Nombres réels, intervalles et valeur absolue

Des entiers aux réels, chaque ensemble de nombres comble un manque du précédent. On apprend ensuite à décrire des « morceaux » de la droite numérique et à mesurer des distances entre nombres.

  • Distinguer ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ
  • Démontrer que √2 est irrationnel
  • Représenter et utiliser des intervalles
  • Interpréter |a − b| comme une distance

Cours

1. Les ensembles de nombres

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$. Autrement dit, il a un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des décimaux est noté $\mathbb{D}$.

Exemples : $3{,}14 = \dfrac{314}{10^2}$ ; $\;-0{,}5 = \dfrac{-5}{10}$ ; $\;\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ; $\;7 = \dfrac{7}{10^0}$.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$. L'ensemble des rationnels est noté $\mathbb{Q}$ (pour quotient).

Exemples : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots$ ; $\;-\dfrac{22}{7}$ ; $\;0{,}75 = \dfrac{3}{4}$.

Les nombres réels sont les abscisses de tous les points d'une droite graduée, appelée droite numérique. Leur ensemble est noté $\mathbb{R}$. Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : par exemple $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.

ℝℚ𝔻ℤℕ 0 ; 7−30,25−1,51/3−2/7√2π−√5
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ : chaque ensemble est inclus dans le suivant.

Le nombre rationnel $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.

Raisonnons par l'absurde : supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit décimal. Il existe alors $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ tels que $\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$, c'est-à-dire $10^n = 3a$.

Donc $10^n$ serait un multiple de 3, et la somme de ses chiffres aussi. Or $10^n = 100\dots0$ a pour somme des chiffres $1$, qui n'est pas un multiple de 3. Contradiction : $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$. $\blacksquare$

Le nombre $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.

Raisonnons par l'absurde : supposons que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, la fraction étant irréductible.

En élevant au carré : $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2q^2$. Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (voir le chapitre 1) : $p = 2k$.

Alors $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.

$p$ et $q$ sont tous deux pairs : la fraction $\dfrac{p}{q}$ se simplifie par 2, ce qui contredit son irréductibilité. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. $\blacksquare$

Pour les pythagoriciens (VIe siècle av. J.-C.), « tout est nombre », et par nombre ils entendaient les entiers et leurs rapports. La découverte que la diagonale d'un carré de côté 1 (qui mesure $\sqrt{2}$) n'est pas un rapport d'entiers aurait provoqué une véritable crise. On raconte même qu'Hippase de Métaponte aurait été jeté à la mer pour l'avoir divulguée…

La calculatrice n'affiche qu'un nombre fini de chiffres : elle donne une valeur approchée de $\sqrt{2}$ ou de $\dfrac{1}{3}$, jamais leur valeur exacte. $\sqrt{2} \approx 1{,}414\,213\,562$ mais $1{,}414\,213\,562^2 \neq 2$. C'est pourquoi on garde les valeurs exactes ($\sqrt{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\pi$) le plus longtemps possible dans les calculs.

2. Encadrements et arrondis

Encadrer un réel $x$ à $10^{-n}$ près, c'est trouver deux décimaux $a$ et $b$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$ avec $b - a = 10^{-n}$ ($n$ chiffres après la virgule).

Exemple : $1{,}41 \leqslant \sqrt{2} \leqslant 1{,}42$ est un encadrement de $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près (amplitude $0{,}01$).

Les chiffres significatifs d'un nombre sont ses chiffres en partant du premier chiffre non nul. $0{,}004\,07$ a 3 chiffres significatifs (4, 0, 7).

Dans un problème, on arrondit le résultat avec autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise. Si une longueur mesurée vaut $2{,}3$ m et une autre $4{,}15$ m, on ne donnera pas une aire de $9{,}545$ m² mais $9{,}5$ m².

def encadrement_racine2(n):
    # encadrement de √2 à 10**(-n) près par balayage
    a = 1
    pas = 10 ** (-n)
    while (a + pas) ** 2 <= 2:
        a = a + pas
    return a, a + pas

3. Intervalles de ℝ

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$. L'ensemble des réels $x$ vérifiant une condition d'encadrement s'appelle un intervalle.

Réels $x$ tels queIntervalleSe lit
$a \leqslant x \leqslant b$$[a\,;\,b]$intervalle fermé $a$, $b$
$a < x < b$$]a\,;\,b[$intervalle ouvert $a$, $b$
$a \leqslant x < b$$[a\,;\,b[$fermé en $a$, ouvert en $b$
$a < x \leqslant b$$]a\,;\,b]$ouvert en $a$, fermé en $b$
$x \geqslant a$$[a\,;\,+\infty[$$a$, plus l'infini
$x > a$$]a\,;\,+\infty[$
$x \leqslant b$$]-\infty\,;\,b]$moins l'infini, $b$
$x < b$$]-\infty\,;\,b[$

$\mathbb{R}$ lui-même est l'intervalle $]-\infty\,;\,+\infty[$.

  • Crochet tourné vers le nombre : le nombre est inclus. Crochet tourné vers l'extérieur : il est exclu.
  • Du côté de $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert ($\infty$ n'est pas un nombre).
  • On note $x \in I$ pour « $x$ appartient à l'intervalle $I$ ».

$2 \in [-1\,;\,2]$ mais $2 \notin [-1\,;\,2[$. $\;\pi \in [3\,;\,3{,}2]$. $\;-5 \in \,]-\infty\,;\,0[$.

L'intersection $I \cap J$ est l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ et à $J$. La réunion $I \cup J$ est l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$ (ou aux deux).

Exemple : $[-2\,;\,3] \cap [1\,;\,5] = [1\,;\,3]$ et $[-2\,;\,3] \cup [1\,;\,5] = [-2\,;\,5]$.

4. Distance et valeur absolue

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est la distance entre les points d'abscisses $a$ et $b$ sur la droite numérique. Elle est égale à $b - a$ si $b \geqslant a$, et à $a - b$ si $a \geqslant b$ : c'est la différence entre le plus grand et le plus petit.

La valeur absolue d'un réel $a$, notée $|a|$, est la distance entre $a$ et $0$ : $$|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geqslant 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}$$ La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $|a - b|$ (ou $|b - a|$, c'est la même chose).

$|7| = 7$ ; $\;|-4| = 4$ ; $\;|0| = 0$ ; $\;|3 - \pi| = \pi - 3$ car $3 - \pi < 0$.

La distance entre $-2$ et $5$ est $|-2 - 5| = |-7| = 7$.

Soient $a$ un réel et $r$ un réel strictement positif.

$$|x - a| \leqslant r \iff a - r \leqslant x \leqslant a + r \iff x \in [a - r\,;\,a + r].$$

Autrement dit, les réels dont la distance à $a$ est inférieure ou égale à $r$ forment l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$. Avec une inégalité stricte, on obtient l'intervalle ouvert $]a - r\,;\,a + r[$.

a a − r a + r r r
$|x - a| \leqslant r$ : $x$ est à une distance au plus $r$ du centre $a$.

Résoudre $|x + 1| \leqslant 3$. On écrit $x + 1 = x - (-1)$ : c'est la distance entre $x$ et $-1$. Les solutions sont les réels à distance au plus 3 de $-1$ : $S = [-1 - 3\,;\,-1 + 3] = [-4\,;\,2]$.

Inversement, l'intervalle $[2\,;\,10]$ a pour centre $\dfrac{2 + 10}{2} = 6$ et pour rayon $\dfrac{10 - 2}{2} = 4$ : $x \in [2\,;\,10] \iff |x - 6| \leqslant 4$.

Le développement décimal d'un rationnel est toujours périodique à partir d'un certain rang : $\dfrac{1}{7} = 0{,}\underline{142857}\,\underline{142857}\dots$ Celui d'un irrationnel ne l'est jamais.

Mini-jeux

Exercices

Compléter par $\in$ ou $\notin$ :

$-4 \;\dots\; \mathbb{N}$ ; $\quad \dfrac{12}{3} \;\dots\; \mathbb{N}$ ; $\quad \dfrac{2}{3} \;\dots\; \mathbb{D}$ ; $\quad \sqrt{9} \;\dots\; \mathbb{Z}$ ; $\quad \pi \;\dots\; \mathbb{Q}$ ; $\quad 1{,}7 \;\dots\; \mathbb{Q}$.

$-4 \notin \mathbb{N}$ ; $\dfrac{12}{3} = 4 \in \mathbb{N}$ ; $\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{D}$ ; $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{Z}$ ; $\pi \notin \mathbb{Q}$ ; $1{,}7 = \dfrac{17}{10} \in \mathbb{Q}$.

Parmi les nombres suivants, lesquels sont décimaux ? $\dfrac{7}{8}$, $\;\dfrac{5}{6}$, $\;\dfrac{21}{35}$, $\;\dfrac{1}{40}$.

$\dfrac{7}{8} = 0{,}875$ : décimal. $\dfrac{5}{6} = 0{,}8333\dots$ : non décimal. $\dfrac{21}{35} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ : décimal. $\dfrac{1}{40} = 0{,}025$ : décimal.

Une fraction irréductible est décimale exactement quand son dénominateur n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5.

Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que :

  1. $-3 < x \leqslant 5$
  2. $x \geqslant \sqrt{2}$
  3. $x < -1$
  4. $0 \leqslant x < 10$
  1. $]-3\,;\,5]$
  2. $[\sqrt{2}\,;\,+\infty[$
  3. $]-\infty\,;\,-1[$
  4. $[0\,;\,10[$

Calculer : $|-12|$, $\;|5 - 9|$, $\;|\sqrt{2} - 2|$, $\;|\pi - 3{,}14|$.

$|5-9| =$

$|-12| = 12$ ; $|5 - 9| = |-4| = 4$ ; $\sqrt{2} < 2$ donc $|\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2}$ ; $\pi > 3{,}14$ donc $|\pi - 3{,}14| = \pi - 3{,}14$.

Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ dans chaque cas (on pourra représenter les intervalles).

  1. $I = [-3\,;\,4]$, $J = [0\,;\,7[$
  2. $I = ]-\infty\,;\,2]$, $J = ]2\,;\,5]$
  3. $I = [1\,;\,6]$, $J = [2\,;\,3]$
  1. $I \cap J = [0\,;\,4]$, $I \cup J = [-3\,;\,7[$.
  2. $I \cap J = \varnothing$ (2 est dans $I$ mais pas dans $J$), $I \cup J = ]-\infty\,;\,5]$.
  3. $J \subset I$ donc $I \cap J = J = [2\,;\,3]$ et $I \cup J = I = [1\,;\,6]$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ et donner le résultat sous forme d'intervalle :

  1. $|x - 4| \leqslant 1$
  2. $|x + 2| < 5$
  3. $|x| \leqslant 0{,}5$
  1. Distance à 4 au plus 1 : $[3\,;\,5]$.
  2. $|x - (-2)| < 5$ : distance à $-2$ strictement inférieure à 5 : $]-7\,;\,3[$.
  3. Distance à 0 au plus 0,5 : $[-0{,}5\,;\,0{,}5]$.

Écrire chaque intervalle sous la forme $|x - a| \leqslant r$ ou $|x - a| < r$ :

  1. $[1\,;\,9]$
  2. $]-6\,;\,2[$
  3. $[2{,}5\,;\,3{,}5]$
  1. Centre $5$, rayon $4$ : $|x - 5| \leqslant 4$.
  2. Centre $-2$, rayon $4$ : $|x + 2| < 4$.
  3. Centre $3$, rayon $0{,}5$ : $|x - 3| \leqslant 0{,}5$.

Un rectangle mesure $12{,}4$ cm sur $3{,}7$ cm (mesures au millimètre près). Un élève annonce une aire de $45{,}88$ cm². Critiquer ce résultat.

Les mesures ont 3 et 2 chiffres significatifs. Le résultat ne peut pas être plus précis que la donnée la moins précise : on donne $46$ cm² (2 chiffres significatifs). D'ailleurs, les vraies dimensions sont entre $12{,}35$ et $12{,}45$ cm et entre $3{,}65$ et $3{,}75$ cm, donc l'aire est entre $45{,}08$ et $46{,}69$ cm² environ : le chiffre des centièmes n'a aucun sens.

Sans calculatrice, trouver un encadrement de $\sqrt{30}$ entre deux entiers consécutifs, puis à $10^{-1}$ près.

$25 < 30 < 36$ donc $5 < \sqrt{30} < 6$. Puis $5{,}4^2 = 29{,}16$ et $5{,}5^2 = 30{,}25$, donc $5{,}4 < \sqrt{30} < 5{,}5$.

En s'inspirant de la démonstration du cours, démontrer que $\sqrt{3}$ est irrationnel. On admettra que si $n^2$ est un multiple de 3, alors $n$ est un multiple de 3.

Supposons $\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}$ irréductible. Alors $p^2 = 3q^2$ : $p^2$ est multiple de 3, donc $p = 3k$. Puis $9k^2 = 3q^2$ donne $q^2 = 3k^2$ : $q$ est aussi multiple de 3. La fraction se simplifie par 3 : contradiction. Donc $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.

On pose $x = 0{,}363636\dots$ (le motif 36 se répète indéfiniment).

  1. Calculer $100x - x$.
  2. En déduire que $x$ est rationnel et l'écrire sous forme de fraction irréductible.
  3. Même question avec $y = 2{,}777\dots$
  1. $100x = 36{,}3636\dots$ donc $100x - x = 36$.
  2. $99x = 36$ donc $x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$.
  3. $10y - y = 27{,}777\dots - 2{,}777\dots = 25$, donc $y = \dfrac{25}{9}$.

Démontrer par l'absurde que $1 + \sqrt{2}$ est irrationnel.

Supposons $1 + \sqrt{2} = r$ avec $r$ rationnel. Alors $\sqrt{2} = r - 1$. Or la différence de deux rationnels est un rationnel ($\frac{p}{q} - 1 = \frac{p - q}{q}$), donc $\sqrt{2}$ serait rationnel : contradiction.