Nombres complexes et trigonométrie

La notation $e^{i\theta}$ condense toute la trigonométrie : multiplier des exponentielles, c'est additionner des angles. Les formules d'addition, d'Euler et de Moivre en découlent, et avec elles des méthodes efficaces pour calculer des puissances ou linéariser.

Démontrer et utiliser les formules d'addition et de duplication
Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle
Calculer en choisissant la forme adaptée
Utiliser les formules d'Euler et de Moivre

Cours

1. Formules d'addition et de duplication

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$$\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b \qquad \cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$$ $$\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b \qquad \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\quad\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$. On en déduit les trois autres formules.

Dans un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec \imath, \vec \jmath)$, on considère les vecteurs unitaires $\vec u(\cos a\,;\,\sin a)$ et $\vec v(\cos b\,;\,\sin b)$ : ce sont les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ où $A$ et $B$ sont les points du cercle trigonométrique associés à $a$ et $b$. On calcule $\vec u \cdot \vec v$ de deux façons.

Avec les coordonnées (repère orthonormé) : $\vec u \cdot \vec v = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.
Avec la norme et l'angle : $(\vec \imath, \vec u) = a$ et $(\vec \imath, \vec v) = b$, donc par la relation de Chasles $(\vec v, \vec u) = (\vec v, \vec\imath) + (\vec\imath, \vec u) = a - b$ $[2\pi]$. Ainsi $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(a - b) = \cos(a - b)$ (le cosinus ne dépend pas de l'orientation de l'angle).

D'où $\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

Conséquences. En remplaçant $b$ par $-b$ : $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$. Puis, avec $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ : $$\sin(a + b) = \cos\left(\left(\tfrac\pi2 - a\right) - b\right) = \cos\left(\tfrac\pi2 - a\right)\cos b + \sin\left(\tfrac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b,$$ et enfin $\sin(a - b)$ en remplaçant $b$ par $-b$. $\blacksquare$

Avec $a = b$ : $\;\sin 2a = 2\sin a\cos a\;$ et $\;\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a.$

D'où les formules de linéarisation : $\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$ et $\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}$.

$\cos\frac{\pi}{12} = \cos\left(\frac\pi3 - \frac\pi4\right) = \frac12 \times \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2} \times \frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}$.

2. Exponentielle imaginaire

Pour tout réel $\theta$, on pose $\;e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. C'est le complexe de module 1 et d'argument $\theta$.

Valeurs à connaître : $e^{i0} = 1$, $\;e^{i\pi/2} = i$, $\;e^{i\pi} = -1$, $\;e^{-i\pi/2} = -i$, $\;e^{2i\pi} = 1$.

Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ : $\quad e^{i\theta}\times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.

Conséquences : $\dfrac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}}$, $\;\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')}$, $\;\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$ pour tout entier $n$.

$e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.

$e^{i\theta}e^{i\theta'} = (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta')$, qui vaut $\cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')$ d'après les formules d'addition. $\blacksquare$

C'est la même relation que $e^ae^b = e^{a+b}$ pour l'exponentielle réelle : d'où le choix de la notation.

Tout complexe non nul s'écrit $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg z$. C'est une forme exponentielle de $z$. Les calculs de produits, quotients et puissances y deviennent immédiats :

$$re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta + \theta')} \qquad \frac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} = \frac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')} \qquad \left(re^{i\theta}\right)^n = r^ne^{in\theta} \qquad \overline{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}$$

Pour les sommes : forme algébrique. Pour les produits, quotients, puissances : forme exponentielle.

Exemple : $(1 + i)^{10} = \left(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\right)^{10} = (\sqrt2)^{10}e^{10i\pi/4} = 32e^{5i\pi/2} = 32e^{i\pi/2} = 32i$ (car $\frac{5\pi}{2} = \frac\pi2 + 2\pi$).

La formule $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, publiée par Euler dans son Introductio in analysin infinitorum (1748), donne pour $x = \pi$ l'identité $e^{i\pi} + 1 = 0$, qui relie les cinq constantes les plus célèbres des mathématiques : $0$, $1$, $e$, $i$ et $\pi$. Elle est souvent élue « plus belle formule des mathématiques ».

3. Formules d'Euler

Pour tout réel $\theta$ : $\quad\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\quad$ et $\quad\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

Preuve : on ajoute (ou on soustrait) $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$.

$\cos^3x = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \dfrac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8} = \dfrac{2\cos 3x + 6\cos x}{8} = \dfrac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$ (binôme, puis Euler dans l'autre sens).

On en déduit une primitive, et par exemple $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx = \left[\frac{\sin 3x}{12} + \frac{3\sin x}{4}\right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{12} + \frac34 = \frac23$.

4. Formule de Moivre

Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$ : $\quad(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$, c'est-à-dire $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.

On développe le membre de gauche avec le binôme et on identifie les parties réelles. Avec $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$ :

$$(c + is)^3 = c^3 + 3ic^2s - 3cs^2 - is^3$$

donc $\cos 3\theta = c^3 - 3cs^2 = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$, et $\sin 3\theta = 3c^2s - s^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$.

Abraham de Moivre, mathématicien français réfugié à Londres, utilise dès 1707 la formule qui porte son nom (sous une forme voisine) pour calculer $\cos(n\theta)$. Euler lui donne sa forme moderne grâce à l'exponentielle.

Mini-jeux

Exercices

Écrire sous forme exponentielle : $z_1 = -2 + 2i$, $\;z_2 = -5i$, $\;z_3 = \dfrac{\sqrt6 - i\sqrt2}{2}$.

$z_1 = 2\sqrt2\,e^{3i\pi/4}$ ; $\;z_2 = 5e^{-i\pi/2}$ ; $\;|z_3| = \sqrt{\frac64 + \frac24} = \sqrt2$, $\cos\theta = \frac{\sqrt6}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\theta = -\frac12$ donc $z_3 = \sqrt2\,e^{-i\pi/6}$.

Calculer $(1 - i)^8$ et $\left(\sqrt3 + i\right)^6$.

$(1 - i)^8 =$

$(1 - i)^8 = \left(\sqrt2\,e^{-i\pi/4}\right)^8 = 16e^{-2i\pi} = 16$. $\;\left(2e^{i\pi/6}\right)^6 = 64e^{i\pi} = -64$.

Calculer $\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin\frac{5\pi}{12}$ en écrivant $\frac{5\pi}{12} = \frac\pi4 + \frac\pi6$.

$\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ ; $\;\sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$.

Soit $z_1 = 1 + i$ et $z_2 = \sqrt3 - i$. Calculer $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. En déduire $\cos\frac{5\pi}{12}$.

$\dfrac{\sqrt2\,e^{i\pi/4}}{2e^{-i\pi/6}} = \dfrac{\sqrt2}{2}e^{5i\pi/12}$. Et $\dfrac{(1 + i)(\sqrt3 + i)}{4} = \dfrac{(\sqrt3 - 1) + i(\sqrt3 + 1)}{4}$. En identifiant les parties réelles : $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt3 - 1}{4}$, donc $\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$.

Linéariser $\sin^3 x$ à l'aide des formules d'Euler, puis calculer $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^3x\,dx$.

Intégrale :

$\sin^3x = \dfrac{(e^{ix} - e^{-ix})^3}{(2i)^3} = \dfrac{e^{3ix} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-3ix}}{-8i} = \dfrac{2i\sin 3x - 6i\sin x}{-8i} = \dfrac{3\sin x - \sin 3x}{4}$.

$\displaystyle\int_0^\pi \sin^3x\,dx = \left[-\frac{3\cos x}{4} + \frac{\cos 3x}{12}\right]_0^\pi = \left(\frac34 - \frac{1}{12}\right) - \left(-\frac34 + \frac1{12}\right) = \frac43$.

À l'aide de la formule de Moivre, exprimer $\cos 4\theta$ en fonction de $\cos\theta$.

Partie réelle de $(c + is)^4$ : $c^4 - 6c^2s^2 + s^4 = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1$. Donc $\cos 4\theta = 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1$.

Pour $\theta \not\equiv 0\ [2\pi]$, calculer $\displaystyle S = \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}$ puis $\displaystyle C = \sum_{k=0}^n\cos(k\theta)$. Indication : $1 - e^{ix} = e^{ix/2}\left(e^{-ix/2} - e^{ix/2}\right) = -2i\sin\frac x2\,e^{ix/2}$.

Somme géométrique de raison $e^{i\theta} \neq 1$ : $S = \dfrac{1 - e^{i(n+1)\theta}}{1 - e^{i\theta}} = \dfrac{-2i\sin\frac{(n+1)\theta}{2}e^{i(n+1)\theta/2}}{-2i\sin\frac\theta2 e^{i\theta/2}} = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac\theta2}e^{in\theta/2}$.

En prenant la partie réelle : $C = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\cos\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac\theta2}$.

On définit $z_0 = 4$ et $z_{n+1} = \dfrac{1 + i}{2}z_n$. Exprimer $z_n$ sous forme exponentielle. À partir de quel rang a-t-on $|z_n| < 0{,}01$ ?

Rang :

$\frac{1 + i}{2} = \frac{\sqrt2}{2}e^{i\pi/4}$, donc $z_n = 4\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^ne^{in\pi/4}$. $|z_n| < 0{,}01 \iff \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^n < \frac{1}{400} \iff n > \frac{\ln 400}{\ln\sqrt2} \approx 17{,}3$ : à partir de $n = 18$. Les points tournent d'un huitième de tour à chaque étape en se rapprochant de $O$.