Nombres complexes : point de vue géométrique

Un nombre complexe, c'est aussi un point ou un vecteur du plan. Sa distance à l'origine (le module) et sa direction (l'argument) éclairent les calculs : multiplier deux complexes revient à multiplier les longueurs et à ajouter les angles.

Représenter un complexe par un point, lire une affixe
Déterminer le module et les arguments d'un complexe
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Utiliser le module et l'argument d'un produit

Cours

1. Le plan complexe

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec u, \vec v)$. À tout complexe $z = a + ib$ on associe le point $M(a\,;\,b)$, appelé image de $z$, et le vecteur $\overrightarrow{OM}$. Inversement, $z$ est l'affixe du point $M$ et du vecteur $\overrightarrow{OM}$. On note $M(z)$.

Les réels ont leur image sur l'axe des abscisses (axe réel), les imaginaires purs sur l'axe des ordonnées (axe imaginaire).

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$ ; le vecteur $\vec w + \vec w'$ a pour affixe $z_{\vec w} + z_{\vec w'}$ et $k\vec w$ a pour affixe $kz_{\vec w}$ ($k$ réel).
Le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A + z_B}{2}$.
L'image de $\bar z$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l'axe réel ; celle de $-z$ est son symétrique par rapport à $O$.

2. Module

Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Si $M$ est l'image de $z$, alors $|z| = OM$. Plus généralement, $AB = |z_B - z_A|$.

Pour un réel, le module coïncide avec la valeur absolue (d'où la même notation).

$|z| = 0 \iff z = 0$ ; $\quad |\bar z| = |-z| = |z|$ ; $\quad |\mathrm{Re}(z)| \leqslant |z|$ et $|\mathrm{Im}(z)| \leqslant |z|$.

Pour tous complexes $z$, $z'$ et tout entier naturel $n$ :

$$|z|^2 = z\bar z \qquad |zz'| = |z|\,|z'| \qquad |z^n| = |z|^n.$$

Première formule. Avec $z = a + ib$ : $z\bar z = (a + ib)(a - ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$.

Produit. En utilisant la première formule et le conjugué d'un produit : $$|zz'|^2 = zz'\,\overline{zz'} = z\,z'\,\bar z\,\bar{z'} = (z\bar z)(z'\bar{z'}) = |z|^2|z'|^2 = \big(|z|\,|z'|\big)^2.$$ Deux réels positifs qui ont le même carré sont égaux : $|zz'| = |z|\,|z'|$.

Puissance. Par récurrence : $|z^0| = |1| = 1 = |z|^0$, et si $|z^n| = |z|^n$, alors $|z^{n+1}| = |z^n \times z| = |z^n|\,|z| = |z|^n|z| = |z|^{n+1}$. $\blacksquare$

Pour $z' \neq 0$ : $\;\left|\dfrac{1}{z'}\right| = \dfrac{1}{|z'|}$ et $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ (car $|z'| \times \left|\frac{1}{z'}\right| = |1| = 1$).

$|(1 + i)^6(3 - 4i)| = |1 + i|^6 \times |3 - 4i| = (\sqrt2)^6 \times 5 = 40$, sans développer quoi que ce soit !

$|z - z_A| = r$ ($r > 0$) : $AM = r$, c'est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
$|z - z_A| = |z - z_B|$ : $AM = BM$, c'est la médiatrice de $[AB]$.

Exemple : $|z - 2 + i| = 3 \iff |z - (2 - i)| = 3$ : cercle de centre $A(2\,;\,-1)$ et de rayon 3.

3. L'ensemble 𝕌

On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module 1. Leurs images forment le cercle trigonométrique (cercle de centre $O$ et de rayon 1).

Si $z$ et $z'$ sont dans $\mathbb{U}$, alors $zz' \in \mathbb{U}$ et $\dfrac1z \in \mathbb{U}$ (car $|zz'| = 1 \times 1$ et $\left|\frac1z\right| = \frac11$). De plus, pour $z \in \mathbb{U}$, $\dfrac1z = \bar z$ (puisque $z\bar z = |z|^2 = 1$).

4. Arguments et forme trigonométrique

Soit $z \neq 0$ d'image $M$. On appelle argument de $z$ toute mesure (en radians) de l'angle orienté $(\vec u, \overrightarrow{OM})$. Si $\theta$ est un argument, les autres sont les $\theta + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ : on note $\arg z = \theta \pmod{2\pi}$, ou $\arg z \equiv \theta\ [2\pi]$. Le nombre $0$ n'a pas d'argument.

$z$ réel strictement positif $\iff \arg z \equiv 0\ [2\pi]$ ; $\quad z$ réel non nul $\iff \arg z \equiv 0\ [\pi]$ ; $\quad z$ imaginaire pur non nul $\iff \arg z \equiv \frac\pi2\ [\pi]$.

Exemples : $\arg(3i) = \frac\pi2$, $\arg(-2) = \pi$, $\arg(1 + i) = \frac\pi4$, $\arg(-i) = -\frac\pi2$.

Tout complexe non nul s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg z$. C'est une forme trigonométrique de $z$. On passe d'une forme à l'autre par :

$$a = r\cos\theta,\quad b = r\sin\theta \qquad\text{et}\qquad r = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \cos\theta = \frac ar,\quad \sin\theta = \frac br.$$

$z = -\sqrt3 + i$. On calcule $r = \sqrt{3 + 1} = 2$, puis $\cos\theta = -\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta = \frac12$. On reconnaît $\theta = \frac{5\pi}{6}$ (cercle trigonométrique). Donc $z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$.

Réflexe : factoriser par le module fait apparaître un complexe de module 1, $z = 2\left(-\frac{\sqrt3}{2} + \frac12 i\right)$.

Dans une forme trigonométrique, le facteur devant la parenthèse doit être strictement positif : $-2(\cos\theta + i\sin\theta)$ n'est pas une forme trigonométrique. On écrit $-2(\cos\theta + i\sin\theta) = 2\big(\cos(\theta + \pi) + i\sin(\theta + \pi)\big)$.

5. Argument d'un produit

Pour $z$, $z'$ non nuls et $n$ entier :

$$\arg(zz') \equiv \arg z + \arg z' \qquad \arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg z - \arg z' \qquad \arg(z^n) \equiv n\arg z \qquad [2\pi]$$

et $\arg\bar z \equiv -\arg z$, $\arg(-z) \equiv \arg z + \pi$.

Si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ et $z' = r'(\cos\theta' + i\sin\theta')$, alors $zz' = rr'\big(\cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')\big)$.

On développe : $zz' = rr'\big[(\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta')\big]$.

Les formules d'addition (démontrées au chapitre suivant) donnent $\cos(\theta + \theta')$ et $\sin(\theta + \theta')$. Comme $rr' > 0$, c'est une forme trigonométrique de $zz'$ : $|zz'| = rr'$ et $\arg(zz') \equiv \theta + \theta'$. Les autres règles s'en déduisent ($z' \times \frac{z}{z'} = z$, récurrence pour $z^n$). $\blacksquare$

$z = 1 + i\sqrt3$ a pour module 2 et argument $\frac\pi3$. Donc $z^6$ a pour module $2^6 = 64$ et pour argument $6 \times \frac\pi3 = 2\pi \equiv 0$ : $z^6 = 64$.

6. Pour aller plus loin

Le programme propose d'étudier des suites de points définies par des nombres complexes. Deux exemples à explorer :

Wessel (1797), Argand (1806) et Gauss (1831) ont l'idée de représenter les complexes par des points du plan : les « imaginaires » deviennent des objets concrets. En 1980, Benoît Mandelbrot, mathématicien franco-américain, visualise à l'ordinateur l'ensemble qui porte son nom, emblème des fractales : en zoomant, on découvre sans fin de nouveaux détails.

Mini-jeux

Exercices

Déterminer le module et un argument de : $z_1 = 1 - i$, $z_2 = -3$, $z_3 = 2i$, $z_4 = \sqrt3 + i$, $z_5 = -1 - i\sqrt3$.

$|z_5| =$

$z_1$ : $\sqrt2$, $-\frac\pi4$. $\;z_2$ : 3, $\pi$. $\;z_3$ : 2, $\frac\pi2$. $\;z_4$ : 2, $\frac\pi6$. $\;z_5$ : 2 ; $\cos\theta = -\frac12$, $\sin\theta = -\frac{\sqrt3}{2}$ donc $\theta = -\frac{2\pi}{3}$.

Écrire sous forme algébrique : $z_1 = 4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ et $z_2 = 3\left(\cos\left(-\frac\pi4\right) + i\sin\left(-\frac\pi4\right)\right)$.

$z_1 = 4\left(-\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\right) = -2 + 2i\sqrt3$. $\;z_2 = 3\left(\frac{\sqrt2}{2} - i\frac{\sqrt2}{2}\right) = \frac{3\sqrt2}{2} - \frac{3\sqrt2}{2}i$.

Calculer $\left|(1 + i)^4(3 - 4i)\right|$ et $\left|\dfrac{2 + i}{1 - 2i}\right|$.

Premier module :

$(\sqrt2)^4 \times 5 = 4 \times 5 = 20$. $\;\frac{|2 + i|}{|1 - 2i|} = \frac{\sqrt5}{\sqrt5} = 1$.

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que : (a) $|z - 2 + i| = 3$ ; (b) $|z - 1| = |z + i|$ ; (c) $|\bar z + 2i| = 1$.

(a) Cercle de centre $A(2\,;\,-1)$ et de rayon 3.

(b) Avec $A(1)$ et $B(-i)$ : $AM = BM$, c'est la médiatrice de $[AB]$. En coordonnées : $(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y + 1)^2 \iff y = -x$.

Soit $z = 1 + i\sqrt3$. Déterminer le module et un argument de $z$, puis de $z^n$. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z^n$ est-il réel ?

$|z| = 2$, $\arg z = \frac\pi3$. Donc $|z^n| = 2^n$ et $\arg z^n \equiv \frac{n\pi}{3}$. $z^n$ est réel $\iff \frac{n\pi}{3} \equiv 0\ [\pi] \iff n$ est un multiple de 3. Par exemple $z^3 = -8$ et $z^6 = 64$.

On donne $z_1 = 2\left(\cos\frac\pi6 + i\sin\frac\pi6\right)$ et $z_2 = 3\left(\cos\frac\pi3 + i\sin\frac\pi3\right)$. Donner une forme trigonométrique de $z_1z_2$ et de $\dfrac{z_1}{z_2}$, puis la forme algébrique de $z_1z_2$.

$z_1z_2 = 6\left(\cos\frac\pi2 + i\sin\frac\pi2\right) = 6i$. $\;\frac{z_1}{z_2} = \frac23\left(\cos\left(-\frac\pi6\right) + i\sin\left(-\frac\pi6\right)\right)$.

Démontrer que pour tous complexes $z$ et $z'$ : $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$. Interpréter géométriquement. Indication : développer $|z + z'|^2 = (z + z')(\bar z + \bar{z'})$.

$|z + z'|^2 = z\bar z + z\bar{z'} + \bar z z' + z'\bar{z'} = |z|^2 + |z'|^2 + 2\,\mathrm{Re}(z\bar{z'})$ car $\bar z z' = \overline{z\bar{z'}}$. Or $\mathrm{Re}(z\bar{z'}) \leqslant |z\bar{z'}| = |z|\,|z'|$. Donc $|z + z'|^2 \leqslant (|z| + |z'|)^2$ et on conclut (nombres positifs). Géométriquement : dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres.

Montrer que $|z + z'|^2 + |z - z'|^2 = 2\left(|z|^2 + |z'|^2\right)$. Que dit cette égalité sur les diagonales et les côtés d'un parallélogramme ?

D'après l'exercice précédent, $|z \pm z'|^2 = |z|^2 + |z'|^2 \pm 2\,\mathrm{Re}(z\bar{z'})$ ; on additionne. Dans le parallélogramme construit sur $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OM'}$, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés.