Ensembles et logique

Le langage des mathématiques est précis : « et », « ou », « si… alors », « pour tout » y ont un sens exact. Cette partie transversale se travaille tout au long de l'année, dans tous les chapitres.

  • Utiliser les notations ensemblistes
  • Nier une proposition
  • Distinguer implication, réciproque et contraposée
  • Raisonner par l'absurde, par disjonction des cas

Cours

1. Ensembles

  • $x \in E$ : « $x$ appartient à $E$ » ; $x \notin E$ : « $x$ n'appartient pas à $E$ ».
  • $A \subset E$ : « $A$ est inclus dans $E$ » (tout élément de $A$ est dans $E$) ; on dit que $A$ est une partie (ou un sous-ensemble) de $E$.
  • $\{1\,;\,4\,;\,7\}$ : ensemble défini par la liste de ses éléments. $\varnothing$ : l'ensemble vide, qui ne contient aucun élément.
  • Ensembles de nombres $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ et intervalles $[a\,;\,b]$, $]a\,;\,+\infty[$…

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$.

  • L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$.
  • La réunion $A \cup B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$.
  • Le complémentaire de $A$ dans $E$, noté $\bar{A}$ (comme en probabilités) ou $E \setminus A$, est l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$.

Si $A$ est un ensemble fini, son nombre d'éléments est appelé cardinal et noté $\mathrm{Card}(A)$. On a $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$.

Un couple $(x\,;\,y)$ est une liste ordonnée de deux éléments : $(1\,;\,2) \neq (2\,;\,1)$. Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples $(x\,;\,y)$ avec $x \in E$ et $y \in F$.

Exemples : les coordonnées d'un point sont un couple de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ; lancer une pièce puis un dé donne un élément de $\{P\,;\,F\} \times \{1\,;\dots;\,6\}$, qui contient $2 \times 6 = 12$ couples.

2. Propositions et connecteurs

Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux. « $7$ est premier » est une proposition vraie ; « $2 + 2 = 5$ » est fausse. Une proposition peut dépendre d'une variable : « $x > 3$ » est vraie pour $x = 5$, fausse pour $x = 1$.

  • « $P$ et $Q$ » est vraie lorsque $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.
  • « $P$ ou $Q$ » est vraie lorsque au moins une des deux est vraie. Le « ou » mathématique est inclusif (contrairement au « fromage ou dessert » du restaurant).

Lien avec les ensembles : $x \in A \cap B \iff (x \in A$ et $x \in B)$ ; $\;x \in A \cup B \iff (x \in A$ ou $x \in B)$.

La négation de $P$, notée « non $P$ », est vraie quand $P$ est fausse, et fausse quand $P$ est vraie.

  • La négation de « $x > 3$ » est « $x \leqslant 3$ » (et non « $x < 3$ » !).
  • La négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$) ou (non $Q$) ».
  • La négation de « $P$ ou $Q$ » est « (non $P$) et (non $Q$) ».

Exemple : la négation de « $x \in [1\,;\,5]$ », c'est-à-dire « $x \geqslant 1$ et $x \leqslant 5$ », est « $x < 1$ ou $x > 5$ ».

3. Implication, équivalence

« Si $P$, alors $Q$ », noté $P \implies Q$, signifie : chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ est vraie aussi. On dit que $P$ est une condition suffisante pour $Q$, et $Q$ une condition nécessaire pour $P$.

Exemple : « si $x = 3$, alors $x^2 = 9$ » est vraie.

La réciproque de « $P \implies Q$ » est « $Q \implies P$ ». Elle peut être fausse même si l'implication est vraie : « si $x^2 = 9$, alors $x = 3$ » est fausse ($x = -3$).

Quand l'implication et sa réciproque sont vraies, on dit que $P$ et $Q$ sont équivalentes : $P \iff Q$ (« $P$ si et seulement si $Q$ »).

La contraposée de « $P \implies Q$ » est « (non $Q$) $\implies$ (non $P$) ». Une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses en même temps.

Exemple : « s'il pleut, le sol est mouillé » a pour contraposée « si le sol n'est pas mouillé, il ne pleut pas ».

4. Quantificateurs

  • « Pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$ » : la propriété est vraie pour chaque $x$ (quantification universelle).
  • « Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = 2$ » : au moins un $x$ convient (quantification existentielle).

Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas au programme de seconde : on écrit les mots.

  • Pour prouver « pour tout $x$… » : une démonstration générale (des exemples ne suffisent pas).
  • Pour réfuter « pour tout $x$… » : un seul contre-exemple suffit.
  • Pour prouver « il existe $x$… » : un exemple suffit.

5. Types de raisonnement

On sépare l'étude en plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités. Exemple : montrer que $n^2 + n$ est pair, en distinguant $n$ pair et $n$ impair (voir le chapitre 1).

On suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer, et on aboutit à une contradiction. Exemple : l'irrationalité de $\sqrt{2}$ (chapitre 2).

Pour montrer « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair », on montre la contraposée « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair », plus facile.

Mini-jeux

Exercices

$E = \{1\,;\,2\,;\,\dots\,;\,12\}$, $A$ l'ensemble des multiples de 2 de $E$ et $B$ celui des multiples de 3. Déterminer $A \cap B$, $A \cup B$, $\bar{A}$ et $\mathrm{Card}(A \cup B)$.

$A = \{2;4;6;8;10;12\}$, $B = \{3;6;9;12\}$. $\;A \cap B = \{6\,;\,12\}$ (multiples de 6). $\;A \cup B = \{2;3;4;6;8;9;10;12\}$, de cardinal $6 + 4 - 2 = 8$. $\;\bar{A} = \{1;3;5;7;9;11\}$.

Écrire la négation de : (a) « $x \geqslant -2$ » ; (b) « $n$ est pair et $n > 10$ » ; (c) « le triangle est rectangle ou isocèle » ; (d) « $x \in \,]-1\,;\,4]$ ».

(a) $x < -2$. (b) $n$ est impair ou $n \leqslant 10$. (c) Le triangle n'est ni rectangle ni isocèle. (d) $x \leqslant -1$ ou $x > 4$.

On lance une pièce (P ou F) puis on tire une carte parmi {Roi, Dame, Valet}. Écrire l'ensemble des issues sous forme de couples. Combien y en a-t-il ?

$\{(P,R)\,;\,(P,D)\,;\,(P,V)\,;\,(F,R)\,;\,(F,D)\,;\,(F,V)\}$ : $2 \times 3 = 6$ couples.

Pour chaque implication, dire si elle est vraie, énoncer sa réciproque et sa contraposée, et dire si elles sont vraies.

  1. Si $ABCD$ est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur.
  2. Si $x > 1$, alors $x^2 > 1$.
  1. Vraie. Réciproque : « si les diagonales ont la même longueur, alors $ABCD$ est un rectangle » : fausse (un trapèze isocèle, par exemple). Contraposée : « si les diagonales n'ont pas la même longueur, ce n'est pas un rectangle » : vraie.
  2. Vraie. Réciproque : « si $x^2 > 1$ alors $x > 1$ » : fausse ($x = -2$). Contraposée : « si $x^2 \leqslant 1$, alors $x \leqslant 1$ » : vraie.

Compléter par « nécessaire », « suffisante » ou « nécessaire et suffisante » :

  1. Pour qu'un entier soit divisible par 6, il est … qu'il soit pair.
  2. Pour que $x^2 = 4$, il est … que $x = 2$.
  3. Pour que $|x| = 3$, il est … que $x = 3$ ou $x = -3$.
  1. nécessaire (mais pas suffisante : 4 est pair et non divisible par 6).
  2. suffisante (mais pas nécessaire : $-2$ convient aussi).
  3. nécessaire et suffisante.

Dire si chaque proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

  1. Pour tout réel $x$, $(x - 1)^2 \geqslant 0$.
  2. Il existe un réel $x$ tel que $x^2 < x$.
  3. Pour tout entier $n$, $2^n > n^2$.
  4. Il existe un entier $n$ tel que $n^2 = 50$.
  1. Vrai : un carré est positif.
  2. Vrai : $x = 0{,}5$.
  3. Faux : pour $n = 2$, $4 = 4$ (et pour $n = 3$, $8 < 9$).
  4. Faux : $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$, aucun entier ne convient.

Soit $n$ un entier. Démontrer que si $n^2 - 1$ n'est pas un multiple de 8, alors $n$ est pair.

Contraposée : « si $n$ est impair, alors $n^2 - 1$ est un multiple de 8 ». Avec $n = 2k + 1$ : $n^2 - 1 = 4k(k + 1)$ et $k(k+1)$ est pair, donc $n^2 - 1 = 8K$. La contraposée étant vraie, la proposition l'est aussi.

Démontrer qu'il n'existe pas de plus grand nombre entier pair.

Supposons qu'il existe un plus grand entier pair $N$. Alors $N + 2$ est aussi pair, et $N + 2 > N$ : contradiction. Il n'existe donc pas de plus grand entier pair.