★ Les démonstrations au programme — Seconde
Le programme officiel liste des démonstrations que tu dois savoir refaire. Elles sont toutes réunies ici (10 au total). Pour réviser : lis l'énoncé, cherche la preuve sur une feuille, puis déplie la démonstration pour comparer.
1. Multiples, diviseurs et parité
Soit $a$ un entier. La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.
Soient $m$ et $n$ deux multiples de $a$. Il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $m = k a$ et $n = k' a$.
Alors $m + n = ka + k'a = (k + k')a$ (on factorise par $a$).
Comme $k + k'$ est un entier, $m + n$ est un multiple de $a$. $\blacksquare$
On montre de même que la différence de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$, et que tout multiple d'un multiple de $a$ est un multiple de $a$.
2. Nombres réels, intervalles et valeur absolue
Le nombre rationnel $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
Raisonnons par l'absurde : supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit décimal. Il existe alors $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ tels que $\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$, c'est-à-dire $10^n = 3a$.
Donc $10^n$ serait un multiple de 3, et la somme de ses chiffres aussi. Or $10^n = 100\dots0$ a pour somme des chiffres $1$, qui n'est pas un multiple de 3. Contradiction : $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$. $\blacksquare$
Le nombre $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
Raisonnons par l'absurde : supposons que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, la fraction étant irréductible.
En élevant au carré : $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2q^2$. Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (voir le chapitre 1) : $p = 2k$.
Alors $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
$p$ et $q$ sont tous deux pairs : la fraction $\dfrac{p}{q}$ se simplifie par 2, ce qui contredit son irréductibilité. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. $\blacksquare$
3. Puissances, racines et calcul littéral
Pour tous réels $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : $\;\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$, $\;$ et si $b > 0$ : $\;\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Les nombres $\sqrt{ab}$ et $\sqrt{a}\sqrt{b}$ sont tous deux positifs. Calculons leurs carrés :
$\left(\sqrt{ab}\right)^2 = ab$ et $\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt{b}\right)^2 = ab$.
Deux nombres positifs qui ont le même carré sont égaux (si $x, y \geqslant 0$ et $x^2 = y^2$, alors $(x - y)(x + y) = 0$, donc $x = y$ ou $x = -y$ ; le second cas impose $x = y = 0$). Donc $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$. $\blacksquare$
6. Vecteurs et coordonnées
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ;
- $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$ ;
- leurs coordonnées sont proportionnelles.
(1) ⇒ (2). Si $\vec{v} = k\vec{u}$, alors $x' = kx$ et $y' = ky$, donc $xy' - x'y = x(ky) - (kx)y = 0$.
(2) ⇒ (1). Supposons $xy' - x'y = 0$. Comme $\vec{u} \neq \vec{0}$, l'une de ses coordonnées est non nulle, par exemple $x \neq 0$. Posons $k = \dfrac{x'}{x}$. Alors $x' = kx$ et $y' = \dfrac{x'y}{x} = ky$ (car $xy' = x'y$). Donc $\vec{v} = k\vec{u}$. Le cas $y \neq 0$ est analogue avec $k = \dfrac{y'}{y}$.
(1) ⇔ (3). $\vec{v} = k\vec{u}$ signifie exactement que $(x'\,;\,y')$ s'obtient en multipliant $(x\,;\,y)$ par un même coefficient $k$ : les coordonnées sont proportionnelles (tableau $\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline x' & y' \\ \hline \end{array}$ de proportionnalité, dont les « produits en croix » $xy'$ et $x'y$ sont égaux). $\blacksquare$
7. Droites du plan
Déterminons une équation de la droite $(AB)$ avec $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,-1)$.
Un point $M(x\,;\,y)$ est sur $(AB)$ $\iff \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires $\iff \det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = 0$.
$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x - 1\\y - 2\end{pmatrix}$, $\;\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$ : $\;(x - 1)(-3) - 3(y - 2) = 0 \iff -3x - 3y + 9 = 0 \iff x + y - 3 = 0$.
Vérification : $1 + 2 - 3 = 0$ ✓ et $4 - 1 - 3 = 0$ ✓.
9. Fonctions de référence
Pour $x \in [0\,;\,1]$ : $x^2 \leqslant x$. Pour $x \geqslant 1$ : $x^2 \geqslant x$.
On étudie le signe de la différence : $x^2 - x = x(x - 1)$. Pour $x \geqslant 0$, $x$ est positif, donc $x^2 - x$ a le signe de $x - 1$ : négatif sur $[0\,;\,1]$ et positif sur $[1\,;\,+\infty[$. $\blacksquare$
Exemple : $0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$ — élever au carré un nombre entre 0 et 1 le rend plus petit !
10. Variations et extremums
$f(x) = mx + p$ est croissante sur $\mathbb{R}$ si $m > 0$, décroissante si $m < 0$, constante si $m = 0$.
Soient $a < b$. $\;f(b) - f(a) = mb + p - ma - p = m(b - a)$. Or $b - a > 0$.
Si $m > 0$, alors $f(b) - f(a) > 0$, donc $f(a) < f(b)$ : $f$ est (strictement) croissante. Si $m < 0$, $f(b) - f(a) < 0$ : $f$ est décroissante. Si $m = 0$, $f(a) = f(b)$. $\blacksquare$
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
Soient $a < b$. $\;b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$, avec $b - a > 0$.
Sur $[0\,;\,+\infty[$ : si $0 \leqslant a < b$, alors $a + b > 0$, donc $b^2 - a^2 > 0$ : $a^2 < b^2$. La fonction est croissante.
Sur $]-\infty\,;\,0]$ : si $a < b \leqslant 0$, alors $a + b < 0$, donc $b^2 - a^2 < 0$ : $a^2 > b^2$. La fonction est décroissante. $\blacksquare$
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
Soient $a < b$ deux réels non nuls de même signe. $\;\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - b}{ab}$.
$a - b < 0$ et $ab > 0$ (même signe), donc $\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} < 0$, soit $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$. La fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles. $\blacksquare$