Probabilités conditionnelles et jeux

Un test médical positif signifie-t-il qu'on est malade ? Faut-il changer de porte au jeu de Monty Hall ? Comment partager équitablement l'argent d'une partie interrompue ? Les probabilités conditionnelles répondent à ces questions, parfois de façon surprenante.

  • Calculer une probabilité conditionnelle (tableau, arbre)
  • Justifier l'indépendance de deux événements
  • Répéter une épreuve de Bernoulli (n ≤ 4)
  • Analyser des jeux de hasard célèbres

Cours

1. Probabilité conditionnelle

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : c'est la probabilité que $B$ se réalise quand on sait que $A$ est réalisé. On se restreint aux issues de $A$.

$P(A \cap B)$ : « $A$ et $B$ » ; $\;P_A(B)$ : « $B$ parmi les issues de $A$ » ; $\;P_B(A)$ : « $A$ parmi les issues de $B$ ». En général, ces trois nombres sont différents. Exemple : la probabilité qu'un joueur de basket professionnel mesure plus de 1,90 m est grande ; la probabilité qu'une personne de plus de 1,90 m soit joueur professionnel est minuscule.

  1. Premier niveau : $A$ et $\bar A$ avec leurs probabilités ; second niveau : $B$ et $\bar B$ avec les probabilités conditionnelles $P_A(B)$, $P_A(\bar B)$…
  2. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
  3. Probabilité d'un chemin : on multiplie les probabilités le long du chemin, $P(A \cap B) = P(A)\times P_A(B)$.
  4. Probabilité d'un événement : on additionne les chemins qui y mènent, $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar A \cap B)$.

2. Tests médicaux : faux positifs et faux négatifs

Un test peut se tromper : un faux positif est une personne saine dont le test est positif ; un faux négatif, une personne malade dont le test est négatif. La sensibilité est $P_M(T)$ (le test détecte les malades), la spécificité est $P_{\bar M}(\bar T)$ (il reconnaît les personnes saines).

Maladie touchant 2 % de la population ; sensibilité 95 %, spécificité 90 %. Sur 10 000 personnes : 200 malades, dont 190 testés positifs ; 9 800 saines, dont 980 testées positives. Parmi les $190 + 980 = 1\,170$ positifs, seulement 190 sont malades : $P_T(M) = \frac{190}{1170} \approx 16\,\%$. Un test positif ne suffit pas : on confirme par un second test.

3. Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ (avec $P(B) \neq 0$) sont indépendants si savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$ : $P_B(A) = P(A)$. Cela revient à $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$.

  1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$ (tableau, arbre, dénombrement).
  2. Compare $P(A \cap B)$ et $P(A)\times P(B)$ (ou $P_B(A)$ et $P(A)$).
  3. Égalité : indépendants ; sinon : dépendants.

Dé : $A$ = « pair », $B$ = « au plus 2 ». $P(A) = \frac12$, $P(B) = \frac13$, $A \cap B = \{2\}$, $P(A \cap B) = \frac16 = \frac12\times\frac13$ : indépendants.

4. Répétition d'épreuves de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec ($1 - p$). On la répète $n$ fois de façon identique et indépendante (tirages avec remise, lancers successifs) ; on représente la situation par un arbre à $2^n$ chemins.

  1. Un chemin avec $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n - k}$.
  2. Compte les chemins qui réalisent l'événement voulu, puis additionne leurs probabilités.
  3. « Au moins un succès » : passe par le contraire, $1 - (1 - p)^n$.

Trois tirs au but réussis chacun avec la probabilité $0{,}8$ : exactement deux réussites sur 3 chemins (RRE, RER, ERR) : $3\times0{,}8^2\times0{,}2 = 0{,}384$. Au moins une réussite : $1 - 0{,}2^3 = 0{,}992$.

5. Jeux et paradoxes célèbres

Trois portes : une voiture, deux chèvres. Tu choisis une porte ; le présentateur, qui sait tout, ouvre une autre porte cachant une chèvre et te propose de changer. En gardant, tu gagnes si ton premier choix était le bon : $P = \frac13$. En changeant, tu gagnes dès que ton premier choix était mauvais : $P = \frac23$. Il faut changer !

On lance deux fois une pièce ; on gagne si « face » (croix) apparaît au moins une fois. D'Alembert pensait que la probabilité était $\frac23$ (trois cas : F, PF, PP, en arrêtant dès qu'on obtient F). Mais ces cas ne sont pas équiprobables : les quatre issues FF, FP, PF, PP le sont, et trois sont gagnantes : $P = \frac34$.

Avec trois dés, les sommes 9 et 10 s'obtiennent chacune de 6 façons (sans ordre). Pourtant les joueurs constataient que 10 sort plus souvent. Galilée explique : avec des dés discernables, 10 s'obtient de 27 façons sur $6^3 = 216$, et 9 de 25 façons. $P(10) = \frac{27}{216} \approx 0{,}125 > P(9) \approx 0{,}116$.

À pierre-feuille-ciseaux, si l'adversaire joue au hasard (chaque coup avec probabilité $\frac13$), toute stratégie gagne avec probabilité $\frac13$ : jouer au hasard est la stratégie qui ne peut pas être exploitée. Le lièvre et la tortue : on lance un dé ; sur un 6 le lièvre gagne, sinon la tortue avance d'une case ; la tortue gagne après 4 cases. $P(\text{tortue}) = \left(\frac56\right)^4 \approx 0{,}48$ : le jeu est presque équitable, légèrement favorable au lièvre.

Deux joueurs misent 32 pistoles chacun ; le premier à 3 manches gagnées remporte les 64 pistoles. La partie s'arrête alors que A mène 2 à 1. Comment partager ? Pascal et Fermat raisonnent sur ce qui aurait pu se passer : à la manche suivante, A gagne avec probabilité $\frac12$ ; sinon, 2-2 et la dernière manche décide. $P(\text{A gagne}) = \frac12 + \frac12\times\frac12 = \frac34$. Partage équitable : 48 pistoles pour A, 16 pour B. Cette correspondance fonde le calcul des probabilités.

Mini-jeux

Exercices

Dans un lycée de 500 élèves : 300 sont en Première générale, dont 180 font de l'anglais renforcé ; parmi les 200 autres, 60 font de l'anglais renforcé. On choisit un élève au hasard. Calculer $P(\text{AR})$, puis la probabilité qu'un élève de Première générale fasse de l'anglais renforcé.

$P(\text{AR}) = \frac{180 + 60}{500} = 0{,}48$. $P_{\text{1G}}(\text{AR}) = \frac{180}{300} = 0{,}6$.

60 % des clients d'un magasin sont des habitués ; 70 % des habitués achètent quelque chose, contre 30 % des autres. Construire l'arbre et calculer la probabilité qu'un client achète.

$P(\text{achat}) =$

$0{,}6\times0{,}7 + 0{,}4\times0{,}3 = 0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54$.

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. $A$ = « la carte est un cœur », $B$ = « la carte est un roi ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

$P(A) = \frac{8}{32} = \frac14$, $P(B) = \frac{4}{32} = \frac18$, $P(A \cap B) = \frac{1}{32} = \frac14\times\frac18$ : oui, indépendants.

On lance 4 fois une pièce équilibrée. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 « pile », puis au moins un « pile ».

16 chemins équiprobables ; 6 avec exactement 2 « pile » (PPFF, PFPF, PFFP, FPPF, FPFP, FFPP) : $\frac{6}{16} = \frac38$. Au moins un pile : $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Une maladie touche 0,5 % de la population. Le test a une sensibilité de 98 % et une spécificité de 97 %. Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? (Raisonner sur 100 000 personnes.)

500 malades, dont 490 positifs ; 99 500 sains, dont 3 % = 2 985 positifs. $P_T(M) = \frac{490}{490 + 2985} = \frac{490}{3475} \approx 0{,}14$ : seulement 14 %.