∑ Formulaire de Première (spécialité)
Les formules et résultats à connaître, regroupés par thème. Pour l'épreuve anticipée, pense aussi aux automatismes : calcul sur les fractions et les puissances, pourcentages et évolutions.
Suites arithmétiques
| Définition | $u_{n+1} = u_n + r$ |
| Terme général | $u_n = u_0 + nr$ ; $u_n = u_p + (n - p)r$ |
| Somme des entiers | $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ |
| Somme de termes consécutifs | $\text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ |
| Variations | croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$ |
Suites géométriques
| Définition | $u_{n+1} = q\,u_n$ |
| Terme général | $u_n = u_0 \times q^n$ ; $u_n = u_p \times q^{n - p}$ |
| Somme ($q \neq 1$) | $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ |
| Somme de termes consécutifs | $\text{premier} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ |
| Variations ($u_0 > 0$) | croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$ |
| Arithmético-géométrique | $u_{n+1} = au_n + b$ : on étudie $v_n = u_n - \ell$ avec $\ell = a\ell + b$ ; $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ |
Second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$
| Discriminant | $\Delta = b^2 - 4ac$ |
| $\Delta > 0$ | deux racines $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ |
| $\Delta = 0$ | une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; $f(x) = a(x - x_0)^2$ |
| $\Delta < 0$ | pas de racine réelle ; pas de factorisation |
| Forme canonique | $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, $\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}$ ; sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$ |
| Somme et produit | $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ; $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ |
| Signe | du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ entre elles (partout du signe de $a$ si $\Delta < 0$) |
Dérivation
| Nombre dérivé | $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ |
| Tangente en $a$ | $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ |
| Fonctions usuelles | $(k)' = 0$ ; $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ ; $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$ |
| Opérations | $(u + v)' = u' + v'$ ; $(ku)' = ku'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ |
| Quotients | $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| Composée affine | $\left(g(ax + b)\right)' = a\,g'(ax + b)$ |
| Variations | $f' \geqslant 0$ sur $I$ : $f$ croissante ; $f' \leqslant 0$ : décroissante ; extremum local en $a$ si $f'$ s'annule en changeant de signe |
Fonction exponentielle
| Définition | unique fonction telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$ ; $\mathrm{e} = \exp(1) \approx 2{,}718$ |
| Propriétés algébriques | $\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a\mathrm{e}^b$ ; $\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^a}$ ; $\mathrm{e}^{a-b} = \dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}$ ; $(\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}$ |
| Signe, variations | $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout $x$ ; $\exp$ est strictement croissante |
| Équations, inéquations | $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ ; $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ |
| Dérivée | $\left(\mathrm{e}^{kx}\right)' = k\,\mathrm{e}^{kx}$ ; $\left(\mathrm{e}^{ax + b}\right)' = a\,\mathrm{e}^{ax + b}$ |
| Suites | $\left(\mathrm{e}^{na}\right)$ est géométrique de raison $\mathrm{e}^a$ |
Trigonométrie
| Radian | $\pi \text{ rad} = 180°$ ; longueur d'arc $= r\theta$ |
| Relation fondamentale | $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ; $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ |
| Valeurs remarquables | $\cos 0 = 1$, $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$, $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ ; $\sin 0 = 0$, $\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$, $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ |
| Angles associés | $\cos(-x) = \cos x$ ; $\sin(-x) = -\sin x$ ; $\cos(\pi - x) = -\cos x$ ; $\sin(\pi - x) = \sin x$ ; $\cos(\pi + x) = -\cos x$ ; $\sin(\pi + x) = -\sin x$ |
| Périodicité | $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ ($k \in \mathbb{Z}$) |
Produit scalaire
| Avec l'angle | $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u, \vec v)$ |
| En repère orthonormé | $\vec u(x\,;\,y) \cdot \vec v(x'\,;\,y') = xx' + yy'$ |
| Avec les normes | $\vec u \cdot \vec v = \frac12\left(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\right)$ ; $\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2$ |
| Projeté orthogonal | $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ ($H$ projeté de $C$ sur $(AB)$) |
| Orthogonalité | $\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$ |
| Al-Kashi | $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos \hat{A}$ |
| Identités | $\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2$ ; $(\vec u + \vec v)\cdot(\vec u - \vec v) = \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2$ |
Géométrie repérée (repère orthonormé)
| Droite de vecteur normal $\vec n(a\,;\,b)$ | $ax + by + c = 0$ |
| Cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$, de rayon $r$ | $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ |
| Cercle de diamètre $[AB]$ | $M$ sur le cercle $\iff \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ |
| Parabole $y = ax^2 + bx + c$ | axe de symétrie $x = -\dfrac{b}{2a}$ ; tournée vers le haut si $a > 0$ |
Probabilités conditionnelles
| Définition | $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ |
| Probabilités totales | $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A)P_A(B) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$ |
| Arbre pondéré | la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ ; probabilité d'un chemin = produit des probabilités |
| Indépendance | $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \iff P_A(B) = P(B)$ |
| Épreuves de Bernoulli | succès de probabilité $p$ ; pour $n$ épreuves indépendantes, $P(\text{aucun succès}) = (1 - p)^n$ |
Variables aléatoires
| Espérance | $E(X) = \sum x_i\,P(X = x_i)$ |
| Variance | $V(X) = \sum P(X = x_i)\,(x_i - E(X))^2 = E(X^2) - E(X)^2$ (König-Huygens) |
| Écart type | $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ |
| Transformation affine | $E(aX + b) = aE(X) + b$ ; $V(aX + b) = a^2V(X)$ |
| Jeu équitable | l'espérance du gain algébrique est nulle |
Python : listes
| Créer | L = [1, 4, 9] ; L = [k**2 for k in range(10)] |
| Utiliser | len(L), L[0] (premier), L[-1] (dernier), L.append(x), sum(L) |