∑ Formulaire de Terminale (spécialité)
Les formules et théorèmes à connaître pour le baccalauréat, regroupés par thème. Les formules de Première (second degré, dérivées usuelles, produit scalaire…) restent indispensables.
Dénombrement
| $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments | $n^k$ |
| $k$-uplets d'éléments distincts | $n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n - k)!}$ |
| Permutations | $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ ($0! = 1$) |
| Combinaisons | $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ ; $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n - k}$ |
| Relation de Pascal | $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$ |
| Parties d'un ensemble | $\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n$ |
Géométrie dans l'espace (repère orthonormé)
| Produit scalaire | $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz'$ ; $\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ |
| Droite passant par $A$, dirigée par $\vec u(a\,;\,b\,;\,c)$ | $\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}$ ($t \in \mathbb{R}$) |
| Plan de vecteur normal $\vec n(a\,;\,b\,;\,c)$ | $ax + by + cz + d = 0$ |
| Vecteur normal | $\vec n$ est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan |
| Droite orthogonale à un plan | elle est dirigée par un vecteur normal au plan |
| Projeté orthogonal | $H$ projeté de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ : $H \in \mathcal{P}$ et $\overrightarrow{MH}$ colinéaire à $\vec n$ ; distance de $M$ à $\mathcal{P}$ : $MH$ |
| Volume d'un tétraèdre | $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ |
Suites et limites
| Suite géométrique $q^n$ | $q > 1$ : $\lim q^n = +\infty$ ; $-1 < q < 1$ : $\lim q^n = 0$ ; $q = 1$ : $1$ |
| Comparaison | si $u_n \leqslant v_n$ et $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$ |
| Gendarmes | si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$ |
| Suites monotones | croissante et majorée (ou décroissante et minorée) $\Rightarrow$ convergente |
| Récurrence | initialisation $\mathcal{P}(n_0)$ ; hérédité $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$ ; conclusion |
| Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ | si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$ |
Limites de fonctions
| Croissances comparées en $+\infty$ | $\lim \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty$ ; $\lim \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ ; $\lim x^n\mathrm{e}^{-x} = 0$ |
| En $-\infty$ et en $0$ | $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^x = 0$ ; $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n\ln x = 0$ ($n \geqslant 1$) |
| Limites de référence | $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{x} = 1$ ; $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ ; $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ |
| Asymptotes | $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ : asymptote horizontale $y = \ell$ ; $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : asymptote verticale $x = a$ |
| Formes indéterminées | $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$ : factoriser, simplifier, croissances comparées |
Dérivation et convexité
| Composée | $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$ |
| Formules usuelles | $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$ ; $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ ; $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$ |
| Trigonométrie | $(\cos u)' = -u'\sin u$ ; $(\sin u)' = u'\cos u$ |
| Convexité | $f$ convexe sur $I \iff f'$ croissante $\iff f'' \geqslant 0$ ; courbe au-dessus de ses tangentes |
| Point d'inflexion | la courbe traverse sa tangente ; $f''$ s'annule en changeant de signe |
Continuité
| Valeurs intermédiaires | $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ : tout réel $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ a au moins un antécédent |
| Corollaire (bijection) | si de plus $f$ est strictement monotone, l'équation $f(x) = k$ a une unique solution dans $[a\,;\,b]$ |
Logarithme népérien
| Définition | pour $x > 0$ : $y = \ln x \iff \mathrm{e}^y = x$ ; $\mathrm{e}^{\ln x} = x$, $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ |
| Valeurs | $\ln 1 = 0$ ; $\ln \mathrm{e} = 1$ ; $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$ |
| Propriétés ($a, b > 0$) | $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ ; $\ln\dfrac{1}{a} = -\ln a$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt a = \frac12\ln a$ |
| Dérivée, limites | $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ ; $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ |
| Équations, inéquations | $\ln a = \ln b \iff a = b$ ; $\ln a < \ln b \iff a < b$ ; $q^n \leqslant s \iff n\ln q \leqslant \ln s$ |
Fonctions sinus et cosinus
| Parité, période | $\cos$ paire, $\sin$ impaire ; toutes deux $2\pi$-périodiques |
| Dérivées | $\cos' = -\sin$ ; $\sin' = \cos$ |
| Équations | $\cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ ; $\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ |
Primitives
| Fonctions usuelles | $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$) ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ ($x > 0$) ; $\dfrac{1}{x^2} \to -\dfrac{1}{x}$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos \to \sin$ ; $\sin \to -\cos$ |
| Formes composées | $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$) ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u$ |
| Affine | $\mathrm{e}^{ax + b} \to \dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax + b}$ |
Équations différentielles
| $y' = ay$ | $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$ |
| $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) | $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$ ; solution constante $-\dfrac{b}{a}$ |
| $y' = f$ | les solutions sont les primitives de $f$ |
| Condition initiale | une seule solution vérifie $y(x_0) = y_0$ |
Calcul intégral
| Avec une primitive | $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$ |
| Propriétés | linéarité ; Chasles $\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c$ ; $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b] \Rightarrow \int_a^b f \geqslant 0$ |
| Aire | si $f \geqslant 0$ : aire sous la courbe $= \int_a^b f$ ; entre deux courbes ($f \geqslant g$) : $\int_a^b (f - g)$ |
| Intégration par parties | $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$ |
| Valeur moyenne | $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ |
Loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$
| Situation | $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ; $X$ = nombre de succès |
| Probabilités | $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$ ; $P(X \geqslant 1) = 1 - (1 - p)^n$ |
| Paramètres | $E(X) = np$ ; $V(X) = np(1 - p)$ ; $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$ |
Sommes de variables aléatoires, concentration
| Linéarité | $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ ; $E(aX) = aE(X)$ ; $V(aX) = a^2V(X)$ |
| Indépendance | $X$, $Y$ indépendantes : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ |
| Échantillon de taille $n$ | $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ : $E(S_n) = nE(X)$, $V(S_n) = nV(X)$ ; $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ : $E(M_n) = E(X)$, $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ |
| Bienaymé-Tchebychev | $P\left(|X - E(X)| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ ($\delta > 0$) |
| Inégalité de concentration | $P\left(|M_n - E(X)| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{V(X)}{n\delta^2}$ |
| Loi des grands nombres | pour tout $\delta > 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} P\left(|M_n - E(X)| \geqslant \delta\right) = 0$ |