Vecteurs et coordonnées

Avec un repère, chaque vecteur devient un couple de nombres. Les constructions géométriques se transforment alors en calculs simples : c'est la « méthode des coordonnées » de Descartes.

  • Calculer les coordonnées d'un vecteur
  • Calculer un milieu et une distance
  • Utiliser le déterminant
  • Prouver alignement et parallélisme

Cours

1. Bases et repères

Une base du plan est un couple $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ de vecteurs non colinéaires. Un repère $(O\,;\,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est formé d'un point $O$ (l'origine) et d'une base.

La base (et le repère) est orthonormée si $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont orthogonaux et de norme 1.

Tout vecteur $\vec{u}$ s'écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}$. Le couple $(x\,;\,y)$ est le couple de coordonnées de $\vec{u}$ dans la base, noté $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ ou $\vec{u}(x\,;\,y)$.

Les coordonnées d'un point $M$ dans le repère sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$.

Si $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$, et $k$ un réel :

  • $\vec{u} = \vec{v} \iff x = x'$ et $y = y'$ ;
  • $\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix}x + x'\\y + y'\end{pmatrix}$ ; $\quad k\vec{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}$.

2. Vecteur AB, milieu, distance

Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors $\;\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}$ (« extrémité moins origine »).

D'après Chasles, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. Or $\overrightarrow{OB}$ a pour coordonnées $(x_B\,;\,y_B)$ et $\overrightarrow{OA}$ a pour coordonnées $(x_A\,;\,y_A)$. $\blacksquare$

Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\;I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Dans un repère orthonormé : $\;\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\;$ et $\;AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

C'est le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les déplacements horizontal et vertical.

Soient $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(5\,;\,-1)$. Trouvons $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

$ABCD$ parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. $\;\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$ et $\overrightarrow{DC}(5 - x_D\,;\,-1 - y_D)$.

$5 - x_D = 3$ et $-1 - y_D = 1$, donc $D(2\,;\,-2)$.

3. Colinéarité et déterminant

Le déterminant de $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ est le nombre $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y.$$

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls. Les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ;
  2. $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$ ;
  3. leurs coordonnées sont proportionnelles.

(1) ⇒ (2). Si $\vec{v} = k\vec{u}$, alors $x' = kx$ et $y' = ky$, donc $xy' - x'y = x(ky) - (kx)y = 0$.

(2) ⇒ (1). Supposons $xy' - x'y = 0$. Comme $\vec{u} \neq \vec{0}$, l'une de ses coordonnées est non nulle, par exemple $x \neq 0$. Posons $k = \dfrac{x'}{x}$. Alors $x' = kx$ et $y' = \dfrac{x'y}{x} = ky$ (car $xy' = x'y$). Donc $\vec{v} = k\vec{u}$. Le cas $y \neq 0$ est analogue avec $k = \dfrac{y'}{y}$.

(1) ⇔ (3). $\vec{v} = k\vec{u}$ signifie exactement que $(x'\,;\,y')$ s'obtient en multipliant $(x\,;\,y)$ par un même coefficient $k$ : les coordonnées sont proportionnelles (tableau $\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline x' & y' \\ \hline \end{array}$ de proportionnalité, dont les « produits en croix » $xy'$ et $x'y$ sont égaux). $\blacksquare$

$A(-1\,;\,3)$, $B(2\,;\,1)$, $C(8\,;\,-3)$ sont-ils alignés ?

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\-6\end{pmatrix}$ et $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3 \times (-6) - 9 \times (-2) = -18 + 18 = 0$.

Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Pour montrer $(AB) \parallel (CD)$, on vérifie que $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$.

En 1637, dans La Géométrie, René Descartes associe des nombres aux points et des équations aux courbes : la géométrie devient calcul. Cette « géométrie analytique » (développée aussi par Fermat) est l'ancêtre direct de ce chapitre.

Mini-jeux

Exercices

On donne $A(2\,;\,-1)$, $B(-4\,;\,3)$, $C(0\,;\,5)$ dans un repère orthonormé.

  1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. Que retrouve-t-on ?
  2. Coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$.
  3. Calculer $AC$.

$AC = $

  1. $\overrightarrow{AB}(-6\,;\,4)$, $\overrightarrow{BC}(4\,;\,2)$, somme $(-2\,;\,6)$ : ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ (Chasles).
  2. $K(-1\,;\,1)$.
  3. $AC = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Avec $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(-1\,;\,4)$, calculer les coordonnées de $2\vec{u} + \vec{v}$, $\;\vec{u} - 3\vec{v}$, $\;-\frac{1}{2}\vec{u}$.

$2\vec{u} + \vec{v}(5\,;\,0)$ ; $\;\vec{u} - 3\vec{v}(6\,;\,-14)$ ; $\;-\frac{1}{2}\vec{u}(-1{,}5\,;\,1)$.

Dans chaque cas, dire si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

(a) $\vec{u}(2\,;\,-6)$, $\vec{v}(-3\,;\,9)$ ; $\quad$ (b) $\vec{u}(4\,;\,5)$, $\vec{v}(5\,;\,6)$ ; $\quad$ (c) $\vec{u}(\sqrt{2}\,;\,1)$, $\vec{v}(2\,;\,\sqrt{2})$.

(a) $2 \times 9 - (-3)(-6) = 18 - 18 = 0$ : colinéaires. (b) $24 - 25 = -1 \neq 0$ : non. (c) $\sqrt{2}\times\sqrt{2} - 2 \times 1 = 0$ : colinéaires.

Déterminer le réel $m$ pour que $\vec{u}(m\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,m+4)$ soient colinéaires.

$\det = m(m + 4) - 12 = m^2 + 4m - 12 = (m + 6)(m - 2)$. Il est nul pour $m = -6$ ou $m = 2$.

$A(-2\,;\,1)$, $B(3\,;\,3)$, $C(5\,;\,-2)$, $D(0\,;\,-4)$ dans un repère orthonormé.

  1. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
  2. Calculer $AB$ et $BC$. Que peut-on dire de plus ?
  3. Calculer $AC$ et $BD$. Conclure.
  1. $\overrightarrow{AB}(5\,;\,2)$ et $\overrightarrow{DC}(5\,;\,2)$ : égaux, donc parallélogramme.
  2. $AB = \sqrt{29}$, $BC = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$ : deux côtés consécutifs égaux, c'est un losange.
  3. $AC = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$, $BD = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$ : diagonales de même longueur, c'est aussi un rectangle : $ABCD$ est un carré.

$A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,-4)$. Déterminer l'ordonnée $y$ du point $M(3\,;\,y)$ pour que $A$, $B$, $M$ soient alignés.

$\overrightarrow{AB}(3\,;\,-6)$, $\overrightarrow{AM}(2\,;\,y - 2)$. $\det = 3(y - 2) - 2 \times (-6) = 3y + 6 = 0 \iff y = -2$.

$E(1\,;\,1)$, $F(5\,;\,3)$, $G(3\,;\,7)$ dans un repère orthonormé. Le triangle $EFG$ est-il rectangle ?

$EF^2 = 16 + 4 = 20$, $FG^2 = 4 + 16 = 20$, $EG^2 = 4 + 36 = 40$. Comme $EF^2 + FG^2 = EG^2$, le triangle est rectangle en $F$ (réciproque de Pythagore), et même isocèle.

$ABC$ est un triangle. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$. $I$ est le milieu de $[BC]$, $J$ le point tel que $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, et $K$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$ ($\overrightarrow{AK} = -\overrightarrow{AB}$).

  1. Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$, $I$, $J$, $K$.
  2. Les points $K$, $J$, $I$ sont-ils alignés ?
  1. $A(0\,;\,0)$, $B(1\,;\,0)$, $C(0\,;\,1)$, $I\left(\frac12\,;\,\frac12\right)$, $J\left(0\,;\,\frac13\right)$, et $K(-1\,;\,0)$.
  2. $\overrightarrow{KJ}\left(1\,;\,\frac13\right)$, $\overrightarrow{KI}\left(\frac32\,;\,\frac12\right)$. $\det = 1 \times \frac12 - \frac32 \times \frac13 = \frac12 - \frac12 = 0$ : alignés.

Le déterminant permet de tester la colinéarité dans n'importe quelle base, même non orthonormée (mais les formules de distance, elles, exigent un repère orthonormé).

$A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$, $C(4\,;\,4)$, $D(0\,;\,4)$. Le point $M$ est l'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du trapèze. On cherche $M$ sous la forme $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{AC}$.

  1. Exprimer les coordonnées de $M$ en fonction de $t$.
  2. Traduire l'alignement de $B$, $D$, $M$ et en déduire $t$ puis $M$.
  1. $M(4t\,;\,4t)$.
  2. $\overrightarrow{BD}(-6\,;\,4)$, $\overrightarrow{BM}(4t - 6\,;\,4t)$. $\det = -6 \times 4t - (4t - 6) \times 4 = -24t - 16t + 24 = 24 - 40t = 0 \iff t = \frac{3}{5}$. Donc $M\left(\frac{12}{5}\,;\,\frac{12}{5}\right)$.