Primitives et équations différentielles
Retrouver une fonction à partir de sa dérivée : c'est le problème inverse de la dérivation. Il permet de résoudre les équations différentielles, qui modélisent l'évolution de très nombreux phénomènes.
- Déterminer une primitive
- Résoudre $y' = f$ et $y' = ay$
- Résoudre $y' = ay + b$
- Modéliser par une équation différentielle
Cours
1. Équations différentielles et primitives
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$, et qui fait intervenir sa dérivée $y'$. Une solution sur $I$ est une fonction dérivable sur $I$ qui vérifie l'égalité pour tout $x \in I$.
Exemple : $y' = 2x$ admet pour solutions $x \mapsto x^2 + C$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. Autrement dit, $F$ est solution de l'équation $y' = f$.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle (démontré en partie au chapitre « Calcul intégral »).
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle.
Pour toute constante $C$, $(F + C)' = F' = f$ : $F + C$ est une primitive de $f$.
Réciproquement, soit $G$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors $(G - F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle $I$, donc $G - F$ est constante sur $I$ : il existe $C$ tel que $G = F + C$. $\blacksquare$
Pour $x_0 \in I$ et $y_0$ réel, il existe une unique primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0) = y_0$.
2. Calcul de primitives
| $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Intervalle |
|---|---|---|
| $k$ | $kx$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ | $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$) |
| $\dfrac1x$ | $\ln x$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt x}$ | $2\sqrt x$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
$u'e^u \to e^u$ ; $\quad\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$) ; $\quad u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\quad\dfrac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u$ ; $\quad u'\cos u \to \sin u$.
Linéarité : une primitive de $af + bg$ est $aF + bG$.
$f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ : $F(x) = x^3 - 2x^2 + x$. $\;g(x) = xe^{x^2} = \frac12 \times 2xe^{x^2}$ : $G(x) = \frac12e^{x^2}$. $\;h(x) = \frac{x}{x^2 + 1} = \frac12\cdot\frac{2x}{x^2 + 1}$ : $H(x) = \frac12\ln(x^2 + 1)$.
Toujours vérifier en dérivant : c'est rapide et évite la plupart des erreurs de coefficient.
3. L'équation y' = ay
Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.
Pour tout réel $C$, $f(x) = Ce^{ax}$ vérifie $f'(x) = aCe^{ax} = af(x)$ : c'est une solution.
Réciproquement, soit $f$ une solution. Posons $g(x) = f(x)e^{-ax}$ (l'exponentielle ne s'annule pas). Alors $$g'(x) = f'(x)e^{-ax} - af(x)e^{-ax} = \big(f'(x) - af(x)\big)e^{-ax} = 0.$$
$g$ est donc constante sur $\mathbb{R}$ : $g(x) = C$, d'où $f(x) = Ce^{ax}$. $\blacksquare$
Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution de $y' = ay$ telle que $y(x_0) = y_0$ : $y(x) = y_0e^{a(x - x_0)}$.
4. L'équation y' = ay + b
- La fonction constante $x \mapsto -\dfrac{b}{a}$ est une solution particulière.
- Les solutions sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, $C \in \mathbb{R}$ (solution de $y' = ay$ + solution particulière).
$y$ est solution $\iff y' = ay + b \iff y' = a\left(y + \frac ba\right) \iff z' = az$ avec $z = y + \frac ba$ (car $z' = y'$) $\iff z = Ce^{ax} \iff y = Ce^{ax} - \frac ba$.
Un café à 80 °C refroidit dans une pièce à 20 °C selon $T' = -0{,}1(T - 20)$, soit $T' = -0{,}1T + 2$. Solutions : $T(t) = Ce^{-0{,}1t} + 20$ ; avec $T(0) = 80$ : $C = 60$, $T(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20$. La température tend vers 20 °C.
Pour $y' = ay + f$ ($f$ fonction), on cherche une solution particulière $y_p$ (de forme suggérée par l'énoncé), puis les solutions sont $Ce^{ax} + y_p$.
Méthodes à connaître
- Reconnais une forme du tableau : $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$, $\frac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$), $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$, $\frac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u$.
- Ajuste les constantes : si l'expression vaut $k\times u'\times\dots$, multiplie la primitive par $k$.
- Vérifie en dérivant.
Exemple. $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ : $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$, $f = \frac12\frac{u'}{u}$, donc $F(x) = \frac12\ln(x^2 + 1)$.
- Solution particulière constante : $y_p = -\dfrac ba$.
- Solution générale : $y(x) = C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac ba$.
- Remplace $x$ par la valeur de la condition initiale pour trouver $C$.
Exemple. $y' = 3y - 6$, $y(0) = 5$ : $y = C\mathrm{e}^{3x} + 2$, $C + 2 = 5$, $y = 3\mathrm{e}^{3x} + 2$.
- Calcule $f'$.
- Calcule séparément chaque membre de l'équation différentielle.
- Montre qu'ils sont égaux pour tout $x$ de l'intervalle.
Mini-jeux
Exercices
Déterminer une primitive de : $f_1(x) = 4x^3 - 6x + 2$ ; $\;f_2(x) = e^{3x}$ ; $\;f_3(x) = \frac{2}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ; $\;f_4(x) = \frac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
$x^4 - 3x^2 + 2x$ ; $\;\frac13e^{3x}$ ; $\;2\ln x$ ; $\;-\frac1x$.
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2x + \cos x$ telle que $F(0) = 3$.
$F(x) = x^2 + \sin x + C$, $F(0) = C = 3$ : $F(x) = x^2 + \sin x + 3$.
Primitives de : $g_1(x) = (2x + 1)^4$ ; $\;g_2(x) = \dfrac{3x^2}{x^3 + 1}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ; $\;g_3(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ ; $\;g_4(x) = \cos x\, e^{\sin x}$.
$\frac{(2x + 1)^5}{10}$ ; $\;\ln(x^3 + 1)$ ; $\;\sqrt{x^2 + 4}$ ; $\;e^{\sin x}$.
Résoudre $y' = -3y + 6$, puis déterminer la solution telle que $y(0) = 5$.
Valeur de $C$ :
Solution particulière $y = 2$ ; solutions $y = Ce^{-3x} + 2$. $y(0) = C + 2 = 5$ : $C = 3$.
Une population de bactéries vérifie $N' = 0{,}4N$ ($t$ en heures) avec $N(0) = 1\,000$. Exprimer $N(t)$ puis calculer au bout de combien de temps elle double.
$N(t) = 1\,000e^{0{,}4t}$. $e^{0{,}4t} = 2 \iff t = \frac{\ln 2}{0{,}4} \approx 1{,}73$ h.
On considère $(E) : y' = 2y - 4x$. Vérifier que $y_p(x) = 2x + 1$ est solution, puis résoudre $(E)$.
$y_p' = 2$ et $2(2x + 1) - 4x = 2$ ✓. $y$ solution $\iff (y - y_p)' = 2(y - y_p)$ $\iff y = Ce^{2x} + 2x + 1$.