✎ Les méthodes à connaître — Maths de l'enseignement scientifique

1. Repère la population de référence : les mots « parmi les… » ou « sachant que… » indiquent la ligne ou la colonne à laquelle se restreindre.
2. Divise l'effectif de la case par le total de cette ligne ou de cette colonne (et non par l'effectif total).

« Parmi les filles, proportion de cyclistes » : ligne Filles, $\frac{30}{200}$. « Parmi les cyclistes, proportion de filles » : colonne Vélo, $\frac{30}{90}$. Ces deux nombres sont différents !

1. Additionne toutes les valeurs de $x$ et divise par le nombre de points : c'est $\bar x$.
2. Fais de même avec les valeurs de $y$ : c'est $\bar y$.

Points $(1\,;\,3)$, $(2\,;\,5)$, $(4\,;\,6)$, $(5\,;\,10)$ : $\bar x = \frac{12}{4} = 3$, $\bar y = \frac{24}{4} = 6$, donc $G(3\,;\,6)$.

1. Écris l'équation de la droite d'ajustement.
2. Remplace $x$ par la valeur voulue (ou résous $ax + b = y$ si on cherche $x$).
3. Dis s'il s'agit d'une interpolation ($x$ entre la plus petite et la plus grande valeur observée : estimation fiable) ou d'une extrapolation ($x$ en dehors : on suppose que la tendance se poursuit, ce qui peut être faux).

Niveau moyen des océans : l'ajustement $y = 3{,}4x + 2$ ($x$ en années depuis 1993, $y$ en mm) donne en 2030 ($x = 37$) : $3{,}4\times37 + 2 \approx 128$ mm. C'est une extrapolation ; les mesures récentes montrent d'ailleurs une accélération.

1. Premier niveau : $A$ et $\bar A$ avec leurs probabilités ; second niveau : $B$ et $\bar B$ avec les probabilités conditionnelles $P_A(B)$, $P_A(\bar B)$…
2. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
3. Probabilité d'un chemin : on multiplie les probabilités le long du chemin, $P(A \cap B) = P(A)\times P_A(B)$.
4. Probabilité d'un événement : on additionne les chemins qui y mènent, $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar A \cap B)$.

1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$ (tableau, arbre, dénombrement).
2. Compare $P(A \cap B)$ et $P(A)\times P(B)$ (ou $P_B(A)$ et $P(A)$).
3. Égalité : indépendants ; sinon : dépendants.

Dé : $A$ = « pair », $B$ = « au plus 2 ». $P(A) = \frac12$, $P(B) = \frac13$, $A \cap B = \{2\}$, $P(A \cap B) = \frac16 = \frac12\times\frac13$ : indépendants.

1. Un chemin avec $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n - k}$.
2. Compte les chemins qui réalisent l'événement voulu, puis additionne leurs probabilités.
3. « Au moins un succès » : passe par le contraire, $1 - (1 - p)^n$.

Trois tirs au but réussis chacun avec la probabilité $0{,}8$ : exactement deux réussites sur 3 chemins (RRE, RER, ERR) : $3\times0{,}8^2\times0{,}2 = 0{,}384$. Au moins une réussite : $1 - 0{,}2^3 = 0{,}992$.

1. Calcule les différences entre termes consécutifs : $u(1) - u(0)$, $u(2) - u(1)$, …
2. Si elles sont toutes égales à un même nombre $r$, la suite est arithmétique de raison $r$.
3. Dans un énoncé : « augmente de … chaque année », « on ajoute … » indique une suite arithmétique.

1. Calcule $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
2. Calcule $b$ en remplaçant : $f(x_1) = ax_1 + b$.

Celsius → Fahrenheit : 0 °C = 32 °F et 100 °C = 212 °F. $a = \frac{212 - 32}{100 - 0} = 1{,}8$ et $b = 32$ : $F = 1{,}8\,C + 32$. Ainsi 37 °C correspondent à $98{,}6$ °F.

1. Écris l'inéquation : $u(0) + nr > S$ (ou $< S$).
2. Isole $n$ : $n > \dfrac{S - u(0)}{r}$ si $r > 0$ (attention : si on divise par $r < 0$, le sens change).
3. $n$ est un entier : prends le premier entier qui convient, et interprète (année, mois…).

Un abonnement coûte 180 € en 2026 et augmente de 7 € par an. Quand dépasse-t-il 250 € ? $180 + 7n > 250 \iff n > 10$ : pour $n = 11$, c'est-à-dire en 2037. (Pour $n = 10$, il vaut exactement 250 €.)

1. Lis les racines $x_1$ et $x_2$ (attention aux signes : $(x + 3)$ donne la racine $-3$).
2. Calcule l'abscisse du sommet $\frac{x_1 + x_2}{2}$, puis son ordonnée en remplaçant dans $f$.
3. Le signe de $a$ donne l'allure : minimum ($a > 0$) ou maximum ($a < 0$) au sommet.
4. Conclus sur les variations et le signe.

$f(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)$ : racines $-1$ et $5$ ; axe $x = 2$ ; sommet $f(2) = -0{,}5\times3\times(-3) = 4{,}5$ ; $a < 0$ : maximum $4{,}5$ en $x = 2$ ; $f$ croissante sur $]-\infty\,;\,2]$, décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$ ; positive entre $-1$ et $5$.

1. Résous $f(x) = c$, c'est-à-dire $ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0$ : les solutions sont $0$ et $-\frac ba$.
2. Ces deux points de la parabole ont la même ordonnée $c$ : ils sont symétriques par rapport à l'axe.
3. L'axe passe au milieu : $x = \dfrac{0 + \left(-\frac ba\right)}{2}$. On calcule ensuite l'ordonnée du sommet.

$f(x) = x^2 - 6x + 5$ : $f(x) = 5 \iff x(x - 6) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 6$. Axe $x = 3$, sommet $S(3\,;\,f(3)) = (3\,;\,-4)$.

1. Une hausse de $t$ % correspond à la raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ (hausse de 5 % : $q = 1{,}05$).
2. Une baisse de $t$ % correspond à $q = 1 - \frac{t}{100}$ (baisse de 20 % : $q = 0{,}8$).
3. Écris $u(n + 1) = q\,u(n)$, puis $u(n) = u(0)\times q^n$.

Intérêts composés : 2 000 € placés à 3 % par an, les intérêts s'ajoutant au capital : $C(n) = 2\,000\times1{,}03^n$. Au bout de 10 ans : $2\,000\times1{,}03^{10} \approx 2\,688$ €, contre 2 600 € à intérêts simples.

1. Calcule le coefficient multiplicateur global $C = \dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}$ (ou le produit des coefficients).
2. Calcule $C^{1/n}$ à la calculatrice (touche ^, avec $(1/n)$ entre parenthèses).
3. Retire 1 et exprime en pourcentage.

Un prix passe de 80 € à 100 € en 3 ans : $C = 1{,}25$, $1{,}25^{1/3} \approx 1{,}0772$ : hausse moyenne d'environ $7{,}7$ % par an (et non $\frac{25}{3} \approx 8{,}3$ %).

1. Écris l'inéquation : $u(0)\times q^n \geqslant S$.
2. Calcule les termes successifs (calculatrice, tableur, programme) jusqu'à dépasser le seuil, ou lis-le sur la courbe.
3. Réponds par le premier rang qui convient, et interprète.