Croisement de deux variables qualitatives
Quand on observe deux caractères sur les mêmes individus (âge et moyen de transport, filière et option…), le tableau croisé permet de les mettre en relation. La question clé : « parmi qui ? »
- Lire et compléter un tableau croisé
- Calculer des fréquences marginales
- Calculer des fréquences conditionnelles
- Filtrer des données avec ET, OU, NON
Cours
1. Tableau croisé d'effectifs
On étudie deux variables qualitatives (catégorielles) sur une même population. Le tableau croisé (ou tableau à double entrée) donne, pour chaque couple de modalités, le nombre d'individus correspondants. La dernière ligne et la dernière colonne contiennent les totaux (effectifs marginaux).
| Pratique un sport | Ne pratique pas | Total | |
|---|---|---|---|
| Seconde | 54 | 36 | 90 |
| Première | 40 | 30 | 70 |
| Terminale | 18 | 22 | 40 |
| Total | 112 | 88 | 200 |
Les variables qualitatives peuvent être nominales (profession, espèce, département) ou ordinales quand leurs modalités ont un ordre naturel (niveau de satisfaction, tranche d'âge, niveau de classe).
2. Fréquences marginales et conditionnelles
La fréquence marginale d'une modalité est son effectif total (lu dans la marge) divisé par l'effectif total de la population.
Exemple : fréquence marginale des sportifs $= \frac{112}{200} = 0{,}56$ ; des élèves de seconde $= \frac{90}{200} = 0{,}45$.
La fréquence conditionnelle de $B$ parmi $A$ (ou « sachant $A$ ») est la proportion d'individus ayant la modalité $B$ au sein de la sous-population $A$ : $$f_A(B) = \frac{\text{effectif de } A \text{ et } B}{\text{effectif de } A}.$$
Fréquence des sportifs parmi les élèves de seconde : $f_{\text{Seconde}}(\text{Sport}) = \frac{54}{90} = 0{,}6$ : 60 % des secondes font du sport.
Fréquence des secondes parmi les sportifs : $f_{\text{Sport}}(\text{Seconde}) = \frac{54}{112} \approx 0{,}48$ : 48 % des sportifs sont en seconde.
$f_A(B)$ et $f_B(A)$ ont le même numérateur mais pas le même dénominateur : ce sont deux informations différentes. « 60 % des secondes font du sport » n'est pas « 60 % des sportifs sont en seconde ». Toujours se demander : quelle est la population de référence ?
Effectif de $A$ et $B$ $=$ $f_A(B) \times$ effectif de $A$. Et en fréquences : $f(A \text{ et } B) = f(A) \times f_A(B)$. C'est un « pourcentage de pourcentage ».
Pour savoir si la pratique sportive dépend du niveau, on compare les fréquences conditionnelles en ligne : 60 % en seconde, $\frac{40}{70} \approx 57\,\%$ en première, $\frac{18}{40} = 45\,\%$ en terminale. La pratique semble diminuer avec le niveau. Comparer les effectifs bruts (54, 40, 18) serait trompeur car les groupes n'ont pas la même taille.
Dans un lycée de 800 élèves, 55 % sont des filles ; 30 % des filles et 20 % des garçons sont internes. Filles : $0{,}55 \times 800 = 440$ ; filles internes : $0{,}3 \times 440 = 132$ ; garçons : 360 ; garçons internes : $0{,}2 \times 360 = 72$. On complète le reste par soustraction : 204 internes, 596 externes, etc.
3. Traiter un fichier de données
Dans la vraie vie, les données arrivent sous forme d'un fichier où chaque ligne est un individu. On construit le tableau croisé en filtrant et en comptant, par exemple avec un tableur ou en Python :
# deux listes : caractères de chaque individu niveau = ["2nde", "1re", "2nde", "Tle", "2nde", "1re"] sport = ["oui", "non", "oui", "oui", "non", "oui"] def compter(n, s): # nombre d'individus de niveau n ET de réponse s c = 0 for i in range(len(niveau)): if niveau[i] == n and sport[i] == s: c = c + 1 return c print(compter("2nde", "oui")) # 2
Les connecteurs logiques servent à filtrer : and (ET) pour une intersection, or (OU) pour une réunion, not (NON) pour le complémentaire. Voir le chapitre « Ensembles et logique ».
Mini-jeux
Exercices
On reprend le tableau de l'enquête sur 200 élèves.
- Combien d'élèves de première ne pratiquent pas de sport ?
- Quelle est la fréquence marginale des terminales ?
- Quelle proportion des élèves de terminale pratique un sport ?
- Quelle proportion des non-sportifs est en première ?
- 30.
- $\frac{40}{200} = 0{,}2$.
- $\frac{18}{40} = 0{,}45$.
- $\frac{30}{88} \approx 0{,}34$.
Compléter le tableau suivant (clients d'un cinéma) :
| Film français | Film étranger | Total | |
|---|---|---|---|
| Moins de 30 ans | … | 210 | … |
| 30 ans et plus | 150 | … | … |
| Total | 270 | … | 600 |
Moins de 30 ans / français : $270 - 150 = 120$ ; total ligne 1 : $330$ ; total étranger : $600 - 270 = 330$ ; 30 ans et plus / étranger : $330 - 210 = 120$ ; total ligne 2 : $270$.
Une entreprise emploie 250 personnes, dont 40 % travaillent à temps partiel. Parmi les employés à temps partiel, 70 % sont des femmes ; parmi ceux à temps plein, 40 % sont des femmes.
- Construire le tableau croisé des effectifs (sexe × temps de travail).
- Quelle proportion des femmes travaille à temps partiel ? Et des hommes ?
- Temps partiel : $0{,}4 \times 250 = 100$ personnes, dont $70$ femmes et $30$ hommes. Temps plein : $150$ personnes, dont $0{,}4 \times 150 = 60$ femmes et $90$ hommes. Totaux : $130$ femmes, $120$ hommes.
- $\frac{70}{130} \approx 0{,}54$ : environ 54 % des femmes travaillent à temps partiel, contre $\frac{30}{120} = 25\,\%$ des hommes.
Sur 1 000 accidents de la route étudiés, on relève l'usage de la ceinture et la gravité :
| Blessé grave | Blessé léger | Total | |
|---|---|---|---|
| Ceinture attachée | 60 | 740 | 800 |
| Non attachée | 90 | 110 | 200 |
| Total | 150 | 850 | 1 000 |
- Parmi les personnes attachées, quelle est la fréquence des blessés graves ? Parmi les non attachées ?
- Un journaliste affirme : « 40 % des blessés graves étaient attachés, la ceinture ne protège donc pas beaucoup ». Critiquer.
- $\frac{60}{800} = 7{,}5\,\%$ contre $\frac{90}{200} = 45\,\%$ : le risque de blessure grave est 6 fois plus élevé sans ceinture.
- $\frac{60}{150} = 40\,\%$ est la fréquence des « attachés » parmi les blessés graves ; elle reflète surtout le fait que la grande majorité des gens s'attachent (80 %). Pour juger l'efficacité, il faut comparer les fréquences parmi les attachés et parmi les non attachés.
Deux lycées présentent des élèves au baccalauréat :
| Lycée A | Lycée B | |||
|---|---|---|---|---|
| Candidats | Reçus | Candidats | Reçus | |
| Voie générale | 100 | 95 | 300 | 279 |
| Voie technologique | 300 | 240 | 100 | 78 |
- Calculer le taux de réussite de chaque lycée dans chaque voie.
- Calculer le taux de réussite global de chaque lycée.
- Commenter ce résultat surprenant.
- Générale : A 95 %, B 93 %. Technologique : A 80 %, B 78 %. A fait mieux dans les deux voies.
- A : $\frac{335}{400} = 83{,}75\,\%$ ; B : $\frac{357}{400} = 89{,}25\,\%$. B fait mieux globalement !
- C'est le paradoxe de Simpson : A présente surtout des candidats de la voie où le taux est plus faible pour tout le monde. Les fréquences conditionnelles et la fréquence globale racontent des histoires différentes ; il faut tenir compte de la structure des populations.