Composition et convexité
On complète la boîte à outils de la dérivation avec les fonctions composées, puis on étudie la dérivée seconde : elle décrit la « courbure » de la courbe (convexe ou concave).
- Dériver une fonction composée
- Calculer une dérivée seconde
- Étudier la convexité et les points d'inflexion
- Démontrer des inégalités par convexité
Cours
1. Fonctions composées
Soit $u$ définie sur $I$ à valeurs dans $J$, et $v$ définie sur $J$. La composée $v \circ u$ est définie sur $I$ par $(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big)$ : on applique $u$, puis $v$.
Exemple : $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ est $v \circ u$ avec $u(x) = x^2 + 1$ et $v(X) = \sqrt X$. Attention, en général $v \circ u \neq u \circ v$.
Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ dérivable sur $J$, alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $\;(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$, c'est-à-dire $\big(v(u(x))\big)' = u'(x)\,v'\big(u(x)\big)$.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| $e^{u}$ | $u'e^{u}$ | |
| $u^n$ ($n \in \mathbb{Z}^*$) | $nu'u^{n-1}$ | $u \neq 0$ si $n < 0$ |
| $\sqrt u$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ | $u > 0$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ | $u > 0$ |
| $\cos u$, $\sin u$ | $-u'\sin u$, $u'\cos u$ |
$(e^{x^2 - 3x})' = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$ ; $\;\left((x^2 + 1)^5\right)' = 10x(x^2 + 1)^4$ ; $\;\left(\sqrt{1 - x^2}\right)' = \dfrac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $]-1\,;\,1[$.
2. Dérivée seconde et convexité
Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde de $f$, notée $f''$.
$f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de sa courbe d'abscisses dans $I$, la courbe est située en dessous de la corde $[AB]$ entre $A$ et $B$. Elle est concave si la courbe est au-dessus de ses cordes.
Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$, il y a équivalence entre :
- $f$ est convexe sur $I$ ;
- la courbe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes ;
- $f'$ est croissante sur $I$ ;
- $f'' \geqslant 0$ sur $I$.
(Idem pour concave, avec « en dessous », « décroissante » et « $f'' \leqslant 0$ ».)
Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ avec $f'' \geqslant 0$ sur $I$. Alors pour tout $a \in I$ et tout $x \in I$ : $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a)$.
Fixons $a \in I$ et posons $g(x) = f(x) - \big(f(a) + f'(a)(x - a)\big)$ : c'est l'écart entre la courbe et la tangente en $a$.
$g$ est dérivable et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$. Comme $f'' \geqslant 0$, $f'$ est croissante sur $I$ :
- pour $x \leqslant a$ : $f'(x) \leqslant f'(a)$, donc $g'(x) \leqslant 0$ ;
- pour $x \geqslant a$ : $f'(x) \geqslant f'(a)$, donc $g'(x) \geqslant 0$.
$g$ est donc décroissante puis croissante : elle admet un minimum en $a$, qui vaut $g(a) = 0$. Ainsi $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$, c'est-à-dire que la courbe est au-dessus de la tangente en $a$. $\blacksquare$
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la convexité change. Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, le point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion.
Exemple : $f(x) = x^3$ : $f''(x) = 6x$ change de signe en 0 ; l'origine est un point d'inflexion (la tangente $y = 0$ traverse la courbe).
3. Inégalités de convexité
La fonction exponentielle est convexe ($\exp'' = \exp > 0$) : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'où $e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$.
La fonction $\ln$ est concave : sa courbe est sous sa tangente en 1, d'où $\ln x \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$.
Convexité et moyennes : pour $f$ convexe, $f\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{f(a) + f(b)}{2}$. Appliquée à $-\ln$, cela redonne l'inégalité arithmético-géométrique $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}$. La courbe de Lorenz (répartition des revenus) est un exemple de fonction convexe.
Méthodes à connaître
- Repère la fonction « extérieure » $v$ et la fonction « intérieure » $u$ : $f = v \circ u$.
- Applique $(v \circ u)' = u'\times(v' \circ u)$.
- Cas usuels : $(u^n)' = nu'u^{n-1}$, $(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$, $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$.
Exemple. $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
- Calcule $f''$.
- Étudie son signe : $f'' \geqslant 0$ convexe, $f'' \leqslant 0$ concave.
- Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de $f''$.
Mini-jeux
Exercices
Dériver : $f_1(x) = e^{3x^2}$ ; $\;f_2(x) = (2x - 5)^6$ ; $\;f_3(x) = \sqrt{x^2 + 4}$ ; $\;f_4(x) = \dfrac{1}{(x^2 + 1)^2}$.
$6xe^{3x^2}$ ; $\;12(2x - 5)^5$ ; $\;\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$ ; $\;-\frac{4x}{(x^2 + 1)^3}$.
Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 2$ et préciser son point d'inflexion.
Abscisse du point d'inflexion :
$f''(x) = 6x - 12$ : concave sur $]-\infty\,;\,2]$, convexe sur $[2\,;\,+\infty[$. Point d'inflexion $(2\,;\,-14)$.
Soit $f(x) = xe^{x}$. Calculer $f'$ et $f''$, étudier la convexité et déterminer le point d'inflexion.
$f'(x) = (x + 1)e^x$, $f''(x) = (x + 2)e^x$ : concave sur $]-\infty\,;\,-2]$, convexe sur $[-2\,;\,+\infty[$. Inflexion en $(-2\,;\,-2e^{-2})$.
On donne le tableau de variations de $f'$ : croissante sur $]-\infty\,;\,1]$, décroissante sur $[1\,;\,+\infty[$. Que peut-on dire de la convexité de $f$ ?
$f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,1]$ ($f'$ croissante), concave sur $[1\,;\,+\infty[$ : point d'inflexion d'abscisse 1.
Démontrer que pour tout réel $x$ : $e^x \geqslant ex$ (utiliser la tangente en 1).
Tangente en 1 : $y = e + e(x - 1) = ex$. La fonction exponentielle étant convexe, sa courbe est au-dessus de cette tangente : $e^x \geqslant ex$.