Limites de fonctions

Que devient $f(x)$ quand $x$ devient très grand, ou s'approche d'une valeur interdite ? Les limites décrivent le comportement « aux bords » et se lisent sur la courbe sous forme d'asymptotes.

  • Définir une limite en l'infini et en un point
  • Interpréter graphiquement (asymptotes)
  • Calculer par opérations et comparaison
  • Utiliser les croissances comparées

Cours

1. Limites en l'infini

$f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$, $f(x) \geqslant A$ dès que $x$ est assez grand. On note $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.

$f$ tend vers le réel $\ell$ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. La droite $y = \ell$ est alors asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.

En $+\infty$ : $x^n$ ($n \geqslant 1$), $\sqrt x$, $e^x$ tendent vers $+\infty$ ; $\frac{1}{x^n}$, $\frac{1}{\sqrt x}$ tendent vers 0. En $-\infty$ : $x^n$ tend vers $+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair ; $\frac1{x^n}$ et $e^x$ tendent vers 0.

$\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} e^x = 0$.

En $+\infty$. Soit $g(x) = e^x - x$. $g'(x) = e^x - 1 \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$, donc $g$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et $g(x) \geqslant g(0) = 1 > 0$. Ainsi $e^x > x$ pour $x \geqslant 0$. Comme $\lim\limits_{x\to+\infty} x = +\infty$, le théorème de comparaison donne $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.

En $-\infty$. Posons $X = -x$ : $e^x = \dfrac{1}{e^{X}}$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$ donc $e^X \to +\infty$ et $\dfrac{1}{e^X} \to 0$. $\blacksquare$

2. Limites en un point

$f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ dépasse n'importe quel réel $A$ dès que $x$ est assez proche de $a$. On peut préciser à droite ($x \to a^+$, $x > a$) ou à gauche ($x \to a^-$). La droite $x = a$ est alors asymptote verticale.

Exemple : $\lim\limits_{x\to0^+}\frac1x = +\infty$, $\lim\limits_{x\to0^-}\frac1x = -\infty$.

3. Calcul de limites

Mêmes règles que pour les suites (somme, produit, quotient), avec les mêmes formes indéterminées : « $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac00$ ».

  • Polynôme ou fraction rationnelle en ±∞ : on factorise par le terme de plus haut degré. $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2x^2 - 1}{x^2 + 3x} = 2$.
  • Valeur interdite : on étudie le signe du dénominateur. $\lim\limits_{x\to2^+}\frac{3}{x - 2} = +\infty$ car $x - 2 \to 0^+$.
  • Changement de variable : $\lim\limits_{x\to+\infty} e^{-x^2} = \lim\limits_{X\to-\infty} e^{X} = 0$.

Si $f(x) \leqslant g(x)$ pour $x$ assez grand et $\lim f = +\infty$ en $+\infty$, alors $\lim g = +\infty$. Si $u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x)$ et $u$, $v$ ont la même limite $\ell$, alors $\lim f = \ell$ (gendarmes).

4. Croissances comparées

Pour tout entier $n \geqslant 1$ : $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$.

Cas $n = 1$. Soit $h(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. $h'(x) = e^x - x > 0$ (démontré plus haut), donc $h$ est croissante et $h(x) \geqslant h(0) = 1 > 0$ : $e^x > \dfrac{x^2}{2}$. Pour $x > 0$ : $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$, et $\dfrac x2 \to +\infty$ : par comparaison, $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$.

Cas général. Pour $x > 0$ : $\dfrac{e^x}{x^n} = \left(\dfrac{e^{x/n}}{x}\right)^n = \left(\dfrac{1}{n} \times \dfrac{e^{x/n}}{x/n}\right)^n$. En posant $X = \frac{x}{n} \to +\infty$, $\dfrac{e^X}{X} \to +\infty$ d'après le cas $n = 1$, donc la quantité entre parenthèses tend vers $+\infty$, et sa puissance $n$-ième aussi. $\blacksquare$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x} = 0$ ; $\quad\lim\limits_{x\to-\infty} x^ne^x = 0$. « À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. »

Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\big(f(x) - (ax + b)\big) = 0$, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique à la courbe.

Méthodes à connaître

  1. Essaie les opérations sur les limites directement.
  2. En cas de forme indéterminée : factorise par le terme dominant (polynômes, quotients), utilise la quantité conjuguée (racines) ou les croissances comparées ($\mathrm{e}^x$, $\ln x$).
  3. Pour une composée, calcule la limite de l'intérieur, puis celle de l'extérieur.

Exemple. $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - \mathrm{e}^x) = \lim x\left(1 - \frac{\mathrm{e}^x}{x}\right) = -\infty$ car $\frac{\mathrm{e}^x}{x} \to +\infty$.

  1. Encadre $f(x)$ entre deux fonctions de même limite (gendarmes), ou minore par une fonction qui tend vers $+\infty$.
  2. Exemple type : $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ donne $\frac{\sin x}{x} \to 0$ en $+\infty$.

Mini-jeux

Exercices

Déterminer : $\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3 - 2x^2 + 1)$ ; $\;\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3 - 2x^2 + 1)$ ; $\;\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5x - 1}{2x + 3}$ ; $\;\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x + 1}{x^2}$.

$+\infty$ ; $-\infty$ ; $\frac52$ ; $0$.

Soit $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$. Étudier les limites en $\pm\infty$ et en $-3$. Préciser les asymptotes.

En $\pm\infty$ : 2 (asymptote $y = 2$). En $-3$ : numérateur $\to -7$ ; $x + 3 \to 0^+$ à droite donc $f \to -\infty$, $\to 0^-$ à gauche donc $f \to +\infty$. Asymptote verticale $x = -3$.

Déterminer : $\lim\limits_{x\to+\infty}(e^x - x^2)$ ; $\;\lim\limits_{x\to-\infty}(x + 2)e^x$ ; $\;\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x + 1}{e^x - 1}$ ; $\;\lim\limits_{x\to0^+} e^{1/x}$.

$e^x(1 - \frac{x^2}{e^x}) \to +\infty$ ; $xe^x + 2e^x \to 0$ ; $\frac{1 + e^{-x}}{1 - e^{-x}} \to 1$ ; $\frac1x \to +\infty$ donc $+\infty$.

Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}(x + \cos x)$.

Première limite :

$-\frac1x \leqslant \frac{\cos x}{x} \leqslant \frac1x$ pour $x > 0$ : gendarmes, limite 0. $\;x + \cos x \geqslant x - 1 \to +\infty$.

Soit $f(x) = (x^2 - 3)e^{-x}$. Déterminer ses limites en $-\infty$ et $+\infty$.

En $-\infty$ : $x^2 - 3 \to +\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$ : $+\infty$. En $+\infty$ : $f(x) = \frac{x^2}{e^x} - \frac{3}{e^x} \to 0$ (croissances comparées). Asymptote $y = 0$ en $+\infty$.