Variations et extremums

Une fonction monte, descend, atteint un sommet ou un creux : le tableau de variations résume tout cela. On apprend à le lire, à le construire et à démontrer les variations des fonctions de référence.

  • Définir croissance et décroissance
  • Passer de la courbe au tableau de variations
  • Déterminer maximum et minimum
  • Démontrer les variations de référence

Cours

1. Sens de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

  • $f$ est croissante sur $I$ si pour tous $a$, $b$ de $I$ : $\;a < b \implies f(a) \leqslant f(b)$. (Elle conserve l'ordre.)
  • $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous $a$, $b$ de $I$ : $\;a < b \implies f(a) \geqslant f(b)$. (Elle inverse l'ordre.)
  • Avec des inégalités strictes $f(a) < f(b)$ (resp. $f(a) > f(b)$), on parle de fonction strictement croissante (resp. décroissante).
  • $f$ est monotone sur $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$.
ab f(a)f(b) croissante ab f(a)f(b) décroissante
Croissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente. Décroissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue.

2. Tableau de variations

Un tableau de variations résume les intervalles sur lesquels une fonction est croissante (flèche montante ↗) ou décroissante (flèche descendante ↘), avec les valeurs aux bornes.

Une fonction $f$ définie sur $[-3\,;\,4]$ croît de $f(-3) = -1$ à $f(1) = 5$, puis décroît jusqu'à $f(4) = 2$ :

$x$$-3$$1$$4$
$f$$-1$↗$5$↘$2$

Un tableau de variations ne dit rien de ce qui se passe « entre » les valeurs sauf le sens : on sait que $f$ passe de $-1$ à $5$ en montant, mais pas à quelle vitesse.

3. Extremums

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$.

  • $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si pour tout $x \in I$, $f(x) \leqslant f(a)$.
  • $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si pour tout $x \in I$, $f(x) \geqslant f(a)$.

Un extremum est un maximum ou un minimum. On dit qu'il est atteint en $a$.

Dans l'exemple précédent, le maximum de $f$ sur $[-3\,;\,4]$ est $5$, atteint en $1$. Le minimum est $-1$, atteint en $-3$ (on compare les deux « creux » possibles : $-1$ et $2$).

Montrons que $f(x) = x^2 - 6x + 11$ admet un minimum égal à 2. On écrit $f(x) = (x - 3)^2 + 2$. Comme $(x - 3)^2 \geqslant 0$, on a $f(x) \geqslant 2$ pour tout $x$, et $f(3) = 2$. Le minimum est 2, atteint en 3.

4. Variations des fonctions de référence

$f(x) = mx + p$ est croissante sur $\mathbb{R}$ si $m > 0$, décroissante si $m < 0$, constante si $m = 0$.

Soient $a < b$. $\;f(b) - f(a) = mb + p - ma - p = m(b - a)$. Or $b - a > 0$.

Si $m > 0$, alors $f(b) - f(a) > 0$, donc $f(a) < f(b)$ : $f$ est (strictement) croissante. Si $m < 0$, $f(b) - f(a) < 0$ : $f$ est décroissante. Si $m = 0$, $f(a) = f(b)$. $\blacksquare$

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Soient $a < b$. $\;b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$, avec $b - a > 0$.

Sur $[0\,;\,+\infty[$ : si $0 \leqslant a < b$, alors $a + b > 0$, donc $b^2 - a^2 > 0$ : $a^2 < b^2$. La fonction est croissante.

Sur $]-\infty\,;\,0]$ : si $a < b \leqslant 0$, alors $a + b < 0$, donc $b^2 - a^2 < 0$ : $a^2 > b^2$. La fonction est décroissante. $\blacksquare$

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$.

Soient $a < b$ deux réels non nuls de même signe. $\;\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - b}{ab}$.

$a - b < 0$ et $ab > 0$ (même signe), donc $\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} < 0$, soit $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$. La fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles. $\blacksquare$

$x \mapsto |x|$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ (où $|x| = -x$, fonction affine de coefficient $-1$) et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ (où $|x| = x$).

5. Algorithmes : chercher un extremum ou une solution

Quand on ne sait pas calculer exactement, on peut approcher un extremum par balayage (on teste des valeurs régulièrement espacées) ou une solution de $f(x) = 0$ par dichotomie (on coupe en deux l'intervalle à chaque étape).

Un tableur, une calculatrice (menu « table »), GeoGebra ou Python permettent de conjecturer les variations d'une fonction. Une conjecture n'est pas une démonstration, mais elle guide le raisonnement.

La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$, définie sur $[0\,;\,+\infty[$, est croissante. Sa courbe est la symétrique de la demi-parabole $y = x^2$ ($x \geqslant 0$) par rapport à la droite $y = x$.

Méthodes à connaître

  1. Sur la courbe, repère les intervalles où la fonction monte ou descend.
  2. Place les bornes et les abscisses des extremums sur la première ligne.
  3. Indique les flèches et les valeurs de $f$ aux extrémités des flèches.
  1. Vérifie que les deux nombres sont dans un même intervalle où $f$ est monotone.
  2. Si $f$ est croissante : elle conserve l'ordre ; décroissante : elle l'inverse.
  3. Conclus : par exemple, si $f$ est décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et $2 < 3$, alors $f(2) > f(3)$.

Mini-jeux

Exercices

Voici le tableau de variations d'une fonction $g$ sur $[-2\,;\,6]$ :

$x$$-2$$0$$3$$6$
$g$$4$↘$-3$↗$1$↘$-1$
  1. Sur quels intervalles $g$ est-elle croissante ?
  2. Donner le maximum et le minimum de $g$ sur $[-2\,;\,6]$.
  3. Comparer $g(4)$ et $g(5)$ ; $g(-1)$ et $g(-0{,}5)$.
  4. Peut-on comparer $g(-1)$ et $g(2)$ ?
  1. Sur $[0\,;\,3]$.
  2. Maximum 4 (en $-2$), minimum $-3$ (en 0).
  3. $g$ décroissante sur $[3\,;\,6]$ : $g(4) \geqslant g(5)$. $\;g$ décroissante sur $[-2\,;\,0]$ : $g(-1) \geqslant g(-0{,}5)$.
  4. Non : $-1$ et $2$ ne sont pas dans un même intervalle de monotonie. On sait seulement $-3 \leqslant g(-1) \leqslant 4$ et $-3 \leqslant g(2) \leqslant 1$.

Donner le sens de variation de : $\;f(x) = 4 - 3x$ ; $\;g(x) = \frac{x - 2}{5}$ ; $\;h(x) = (1 - \sqrt{2})x + 7$.

$f$ : $m = -3$, décroissante. $\;g$ : $m = \frac15$, croissante. $\;h$ : $m = 1 - \sqrt2 < 0$, décroissante.

Une fonction $f$ est définie sur $[0\,;\,10]$. Elle est croissante sur $[0\,;\,4]$, décroissante sur $[4\,;\,10]$, avec $f(0) = 1$, $f(4) = 9$, $f(10) = -2$. Dresser son tableau de variations et donner son maximum et son minimum.

Tableau : $1 \nearrow 9 \searrow -2$. Maximum 9 en 4 ; minimum $-2$ en 10 (car $-2 < 1$).

Soit $f(x) = x^2 + 4x + 1$. Montrer que $f(x) = (x + 2)^2 - 3$, puis que $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$. Préciser en quel point.

$(x + 2)^2 - 3 = x^2 + 4x + 4 - 3 = x^2 + 4x + 1$ ✓. Comme $(x + 2)^2 \geqslant 0$, $f(x) \geqslant -3$, et $f(-2) = -3$. Le minimum est $-3$, atteint en $-2$.

Soit $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$. Montrer que $g(x) = -2(x - 2)^2 + 3$ et en déduire le maximum de $g$.

$-2(x^2 - 4x + 4) + 3 = -2x^2 + 8x - 8 + 3$ ✓. Comme $-2(x - 2)^2 \leqslant 0$, $g(x) \leqslant 3$ et $g(2) = 3$ : maximum 3 atteint en 2.

Soit $f(x) = \dfrac{3}{x} + 1$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$. Soient $0 < a < b$. Calculer $f(b) - f(a)$ et en déduire le sens de variation de $f$.

$f(b) - f(a) = \frac3b - \frac3a = \frac{3(a - b)}{ab}$. Or $a - b < 0$ et $ab > 0$ : $f(b) - f(a) < 0$. $f$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$.

Un fermier dispose de 40 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire le long d'un mur (le côté contre le mur n'a pas besoin de clôture). On note $x$ la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur.

  1. Montrer que l'aire vaut $A(x) = x(40 - 2x)$ pour $x \in [0\,;\,20]$.
  2. Montrer que $A(x) = -2(x - 10)^2 + 200$.
  3. En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale.
  1. Le côté parallèle au mur mesure $40 - 2x$, d'où l'aire.
  2. $-2(x^2 - 20x + 100) + 200 = -2x^2 + 40x = x(40 - 2x)$ ✓.
  3. $A(x) \leqslant 200$ avec égalité pour $x = 10$ : enclos de 10 m sur 20 m, aire 200 m².

Soit $h(x) = (2x - 3)^2$. Démontrer que $h$ est croissante sur $\left[\frac32\,;\,+\infty\right[$.

Si $\frac32 \leqslant a < b$, comparer $2a - 3$ et $2b - 3$, puis utiliser les variations de la fonction carré.

Si $\frac32 \leqslant a < b$, alors $0 \leqslant 2a - 3 < 2b - 3$ (la fonction affine $x \mapsto 2x - 3$ est croissante). La fonction carré étant croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $(2a - 3)^2 < (2b - 3)^2$, soit $h(a) < h(b)$.

La fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ est croissante sur $[0\,;\,1]$ avec $f(0) < 0$ et $f(1) > 0$.

  1. Compléter le programme pour obtenir un encadrement d'amplitude $0{,}001$ de la solution de $f(x) = 0$.
  2. Combien de tours de boucle sont nécessaires ?
def f(x):
    return x**3 + x - 1

a, b = 0, 1
while b - a > 0.001:
    m = (a + b) / 2
    if f(m) < 0:
        a = ...
    else:
        b = ...
print(a, b)
  1. Si $f(m) < 0$, la solution est à droite de $m$ : a = m ; sinon b = m. On obtient $0{,}682 \leqslant x_0 \leqslant 0{,}683$ environ.
  2. L'amplitude est divisée par 2 à chaque tour : $\frac{1}{2^n} \leqslant 0{,}001 \iff 2^n \geqslant 1\,000$, soit $n = 10$ tours.