0$ et $\dfrac{\mathrm{e}^{H} - 1}{H} \to \exp'(0) = \mathrm{e}^0 = 1$. Donc le taux d'accroissement tend vers $a\,\mathrm{e}^{ax + b} = u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}$. $\blacksquare$
4. Fonction logarithme népérien
Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\;\ln(ab) = \ln a + \ln b\;$ et $\;\ln\left(\dfrac1a\right) = -\ln a$.
Produit. $\mathrm{e}^{\ln(ab)} = ab$ et $\mathrm{e}^{\ln a + \ln b} = \mathrm{e}^{\ln a}\times\mathrm{e}^{\ln b} = ab$. Les deux nombres $\ln(ab)$ et $\ln a + \ln b$ ont la même exponentielle ; comme l'exponentielle est strictement croissante, ils sont égaux.
Inverse. On applique la formule précédente à $a$ et $\frac1a$ : $\ln a + \ln\frac1a = \ln\left(a\times\frac1a\right) = \ln 1 = 0$, donc $\ln\frac1a = -\ln a$. $\blacksquare$
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac1x$.
On admet que $\ln$ est dérivable. Pour tout $x > 0$, on a $\mathrm{e}^{\ln x} = x$. On dérive les deux membres, avec $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$ : $\;\ln'(x)\times\mathrm{e}^{\ln x} = 1$, c'est-à-dire $\ln'(x)\times x = 1$. Comme $x \neq 0$ : $\ln'(x) = \dfrac1x$. $\blacksquare$
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
Posons $f = \ln u$ (on admet qu'elle est dérivable). Pour tout $x \in I$, $\mathrm{e}^{f(x)} = u(x)$. En dérivant : $f'(x)\,\mathrm{e}^{f(x)} = u'(x)$, soit $f'(x)\,u(x) = u'(x)$. Comme $u(x) > 0$ : $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$. $\blacksquare$
5. Primitives et équations différentielles
Si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ sur un intervalle $I$, alors il existe une constante $k$ telle que $G = F + k$ sur $I$.
La fonction $H = G - F$ est dérivable sur $I$ et $H' = G' - F' = f - f = 0$. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (ses variations : ni croissante strictement, ni décroissante strictement ; on l'admet). Donc $H = k$ et $G = F + k$. $\blacksquare$
Réciproquement, $F + k$ est une primitive de $f$ pour tout réel $k$. Il y a donc une infinité de primitives, et une seule prend une valeur donnée en un point donné.
Soit $a$ un réel. Les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$, où $C$ est un réel quelconque.
Ces fonctions sont solutions : si $f(x) = C\mathrm{e}^{ax}$, alors $f'(x) = aC\mathrm{e}^{ax} = a f(x)$.
Ce sont les seules : soit $f$ une solution. Posons $g(x) = f(x)\,\mathrm{e}^{-ax}$. Alors $g'(x) = f'(x)\mathrm{e}^{-ax} - a f(x)\mathrm{e}^{-ax} = \big(f'(x) - a f(x)\big)\mathrm{e}^{-ax} = 0$. Donc $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ : $g(x) = C$, et $f(x) = C\mathrm{e}^{ax}$. $\blacksquare$
6. Calcul intégral
Si $f$ est continue, positive et croissante sur $[a\,;\,b]$, alors la fonction $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$ et $F' = f$.
Soit $x \in [a\,;\,b[$ et $h > 0$ tel que $x + h \leqslant b$. Par la relation de Chasles, $F(x + h) - F(x) = \displaystyle\int_x^{x+h} f(t)\,\mathrm{d}t$ : c'est l'aire sous la courbe entre $x$ et $x + h$.
Comme $f$ est croissante, pour $t \in [x\,;\,x + h]$, $f(x) \leqslant f(t) \leqslant f(x + h)$. L'aire est donc comprise entre celles des rectangles de largeur $h$ et de hauteurs $f(x)$ et $f(x + h)$ : $$h\,f(x) \leqslant F(x + h) - F(x) \leqslant h\,f(x + h), \quad\text{donc}\quad f(x) \leqslant \frac{F(x + h) - F(x)}{h} \leqslant f(x + h).$$
Quand $h \to 0$, $f(x + h) \to f(x)$ car $f$ est continue. Par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f(x)$. On raisonne de même pour $h < 0$. Donc $F$ est dérivable en $x$ et $F'(x) = f(x)$. $\blacksquare$
7. Lois discrètes
Si $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$, alors $E(X) = \dfrac{n + 1}{2}$.
$E(X) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\times\frac1n = \frac1n(1 + 2 + \dots + n) = \frac1n\times\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$. $\blacksquare$
Pour un dé : $E(X) = \frac72 = 3{,}5$.
Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$, $V(X) = p(1 - p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$.
$E(X) = 0\times(1 - p) + 1\times p = p$.
$V(X) = (0 - p)^2(1 - p) + (1 - p)^2 p = p(1 - p)\big(p + (1 - p)\big) = p(1 - p)$, d'où $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$. $\blacksquare$
Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ avec $n \leqslant 3$, alors $E(X) = np$. (Cas $n = 3$ ; les cas $n = 1$ et $n = 2$ sont analogues.)
Pour $n = 3$, posons $q = 1 - p$ : $P(X = 0) = q^3$, $P(X = 1) = 3pq^2$, $P(X = 2) = 3p^2q$, $P(X = 3) = p^3$.
$E(X) = 0\times q^3 + 1\times3pq^2 + 2\times3p^2q + 3\times p^3 = 3p\left(q^2 + 2pq + p^2\right) = 3p(q + p)^2 = 3p\times1^2 = 3p$. $\blacksquare$
Si $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$, alors pour tous entiers naturels $m$ et $n$ : $\;P_{X > m}(X > m + n) = P(X > n)$.
L'événement $\{X > m + n\}$ est inclus dans $\{X > m\}$, donc $\{X > m + n\} \cap \{X > m\} = \{X > m + n\}$. Ainsi : $$P_{X > m}(X > m + n) = \frac{P(X > m + n)}{P(X > m)} = \frac{(1 - p)^{m + n}}{(1 - p)^m} = (1 - p)^n = P(X > n). \quad\blacksquare$$
Interprétation : avoir déjà attendu $m$ fois ne rend pas le succès « plus probable » ensuite. Le programme admet que cette propriété caractérise la loi géométrique.
9. Statistique à deux variables
Parmi toutes les droites $y = ax + b$, la somme $S(a, b) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - ax_i - b\big)^2$ est minimale pour $a = \dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}$ et $b = \bar y - a\bar x$.
Étape 1 : $a$ fixé, on choisit $b$. Posons $z_i = y_i - ax_i$, de moyenne $\bar z = \bar y - a\bar x$. Alors $S = \sum (z_i - b)^2 = \sum z_i^2 - 2b\sum z_i + nb^2 = nb^2 - 2n\bar z\,b + \sum z_i^2$. C'est un trinôme en $b$, de coefficient $n > 0$, minimal en $b = \dfrac{2n\bar z}{2n} = \bar z = \bar y - a\bar x$ : la meilleure droite passe par $G$.
Étape 2 : on choisit $a$. Avec $b = \bar y - a\bar x$, chaque écart vaut $y_i - ax_i - b = (y_i - \bar y) - a(x_i - \bar x)$. Notons $X_i = x_i - \bar x$ et $Y_i = y_i - \bar y$ : $$S = \sum (Y_i - aX_i)^2 = \Big(\sum X_i^2\Big)a^2 - 2\Big(\sum X_iY_i\Big)a + \sum Y_i^2.$$ C'est un trinôme en $a$, de coefficient $\sum X_i^2 > 0$ (si les $x_i$ ne sont pas tous égaux), minimal en $a = \dfrac{\sum X_iY_i}{\sum X_i^2} = \dfrac{\mathrm{cov}(x, y)}{V(x)}$. $\blacksquare$