Continuité

Une fonction continue se trace « sans lever le crayon ». Cette propriété garantit l'existence de solutions d'équations (théorème des valeurs intermédiaires) et permet de trouver la limite de suites récurrentes.

  • Définir la continuité
  • Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
  • Justifier existence et unicité d'une solution
  • Étudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$

Cours

1. Fonctions continues

$f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Elle est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ : sa courbe ne présente pas de « saut ».

Les fonctions polynômes, rationnelles (là où elles sont définies), racine carrée, valeur absolue, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus sont continues sur leur ensemble de définition. Sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues.

Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en 0 mais pas dérivable.

La fonction partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (le plus grand entier inférieur ou égal à $x$) « saute » en chaque entier : elle n'y est pas continue.

2. Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\,b]$. (Résultat valable aussi sur un intervalle ouvert ou non borné, avec les limites aux bornes.)

Montrons que $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante ($f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$). $\lim\limits_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim\limits_{+\infty} f = +\infty$, et $0$ est compris entre ces limites : d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. De plus $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ donc $0 < \alpha < 1$ ; par dichotomie $\alpha \approx 0{,}682$.

3. Suites définies par u(n+1) = f(u(n))

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, et $(u_n)$ définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ (avec $f(I) \subset I$). Si $(u_n)$ converge vers $\ell \in I$, alors $f(\ell) = \ell$.

Comme $u_n \to \ell$, on a aussi $u_{n+1} \to \ell$. Par continuité de $f$ en $\ell$, $f(u_n) \to f(\ell)$. Or $f(u_n) = u_{n+1}$ : par unicité de la limite, $f(\ell) = \ell$. $\blacksquare$

  1. Montrer (souvent par récurrence) que la suite est monotone et bornée.
  2. En déduire qu'elle converge (théorème de convergence monotone).
  3. Résoudre $f(\ell) = \ell$ pour trouver la limite, en gardant la solution compatible avec les bornes.

4. Méthodes numériques

def f(x):
    return x**3 + x - 1

def dichotomie(a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

def secante(a, b, n):
    for i in range(n):
        a, b = b, b - f(b) * (b - a) / (f(b) - f(a))
    return b

def newton(x, n):
    for i in range(n):
        x = x - f(x) / (3 * x**2 + 1)
    return x

print(dichotomie(0, 1, 1e-6))
print(secante(0, 1, 6))
print(newton(1, 5))

Exercices

Montrer que l'équation $x^5 + 2x - 5 = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ et en donner un encadrement d'amplitude $0{,}1$.

$f$ continue, $f'(x) = 5x^4 + 2 > 0$ : strictement croissante, limites $\mp\infty$. Unique solution. $f(1{,}2) \approx -0{,}11$ et $f(1{,}3) \approx 1{,}31$ : $1{,}2 < \alpha < 1{,}3$.

$f$ est continue sur $[-2\,;\,5]$, croissante sur $[-2\,;\,1]$ de $-3$ à $4$, décroissante sur $[1\,;\,5]$ de $4$ à $0$. Combien de solutions a l'équation $f(x) = 2$ ? $f(x) = -1$ ?

$f(x) = 2$ : solution(s)

$f(x) = 2$ : une sur chaque intervalle de monotonie (2 est entre $-3$ et $4$, et entre $4$ et $0$) : 2 solutions. $f(x) = -1$ : une seule, sur $[-2\,;\,1]$ ($-1 < 0$).

$u_0 = 0{,}5$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par 3. Déterminer sa limite.

Elle converge vers $\ell$ avec $\ell = \sqrt{2\ell + 3}$, $\ell \geqslant 0$ : $\ell^2 - 2\ell - 3 = 0$, $(\ell - 3)(\ell + 1) = 0$, donc $\ell = 3$.

Donner un exemple de fonction définie sur $[0\,;\,2]$, avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 1$, qui ne s'annule jamais. Pourquoi ne contredit-il pas le TVI ?

$f(x) = -1$ sur $[0\,;\,1[$ et $f(x) = 1$ sur $[1\,;\,2]$. $f$ n'est pas continue en 1 : l'hypothèse du TVI n'est pas satisfaite.

Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet une unique solution sur $[0\,;\,\frac{\pi}{2}]$ (étudier $g(x) = \cos x - x$).

$g$ continue, $g'(x) = -\sin x - 1 \leqslant 0$ (nul seulement en $-\frac{\pi}{2}$, hors intervalle) : strictement décroissante, $g(0) = 1 > 0$, $g(\frac\pi2) = -\frac\pi2 < 0$. Unique solution $\alpha \approx 0{,}739$.