Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Dans l'espace, une droite se décrit par un paramètre (on la « parcourt »), un plan par une seule équation. On sait alors calculer des intersections en résolvant des systèmes.
- Écrire une représentation paramétrique de droite
- Écrire une équation cartésienne de plan
- Déterminer l'intersection droite / plan
- Étudier deux plans, deux droites
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$.
Cours
1. Représentation paramétrique d'une droite
La droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(a;b;c)$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\vec u$ pour un réel $t$ : $$\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}\qquad t \in \mathbb{R}.$$
Une droite a une infinité de représentations paramétriques (on peut changer de point et de vecteur directeur).
$\mathcal{D} : x = 1 + 2t,\ y = -t,\ z = 3 + t$. Le point $B(5;-2;5)$ ? La première équation donne $t = 2$ ; alors $y = -2$ ✓ et $z = 5$ ✓ : $B \in \mathcal{D}$.
2. Équation cartésienne d'un plan
Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
$M(x;y;z) \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n = 0$ (caractérisation d'un plan par un point et un vecteur normal).
Or $\overrightarrow{AM}(x - x_A;\,y - y_A;\,z - z_A)$, donc, dans un repère orthonormé : $$\overrightarrow{AM}\cdot\vec n = a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = ax + by + cz + d\quad\text{avec}\quad d = -(ax_A + by_A + cz_A).$$
Ainsi $M \in \mathcal{P} \iff ax + by + cz + d = 0$. $\blacksquare$
Si $(a;b;c) \neq (0;0;0)$, l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $ax + by + cz + d = 0$ est un plan de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$.
Plan passant par $A(1;-2;3)$ de vecteur normal $\vec n(2;1;-1)$ : $2x + y - z + d = 0$ et $2 - 2 - 3 + d = 0$ donne $d = 3$. $\;\mathcal{P} : 2x + y - z + 3 = 0$.
3. Intersections
On remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique dans l'équation du plan : on obtient une équation en $t$.
- Une solution unique : la droite coupe le plan en un point.
- Aucune solution : droite strictement parallèle au plan.
- Tout $t$ convient : droite incluse dans le plan.
Critère rapide : $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec u\cdot\vec n = 0$.
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Sinon, ils sont sécants selon une droite : on résout le système des deux équations en prenant une variable comme paramètre.
Exemple : $x + y + z = 1$ et $x - y = 3$. On pose $y = t$ : $x = 3 + t$, $z = 1 - x - y = -2 - 2t$. Droite passant par $(3;0;-2)$ dirigée par $(1;1;-2)$.
On cherche $t$ et $s$ tels que les deux représentations donnent le même point (système de 3 équations à 2 inconnues). Pas de solution et vecteurs directeurs non colinéaires : les droites sont non coplanaires.
Distance d'un point $M_0$ au plan $ax + by + cz + d = 0$ : $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Une sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$.
Mini-jeux
Exercices
Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ avec $A(2;0;-1)$ et $B(3;2;1)$. Le point $C(5;6;5)$ est-il sur $(AB)$ ?
$\overrightarrow{AB}(1;2;2)$ : $x = 2 + t$, $y = 2t$, $z = -1 + 2t$. Pour $C$ : $t = 3$ donne $(5;6;5)$ ✓.
Équation du plan passant par $A(0;1;2)$ et orthogonal à la droite dirigée par $\vec u(3;-1;2)$.
Valeur de $d$ dans $3x - y + 2z + d = 0$ :
$\vec u$ est normal : $3x - y + 2z + d = 0$ ; $0 - 1 + 4 + d = 0$, $d = -3$.
$\mathcal{P} : x + 2y - z - 4 = 0$ et $\mathcal{D} : x = 1 + t,\ y = 2 - t,\ z = 3t$. Déterminer $\mathcal{D} \cap \mathcal{P}$.
$(1 + t) + 2(2 - t) - 3t - 4 = 0 \iff 1 - 4t = 0 \iff t = \frac14$. Point $\left(\frac54;\frac74;\frac34\right)$.
La droite $x = 2t,\ y = 1 + t,\ z = -t$ est-elle parallèle au plan $x - y + z = 5$ ? Est-elle incluse dans ce plan ?
$\vec u(2;1;-1)$, $\vec n(1;-1;1)$ : $2 - 1 - 1 = 0$, parallèle. Le point $(0;1;0)$ donne $0 - 1 + 0 = -1 \neq 5$ : strictement parallèle (non incluse).
Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M(3;1;4)$ sur le plan $\mathcal{P} : x + y + 2z - 2 = 0$, puis la distance de $M$ à $\mathcal{P}$.
La droite passant par $M$ dirigée par $\vec n(1;1;2)$ : $(3 + t;1 + t;4 + 2t)$. Dans $\mathcal{P}$ : $3 + t + 1 + t + 8 + 4t - 2 = 0 \iff 6t = -10 \iff t = -\frac53$. $H\left(\frac43;-\frac23;\frac23\right)$, $MH = \frac53\|\vec n\| = \frac{5\sqrt6}{3}$.
$\mathcal{D}_1 : (t;\,1 + t;\,2t)$ et $\mathcal{D}_2 : (1 + s;\,-s;\,3)$. Montrer qu'elles ne sont pas coplanaires.
Vecteurs $(1;1;2)$ et $(1;-1;0)$ non colinéaires. Système : $t = 1 + s$, $1 + t = -s$, $2t = 3$ : $t = \frac32$ donne $s = \frac12$ et $1 + \frac32 = -\frac12$, faux. Pas de point commun ni parallélisme : non coplanaires.