Variation exponentielle

Un capital placé à intérêts composés, une épidémie à ses débuts, un médicament éliminé par l'organisme, la datation au carbone 14 : quand une grandeur est multipliée par le même nombre à chaque étape, elle varie de façon exponentielle. Une croissance d'abord discrète… puis explosive.

  • Reconnaître une croissance ou décroissance exponentielle
  • Calculer un terme d'une suite géométrique
  • Calculer un taux d'évolution moyen
  • Résoudre un problème de seuil, estimer un ordre de grandeur

Cours

1. Suites géométriques

Une suite $u$ à termes strictement positifs est géométrique de raison $q > 0$ si, pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par $q$ : $\;u(n + 1) = q\times u(n)$.

$u(n) = u(0)\times q^n$. Si $q > 1$, la suite est croissante ; si $0 < q < 1$, décroissante ; si $q = 1$, constante.

  1. Une hausse de $t$ % correspond à la raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ (hausse de 5 % : $q = 1{,}05$).
  2. Une baisse de $t$ % correspond à $q = 1 - \frac{t}{100}$ (baisse de 20 % : $q = 0{,}8$).
  3. Écris $u(n + 1) = q\,u(n)$, puis $u(n) = u(0)\times q^n$.

Intérêts composés : 2 000 € placés à 3 % par an, les intérêts s'ajoutant au capital : $C(n) = 2\,000\times1{,}03^n$. Au bout de 10 ans : $2\,000\times1{,}03^{10} \approx 2\,688$ €, contre 2 600 € à intérêts simples.

2. Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Pour $a > 0$, on sait calculer $a^n$ pour $n$ entier. On définit aussi $a^x$ pour tout réel $x \geqslant 0$ (et même négatif), en « remplissant » les trous entre les points de la suite géométrique : par exemple $a^{0{,}5} = \sqrt a$, la moyenne géométrique de $a^0 = 1$ et $a^1 = a$. La fonction $x \mapsto a^x$ est une fonction exponentielle (calculatrice : touche ^).

  • $a^0 = 1$, $a^1 = a$, $a^x > 0$ ;
  • $a^{x + y} = a^x\times a^y$ ; $\;a^{x - y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ ; $\;(a^x)^y = a^{xy}$ ; $\;a^{\frac1n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$.
  • Si $a > 1$, $x \mapsto a^x$ est croissante ; si $0 < a < 1$, elle est décroissante.

Un capital de 1 000 € placé à 4 % par an vaut, au bout d'un an et demi, $1\,000\times1{,}04^{1{,}5} \approx 1\,060{,}60$ €. Radioactivité : au bout d'une fraction $x$ de demi-vie, il reste la proportion $0{,}5^x$ des noyaux ; après un quart de demi-vie, $0{,}5^{0{,}25} \approx 84\,\%$.

3. Taux d'évolution moyen

Si une grandeur est multipliée globalement par $C$ en $n$ étapes, le taux d'évolution moyen $t$ par étape vérifie $(1 + t)^n = C$, soit $$1 + t = C^{\frac1n}.$$

  1. Calcule le coefficient multiplicateur global $C = \dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}$ (ou le produit des coefficients).
  2. Calcule $C^{1/n}$ à la calculatrice (touche ^, avec $(1/n)$ entre parenthèses).
  3. Retire 1 et exprime en pourcentage.

Un prix passe de 80 € à 100 € en 3 ans : $C = 1{,}25$, $1{,}25^{1/3} \approx 1{,}0772$ : hausse moyenne d'environ $7{,}7$ % par an (et non $\frac{25}{3} \approx 8{,}3$ %).

4. Seuils et ordres de grandeur

  1. Écris l'inéquation : $u(0)\times q^n \geqslant S$.
  2. Calcule les termes successifs (calculatrice, tableur, programme) jusqu'à dépasser le seuil, ou lis-le sur la courbe.
  3. Réponds par le premier rang qui convient, et interprète.
pop = 1000
taux = 0.05        # +5 % par an
n = 0
while pop < 2000:
    pop = pop * (1 + taux)
    n = n + 1
print("doublement au bout de", n, "ans :", round(pop))

Une suite géométrique de raison $q > 1$ finit toujours par dépasser n'importe quelle suite arithmétique, même si elle part de plus bas. Règle de 70 : à $t$ % par an, une quantité double en environ $\frac{70}{t}$ ans (3,5 % : environ 20 ans). En 50 ans à 7 %, elle est multipliée par environ $1{,}07^{50} \approx 29$ : un ordre de grandeur de 30.

Si chaque malade contamine en moyenne $R_0 = 3$ personnes par « génération » de contamination, le nombre de nouveaux cas est multiplié par 3 à chaque génération : $3^{10} = 59\,049$ nouveaux cas à la 10e génération pour un seul malade au départ. Si $R_0 < 1$, l'épidémie décroît. Les mesures sanitaires visent à faire passer $R$ sous 1.

En 1798, Thomas Malthus compare une population qui croît de façon géométrique (1, 2, 4, 8…) et des ressources qui croissent de façon arithmétique (1, 2, 3, 4…) : il en déduit des famines inévitables. Ses prévisions ont été démenties par les progrès agricoles, mais la comparaison des deux modèles reste un outil précieux.

Mini-jeux

Exercices

$u(0) = 500$ et $u(n + 1) = 0{,}9\,u(n)$. Calculer $u(1)$, $u(2)$ et $u(5)$ (arrondi à l'unité). La suite est-elle croissante ?

$u(1) = 450$, $u(2) = 405$, $u(5) = 500\times0{,}9^5 \approx 295$. Raison $0{,}9 < 1$ : décroissante.

On place 3 000 € à 2,5 % par an (intérêts composés). Quel est le capital au bout de 8 ans (au centime près) ?

Capital : €

$3\,000\times1{,}025^8 \approx 3\,655{,}21$ €.

La population d'une ville est passée de 42 000 à 50 000 habitants en 6 ans. Calculer le taux d'évolution annuel moyen (au dixième de pourcent).

$C = \frac{50\,000}{42\,000} \approx 1{,}1905$ ; $C^{1/6} \approx 1{,}0295$ : environ $+3{,}0$ % par an.

Après une injection de 80 mg, l'organisme élimine 15 % du médicament chaque heure. Au bout de combien d'heures reste-t-il moins de 20 mg ?

$q(n) = 80\times0{,}85^n$. $q(8) \approx 21{,}8$ et $q(9) \approx 18{,}5$ : il faut 9 heures.

Deux offres d'emploi : A : 2 000 € par mois la première année, puis +100 € chaque année ; B : 1 800 € par mois, puis +6 % chaque année. À partir de quelle année le salaire B dépasse-t-il le salaire A ?

$A(n) = 2\,000 + 100n$ et $B(n) = 1\,800\times1{,}06^n$ ($n = 0$ pour la première année). $A(5) = 2\,500$ et $B(5) \approx 2\,409$ ; $A(6) = 2\,600$ et $B(6) \approx 2\,553$ ; $A(7) = 2\,700$ et $B(7) \approx 2\,707$ : B dépasse A la 8e année ($n = 7$).