✎ Les méthodes à connaître — Maths expertes

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient ainsi un réel :

$$\frac{3 + i}{1 - 2i} = \frac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{3 + 6i + i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{1 + 7i}{5} = \frac15 + \frac75 i.$$

Résoudre $2z - \bar z = 1 + 6i$. On pose $z = x + iy$ ($x, y$ réels) :

$$2(x + iy) - (x - iy) = x + 3iy = 1 + 6i \iff \begin{cases} x = 1 \\ 3y = 6\end{cases}$$

par identification des parties réelles et imaginaires. Donc $z = 1 + 2i$.

• $|z - z_A| = r$ ($r > 0$) : $AM = r$, c'est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
• $|z - z_A| = |z - z_B|$ : $AM = BM$, c'est la médiatrice de $[AB]$.

Exemple : $|z - 2 + i| = 3 \iff |z - (2 - i)| = 3$ : cercle de centre $A(2\,;\,-1)$ et de rayon 3.

$z = -\sqrt3 + i$. On calcule $r = \sqrt{3 + 1} = 2$, puis $\cos\theta = -\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta = \frac12$. On reconnaît $\theta = \frac{5\pi}{6}$ (cercle trigonométrique). Donc $z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$.

Réflexe : factoriser par le module fait apparaître un complexe de module 1, $z = 2\left(-\frac{\sqrt3}{2} + \frac12 i\right)$.

Pour les sommes : forme algébrique. Pour les produits, quotients, puissances : forme exponentielle.

Exemple : $(1 + i)^{10} = \left(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\right)^{10} = (\sqrt2)^{10}e^{10i\pi/4} = 32e^{5i\pi/2} = 32e^{i\pi/2} = 32i$ (car $\frac{5\pi}{2} = \frac\pi2 + 2\pi$).

$\cos^3x = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \dfrac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8} = \dfrac{2\cos 3x + 6\cos x}{8} = \dfrac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$ (binôme, puis Euler dans l'autre sens).

On en déduit une primitive, et par exemple $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx = \left[\frac{\sin 3x}{12} + \frac{3\sin x}{4}\right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{12} + \frac34 = \frac23$.

On développe le membre de gauche avec le binôme et on identifie les parties réelles. Avec $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$ :

$$(c + is)^3 = c^3 + 3ic^2s - 3cs^2 - is^3$$

donc $\cos 3\theta = c^3 - 3cs^2 = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$, et $\sin 3\theta = 3c^2s - s^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$.

$P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z - 2$. On remarque $P(1) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$. On cherche $Q(z) = z^2 + \beta z + \gamma$ tel que $P(z) = (z - 1)Q(z)$ : en développant, $(z - 1)(z^2 + \beta z + \gamma) = z^3 + (\beta - 1)z^2 + (\gamma - \beta)z - \gamma$, et par identification $\beta = -2$, $\gamma = 2$.

Donc $P(z) = (z - 1)(z^2 - 2z + 2)$ et les solutions de $P(z) = 0$ sont $1$, $1 + i$ et $1 - i$.

Le schéma de Horner (ci-dessous) donne les coefficients de $Q$ plus rapidement.

1. Calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
2. Si $\Delta > 0$ ou $\Delta = 0$ : comme dans $\mathbb{R}$.
3. Si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z = \dfrac{-b \pm \mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Exemple. $z^2 + 2z + 5 = 0$ : $\Delta = -16$, $z = -1 \pm 2\mathrm{i}$.

1. Vérifie que $P(a) = 0$.
2. Écris $P(z) = (z - a)Q(z)$ avec $Q$ de degré un de moins, coefficients inconnus.
3. Développe et identifie les coefficients (ou utilise la division / le schéma de Horner).

Avec $q = \dfrac{c - a}{b - a}$ : $q = \pm i$ → rectangle isocèle en $A$ ; $q = e^{\pm i\pi/3}$ → équilatéral ; $|q| = 1$ → isocèle en $A$ ; $q$ imaginaire pur → rectangle en $A$.

1. Longueur : $AB = |z_B - z_A|$ ; angle : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
2. $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est réel.
3. $(AB) \perp (AC) \iff \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est imaginaire pur.

1. $z' = z + b$ : translation de vecteur d'affixe $b$.
2. $z' - \omega = k(z - \omega)$ ($k$ réel) : homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$.
3. $z' - \omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z - \omega)$ : rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$.

Déterminer les entiers $n$ tels que $n + 5$ divise $2n + 3$. Si $n + 5 \mid 2n + 3$, comme $n + 5 \mid 2(n + 5)$, on a $n + 5 \mid 2(n + 5) - (2n + 3) = 7$. Donc $n + 5 \in \{-7, -1, 1, 7\}$, soit $n \in \{-12, -6, -4, 2\}$. On vérifie que ces quatre valeurs conviennent.

Reste de $3^{2026}$ dans la division par 7. On cherche une puissance de 3 congrue à 1 : $3^1 \equiv 3$, $3^2 \equiv 2$, $3^3 \equiv 6$, $3^4 \equiv 4$, $3^5 \equiv 5$, $3^6 \equiv 1\ [7]$.

$2026 = 6 \times 337 + 4$, donc $3^{2026} = \left(3^6\right)^{337} \times 3^4 \equiv 1^{337} \times 81 \equiv 4\ [7]$. Le reste est 4.

Montrons que $n^2 + n + 1$ n'est jamais divisible par 5. On étudie tous les restes possibles de $n$ modulo 5 :

Le reste n'est jamais 0 : $5 \nmid n^2 + n + 1$ pour tout entier $n$.

$3x \equiv 2\ [7]$. Dans la table de multiplication modulo 7, $3 \times 5 = 15 \equiv 1$ : 5 est un inverse de 3 modulo 7. En multipliant par 5 : $x \equiv 10 \equiv 3\ [7]$. Les solutions sont les entiers $x = 3 + 7k$, $k \in \mathbb{Z}$.

On effectue des divisions euclidiennes successives, en remplaçant $(a, b)$ par $(b, r)$ jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.

$161 = 63 \times 2 + 35$ ; $\;63 = 35 \times 1 + 28$ ; $\;35 = 28 \times 1 + 7$ ; $\;28 = 7 \times 4 + 0$. Donc $\mathrm{PGCD}(161, 63) = 7$.

L'algorithme s'arrête car les restes forment une suite d'entiers naturels strictement décroissante.

Avec $161$ et $63$ : $7 = 35 - 28$, puis $28 = 63 - 35$ donne $7 = 35 - (63 - 35) = 2 \times 35 - 63$, puis $35 = 161 - 2 \times 63$ donne $7 = 2 \times 161 - 5 \times 63$. Donc $u = 2$, $v = -5$ conviennent. Le widget ci-dessus fait ce calcul dans les colonnes $u$ et $v$.

1. Solution particulière : $7 \times 3 + 4 \times (-5) = 1$ (Bézout), donc en multipliant par 3, $(x_0\,;\,y_0) = (9\,;\,-15)$ convient. Plus simplement, on voit que $(1\,;\,-1)$ convient.
2. Soustraction : si $7x + 4y = 3$, alors $7x + 4y = 7 \times 1 + 4 \times (-1)$, soit $7(x - 1) = 4(-1 - y)$.
3. Gauss : 4 divise $7(x - 1)$ et 4 est premier avec 7, donc $4 \mid x - 1$ : $x = 1 + 4k$. En reportant : $7 \times 4k = 4(-1 - y)$, donc $y = -1 - 7k$.
4. Réciproque : $7(1 + 4k) + 4(-1 - 7k) = 3$ pour tout $k$.

Les solutions sont les couples $(1 + 4k\,;\,-1 - 7k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Pour savoir si $n$ est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers $p \leqslant \sqrt n$. Exemple : $401$ ; $\sqrt{401} \approx 20{,}02$ ; aucun des nombres $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ ne divise 401 : il est premier.

Reste de $3^{2026}$ modulo 11 : 11 est premier et ne divise pas 3, donc $3^{10} \equiv 1\ [11]$. Comme $2026 = 10 \times 202 + 6$, $3^{2026} \equiv 3^6 = 729 \equiv 3\ [11]$ ($729 = 66 \times 11 + 3$).

Les calculatrices (menu Matrice) et Python (avec numpy) calculent sommes, produits, puissances et inverses. C'est utile pour conjecturer une formule de $A^n$, qu'on démontre ensuite par récurrence.

Pour $\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + z = 2 \\ x + 2y + z = 5\end{cases}$, on calcule $A^{-1}$ à la calculatrice puis $X = A^{-1}B$, ou on résout à la main : la somme des deux premières lignes donne $3x = 3$, d'où $x = 1$, puis $y = 1$ et $z = 2$.

La distance entre deux sommets est la longueur d'une plus courte chaîne qui les relie : c'est le plus petit $n$ tel que le coefficient $(i, j)$ de $M^n$ soit non nul. Un graphe d'ordre $p$ est connexe si et seulement si, pour tous $i \neq j$, l'un des coefficients $(i, j)$ de $M, M^2, \dots, M^{p-1}$ est non nul.

1. Écris la matrice d'adjacence $M$ (coefficient $i, j$ : nombre d'arêtes de $i$ vers $j$).
2. Calcule $M^n$ (calculatrice).
3. Le coefficient ligne $i$, colonne $j$ de $M^n$ est le nombre de chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$.

1. Vérifie que le graphe est connexe.
2. Compte les sommets de degré impair.
3. 0 sommet impair : cycle eulérien ; 2 sommets impairs : chaîne eulérienne entre ces deux sommets ; plus de 2 : impossible (théorème d'Euler).

Si $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$, on pose $U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n\end{pmatrix}$. Alors $U_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0\end{pmatrix}U_n$, donc $U_n = A^nU_0$.

Exemple : la suite de Fibonacci $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$) correspond à $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$, et l'on montre par récurrence que $A^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}$ pour $n \geqslant 1$.

1. Cherche une matrice colonne constante $L$ telle que $L = AL + C$, soit $(I - A)L = C$.
2. Pose $V_n = U_n - L$ : alors $V_{n+1} = AV_n$ et $V_n = A^nV_0$.
3. Conclus : $U_n = A^n(U_0 - L) + L$ ; si $A^n$ tend vers la matrice nulle, $U_n$ converge vers $L$.

1. On te donne $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale.
2. Montre par récurrence que $A^n = PD^nP^{-1}$.
3. $D^n$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$.

On résout le système $\pi P = \pi$ avec $\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1$ (une des trois équations de $\pi P = \pi$ est redondante et est remplacée par la condition de somme).

1. Numérote les états dans un ordre fixé.
2. Coefficient ligne $i$, colonne $j$ : probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ (lue sur l'arête $i \to j$, 0 s'il n'y en a pas).
3. Vérifie que la somme de chaque ligne vaut 1.

1. Écris la distribution initiale $\pi_0$ en vecteur ligne.
2. Utilise $\pi_{n+1} = \pi_n P$, donc $\pi_n = \pi_0 P^n$ (calculatrice pour $P^n$).
3. La probabilité d'être dans l'état $j$ après $n$ étapes est la $j$-ième coordonnée de $\pi_n$.

1. Pose $\pi = (x\ \ y)$ (ou avec plus de coordonnées) et écris $\pi P = \pi$.
2. Ajoute la condition $x + y = 1$.
3. Résous le système ; pour une chaîne à deux états sans coefficient nul, $\pi_n$ converge vers cette distribution.

Exemple. $P = \begin{pmatrix}0{,}9 & 0{,}1\\0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix}$ : $0{,}9x + 0{,}3y = x$ donne $0{,}1x = 0{,}3y$, avec $x + y = 1$ : $\pi = (0{,}75\ \ 0{,}25)$.