Automatismes

En Terminale, les automatismes de Seconde et de Première doivent rester sûrs, et chaque chapitre en ajoute de nouveaux : limites de référence, exponentielle et logarithme, dérivées de composées, primitives, dénombrement, loi binomiale, calcul dans l'espace. Quelques minutes par jour suffisent : choisis un thème et bats ton record.

  • Limites et croissances comparées
  • Exponentielle et logarithme
  • Dériver, primitiver, intégrer
  • Dénombrer et calculer des probabilités
  • Calculer dans l'espace
  • Limites : connaître les limites de référence ($x^n$, $\frac1x$, $e^x$, $\ln x$, $q^n$), les opérations, les formes indéterminées et les croissances comparées.
  • Exponentielle et logarithme : simplifier avec $e^{a+b} = e^ae^b$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln(a^n) = n\ln a$ ; résoudre $e^x = k$, $\ln x = k$ et $q^n > A$.
  • Dérivées et primitives : dériver $v \circ u$, $e^u$, $\ln u$, $u^n$ ; reconnaître une primitive usuelle ; calculer $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ; résoudre $y' = ay + b$.
  • Dénombrement et probabilités : $n!$, $\binom nk$, $n^k$ ; loi binomiale ; espérance et variance d'une somme.
  • Espace : coordonnées d'un vecteur et d'un milieu, produit scalaire, norme, colinéarité, équation de plan.

Défi mixte

Réflexes de Première

Analyse

Dénombrement et probabilités

Géométrie dans l'espace

Fiche mémo

  • En $+\infty$ : $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$ et $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$. En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $x\ln x \to 0$. En $-\infty$ : $x^ne^x \to 0$.
  • $q^n \to +\infty$ si $q > 1$ ; $q^n \to 0$ si $-1 < q < 1$.
  • Formes indéterminées : « $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac00$ » : on factorise par le terme prépondérant.
  • $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ ; $\ln(e^x) = x$ ; $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$.
  • $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\dfrac ab = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt a = \dfrac12\ln a$.
  • Seuil : si $q > 1$, $q^n > A \iff n > \dfrac{\ln A}{\ln q}$ ; si $0 < q < 1$, $q^n < A \iff n > \dfrac{\ln A}{\ln q}$ (on divise par $\ln q < 0$).
  • $(v \circ u)' = u' \times v' \circ u$ ; $(e^u)' = u'e^u$ ; $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ ; $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$.
  • $\cos' = -\sin$, $\sin' = \cos$ ; $f$ convexe sur $I \iff f'' \geqslant 0$ sur $I$.
  • Primitives : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$) ; $\dfrac1x \to \ln x$ ; $e^{ax} \to \dfrac1a e^{ax}$ ; $u'e^u \to e^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$).
  • $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ; valeur moyenne $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
  • Solutions de $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) : $x \mapsto Ce^{ax} - \dfrac ba$.
  • $n^k$ k-uplets ; $\dfrac{n!}{(n - k)!}$ k-uplets d'éléments distincts ; $\dbinom nk = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ parties à $k$ éléments.
  • $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ : $P(X = k) = \dbinom nk p^k(1 - p)^{n - k}$, $E(X) = np$, $V(X) = np(1 - p)$.
  • $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ ; si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.
  • $\vec u\cdot\vec v = xx' + yy' + zz'$ ; $\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ; $\vec u \perp \vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0$.
  • Plan de vecteur normal $\vec n(a\,;\,b\,;\,c)$ : $ax + by + cz + d = 0$. Droite passant par $A$ dirigée par $\vec u$ : $\overrightarrow{AM} = t\vec u$.